矩陣的秩的性質(zhì)

1、矩陣的秩的性質(zhì)1 / 3 矩陣的秩的性質(zhì)和矩陣秩與矩陣運算之間的關(guān)系要談矩陣的秩，就得從向量組的秩說起 , 向量組的秩 , 簡而言之就是其極大無關(guān)組里向量的個數(shù)。進而擴展到線性方程組, 在線性方程組的概念中 (課本 p0)定理 1 說:“線性方程組有解的充要條件是,它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。 ”那么不妨把矩陣用向量組的方式來看, 則有行秩和列秩，一個矩陣的行秩和列秩相同，而其初等變換又不會改變秩。自然而然, 我們就得到了一個判斷矩陣秩的方法，就是將它轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣， 非零行數(shù)目即其秩。矩陣進一步發(fā)展就是運算了，包括數(shù)乘、加減、乘積等, 又涉及到單位矩陣、 三角矩陣、可逆矩陣以及矩陣的

2、分塊等概念，綜合所學，我們得到如下性質(zhì)：1、矩陣的初等變換不改變秩，任一矩陣的行秩等于列秩。2、秩為的 n 級矩陣 (nr）,任意 r+1 階行列式為 0，并且至少有一個 r 階子式不為 0.3、)(),(min)(brankarankabrank) ()(arankarank，)()()(brankarankbarank)()(arankkarank4、設(shè) a是ns矩陣， b為sn矩陣,則)(arank)(),(min)()(brankarankabranknbrank5、設(shè)是ns矩陣, ,q 分別是 ,n 階可逆矩陣 , 則)()()(arankaqrankparank矩陣的秩的性質(zhì)2 /

3、 3 6、設(shè) a是ns矩陣,b 為sn矩陣，且 b0, 則nbrankarank)()(7、設(shè) a是ns矩陣，則)()() (arankaarankaarank其中, 也涉及到線性方程組解得問題：8、對于齊次線性方程組，設(shè)其系數(shù)矩陣為a，narank)(則方程組有惟一非零解，narank)(則有無窮多解，換言之，即為克萊姆法則 ,非齊次線性方程組有解時，narank)(惟一解，narank)(有無窮多解。還有滿秩矩陣：9、可逆滿秩10、行（列）向量組線性無關(guān)，即級矩陣化為階梯形矩陣后非零行數(shù)目為 n。擴展到矩陣的分塊后：11、110(a )(a )0nnarankrankranka12、()(

4、 )0acrankrank arank bb矩陣的秩的性質(zhì)3 / 3 證明 :1、先證明初等變換不會改變秩, 就先從行秩開始。設(shè)矩陣 a的行向量組是12s，, 設(shè) a經(jīng)過1初等變換 j+i*k變成矩陣 b,則 b的行向量組是1,iijsk, 顯然，1,iijsk可由12s，線 性表 出，由 于1 ()jijikk， 因此12s，也可由1,iijsk線性表出, 于是它們等價，而等價向量組有相同的秩，因此a 的行秩等于b的列秩。容易證明，2型和3型初等變換亦使所得矩陣的行向量組與原矩陣等價, 從而不改變矩陣的行秩。進而列秩也可以得到證明, 又已知階梯形矩陣的行秩與列秩相同, 那么, 講一個矩陣通過初等變換得到階梯形矩陣, 行秩等于列秩的性質(zhì)便得證。2、設(shè)sn矩陣的秩為，則a的行向量組中有r 個線性無關(guān)的向量，設(shè) a 的第1,rii行向量線性無關(guān) , 它們組成一個矩陣a1（稱1是 a 的子矩陣 ) ，由于 a1的行向量組線性無關(guān) , 因此1的行秩為 r，