(完整word版)高一數(shù)學(xué)必修四平面向量知識與題型歸類

1、高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識與題型歸類（1)2、向量的數(shù)乘運(yùn)算:一.向量有關(guān)概念：1、向量的概念：既有大小又有方向的量，2、 零向量：長度為 0 的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向不確定；3、單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量；r-一urura2a的單位向量：與a同方向且長度等于 1 的向量，記作ao并且 a 4 ；a3與a共線的單位向量： 與a方向相同或相反 且長度等于 1 的向量，可表示為實數(shù) 與向量a的積是一個向量，記作a，它的長度和方向規(guī)定如下:Ha當(dāng) 0 時，a的方向與a的方向相同，當(dāng) 0,且a、b不同向，； 為鈍角a?b v0，且a、b不反向;= AB + A

2、) = ACr ruur uur uura b CC高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識與題型歸類（3)咼一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識與題型歸類(5、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 ：2)設(shè)兩個非零向量ay1貝八、向量中一些常用的結(jié)論：(1) 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；(2)|；| |b| |a b| |a| |b|，特別地，前面等號成立的條件是；、b同向或有0；后面等號成立的條rab ra r ay2%卷2ra2X%X1,y2o y1 X1設(shè)a、b都是非零向量，a2ydr b是a與b的夾角，則cosab為X2yiy22 2 2 2xiyi：x2y2五.向量的運(yùn)算律1 .交換律

3、：abba,a2.結(jié)合律:c,aa ?ba?b a? b3.分配律:a, a b a bb ?ca?c b?c。提醒：(1)同乘以一個實數(shù)， 兩邊同時取模， 兩邊同乘以一個向量， 但不能兩邊同除以一個向量， 即兩邊不能約去 個向量，切記兩向量不能相除(相約)；向量運(yùn)算和實數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b?c) (a?b)c。六、向量共線與垂直的條件平行向量基本定理：若a ba/b，反之，若a/b(b 0) a b(其中是唯一的實數(shù))向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)兩個向量a x-i, y1,X2,y2則 a/by1X?0r

4、rr件是a、b反向或有0(3)在ABC中,1重心：中線的交點(diǎn)且重心將中線分成2： 1 兩段；外心：中垂線的交點(diǎn);垂心：高線的交點(diǎn)；內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)。uiu uuu uuur r2PA PB PC 0 P為ABC的重心；uuu uuu uuu uuu uuu uuuPA PB PB PCPC PAurn2uuu2uuu2PA PB PCuuu若向量AP=uuuuuu|AB|P為ABC的垂心;P 為 ABC 的外心；UULT-4)(|AC|0),則點(diǎn) P 的軌跡一定過ABC的內(nèi)心;uuu三點(diǎn)共線：不重合的三點(diǎn)A B、C共線ABUUJTAC存在實數(shù)使得uuPAuuPBuuuPC且向量垂直的條件：

5、ab a b 0 x1x2y1y20.七、平面向量的基本定理ur uu:如果e和02是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對該平面內(nèi)的任一向量有且只有一對實數(shù)riruu2，使a1e)+2e2。其中不共線向量ur urur uue),e2叫做一組基底，記作0,倉。經(jīng)典題型：、基本概念判斷正誤：(1)(2)(3)共線向量就是在同一條直線上的向量。若兩個向量不相等，則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。與已知向量共線的單位向量是唯一的。(4)a與b不共線，則a與b都不是零向量。(5)uuu uuuB、C、D 四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，貝yAB CD。uuuAB(7)若Ta，則ab。T T T(8)若a b,bTTc，貝

6、U aT c。T T T TTTT TT TTLT(9)若a/b,b/c,貝Ua/c(10)若 agpbgc，則 ab；TTTTT(11)若mamb， 貝U ab。(12 )若mana， 貝Umn。T TT TT(13)若a b0，則a0或b 0(14)若|a b| |a b|，則aT T “T2T2D 四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。(6)(15)(a b)uuurCD，貝 U A、B、C、a b若二、向量的運(yùn)算1、uuu uuu uuiT化簡：AB BC CDuuuABUULTADUULTDCuuu(ABuuuCD)umT uuu(AC BD)2、 若 O 是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足uuuOBuu

7、uruuuOC 2OA，則ABC的形狀為3、 若D為ABC的邊BC的中點(diǎn),ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)uuu uuuP,滿足PA BPuuuCPuuu0，設(shè)需|PD|的值為4、uuu若點(diǎn) O 是厶 ABC 的外心，且 OAuuuOBuuur rCO 0 ,貝U ABC 的內(nèi)角 C 為5、 若 M( -3 , -2 ) , N (6,-1)， 且MPIMN,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為3三、向量的夾角與數(shù)量積、 ABC 中,| AB | 3,T1 T2、已知a (1,),b(0,2| AC| 4,1TT ),c a2|BC|T u kb,d5， 貝U AB BCa b,c與d的夾角為一，貝U k等于4J_TT TT

8、T3、已知平面向量a,b滿足(ab)g2ab)4且a 24、已知a,b是兩個非零向量，且5、設(shè)非零向量a、b、c滿足|a |6、已知5.4, a 與 b的夾角7、已知| a | 3，| b | 5，且a b&已知i與j為互相垂直的單位向量,圍是9、如圖，等邊ABC中,10、如圖，在矩形ABCD中,uuu uuu-AB AF2上，若，求4且，則a 與 b的夾角為，貝U a 與 a b的夾角為| b | | c |,a b c，貝U a,b2，則向量b在向量a上的正射影的數(shù)量為312，則向量a在向量b上的正射影的數(shù)量為a i 2j，b iAB 2AD=AC=4AE=4,uuu uuu寺AE

9、 BF的值.點(diǎn)E為BCj且a與b的夾角為銳角，則實數(shù)uuu uuurBEgCD.的取值范的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識與題型歸類(5)五、向量的模四、向量共線與垂直1、若向量a(x,i),b(4,x)，當(dāng)x=_時a與b共線且方向相同2、 已知a,b不共線，c ka b,d a b，如果c/d，那么 k=_ ,c與d的方向關(guān)系是 _ r r r r3、a (1,2),b (2, 3),若向量 c 滿足于(c a/b,c (a b),則 c _IUDuuuuur4、 設(shè)PA (k,12), PB (4,5), PC (10,k)，貝U k=_時，A,B,C 共線5、 以原點(diǎn) O

10、 和 A(4,2)為兩個頂點(diǎn)作等腰直角三角形OABB 90，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)是_6、 平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B( 1,3),若點(diǎn)C滿足OC1OA2OB,其中1,2R且121,則點(diǎn)C的軌跡方程是 _7、若a (12,5)，求1a的單位向量；2與a共線的單位向量；3與a垂直的單位向量。1、2、設(shè)向量a，設(shè)向量a，8、已知a=( 1，2)，b=(-3，2)，若 ka+2b與 2a-4b共線，求實數(shù) k 的值；若 ka+2b與 2a-4b垂直，求實數(shù) k 的值b滿足|a ib1及4a 3t3，則3a的值為b滿足ia1,2,a (a 2b),則 2a b 的值為3、已知向

11、量a、b、兩兩之間的夾角為 60，其模長都為 1,貝y ab+2c4、 已知向量a (1,sin ),b (1, cos ),則 a耳的最大值為 _、r口八宀“-,，八、山UULT2. UUU UUIT. . UUlUUUIT. UUUIU5、設(shè)點(diǎn) M 是線段 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) A 在直線 BC 外, BC 16, AB AC AB AC ,則 AM _六、平面向量基本定理的應(yīng)用問題1、下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是uruuITULUIUITuu 13A. &(0,0),e2(1, 2)B.e( 1,2),e2(5,7)C. &(3,5), e2(6,10)D.e(

12、2, 3)L,一)24rrrr2、a(11),b(1,1),c(4,2)，則c()=MHMB*(A)3a b(B)3a b(C)a 3b(D)a 3bUULTuuuUULTr uuu rUUTr r3、 已知AD, BE分別是ABC的邊BC, AC上的中線，且AD a,BE b,則BC可用向量a,b表示為_4、已知ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD 2 DB,CD15、如圖，在ABC中，AN NC32AP m AB AC,求實數(shù)m的值_9P是BNr AB sAC，貝U r s的值是_點(diǎn)，若6、如圖ABC中，AD 2DB,2AE EC,BE I CD P,UUU UUT UUT若AP xAB yAC(x, y R)，求X y高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識與題型歸類(6)五、向量的模高一數(shù)學(xué)必修四平面向量基礎(chǔ)知識與題型歸類(5)七、平面向量與三角函數(shù)的綜合1、已知一，、B、C 在同一個平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為A(3,0)、B(0,3)、C(cos ,sin )。2 2uuu uuu(I)若|AC| |BC|,求角 的值；3、已知平面向量 a (sin , 2),b (1,cos )相互垂直，其中(1 求 sin 和 cos 的值;(2)若 sin()010彳求cos的值.uur