傳染病動(dòng)力學(xué)

1、傳染病動(dòng)力學(xué)模型姓名：魏薇薇學(xué)號(hào)：2009210927院系：數(shù)理與信息學(xué)院專業(yè)：系統(tǒng)理論摘要：本文首先介紹傳染病動(dòng)力學(xué)的相關(guān)概念，接下來介紹兩個(gè)基本的傳 染病動(dòng)力學(xué)模型，最后建立一個(gè)傳染病動(dòng)力學(xué)的偏微分方程模型，并對(duì)模型做一些 適當(dāng)?shù)姆治?關(guān)鍵詞：傳染病動(dòng)力學(xué)；常微分方程；偏微分方程；數(shù)學(xué)模型Model of Epidemic DynamicsAbstract: This article first introduces the concepts of epidemic dynamics, followed by two basic model of epidemic dynamics, fi

2、nally it creates a partial differential equations model of epidemic dynamic ,and do some proper analysis to the model. Keywords： Epidemic dynamics;Ordinary differential equations;Partial differential equations;mathematical model 前言傳染病動(dòng)力學(xué)是對(duì)傳染病的流行規(guī)律進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法.它是根據(jù)種群生長的特性，疾病發(fā)生和在種群內(nèi)傳播的規(guī)律以及與之有關(guān)的社會(huì)

3、等因素,建立能反映傳染病動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的定性、定量分析和數(shù)值模擬，來顯示疾病的發(fā)展過程，揭示其流行規(guī)律，預(yù)測(cè)其變化 發(fā)展趨勢(shì)，分析疾病流行的原因和關(guān)鍵因素，尋求對(duì)其預(yù)防和控制的最優(yōu)策略，為 人們防治決策提供理論基礎(chǔ)和數(shù)量依據(jù).與傳統(tǒng)的生物統(tǒng)計(jì)學(xué)方法相比，動(dòng)力學(xué)方法能更好的從疾病的傳播機(jī)理方面來反映流行規(guī)律，能使人們了解流行過程中的一些全局性態(tài).傳染病動(dòng)力學(xué)與生物統(tǒng)計(jì)學(xué)以及計(jì)算機(jī)仿真的相互結(jié)合、相輔 相成,能使人們對(duì)疾病流行規(guī)律的認(rèn)識(shí)更加深入、全面，能使所建立的理論與防治策略更加可靠和符合實(shí)際.1兩個(gè)基本的傳染病動(dòng)力學(xué)模型在傳染病動(dòng)力學(xué)中，長期以來主要使用的數(shù)學(xué)模型是

4、所謂的“倉室”模型，它的基本思想由Kermack與McKendrick創(chuàng)立丁 1927年，但一直到現(xiàn)在仍然被廣 泛的使用和不斷地發(fā)展著.下面我們以他們提出的兩個(gè)經(jīng)典的基本模型為例，來 闡述建立倉室模型的基本思想和有關(guān)基本概念，并顯示由模型所能得到的主要結(jié)論.1.1 K-M的SIR倉室模型所謂SIR倉室模型就是針對(duì)某類傳染病將該地區(qū)的人群分成以下三類(即三個(gè)倉室)：易感者(susceptibles )類記為S(t),表示t時(shí)刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人數(shù).染病者(infectives )類其數(shù)量記為I (t ),表示t時(shí)刻已被感染成病人而且具有傳染力的人數(shù).移出者(remove類其數(shù)量記為

5、R(t),表示t時(shí)刻已從染病者類移出的人數(shù).設(shè)總?cè)丝跒镹 (t )，則有N(t )=S(t )+I (t )+R(t ).K-M的SIR模型是一個(gè)十分簡單粗糙的模型.它的建立基丁以下三個(gè)基本假設(shè)：(1) 不考慮人口的出生、死亡、流動(dòng)等種群動(dòng)力因素.這意味著考慮一個(gè)封閉環(huán)境而且假定疾病隨時(shí)間的變化要比出生、死亡隨時(shí)間變化顯著得多，從而后者可以忽略不計(jì).這樣，此環(huán)境的總?cè)丝谑冀K保持為一個(gè)常數(shù)，即N (t )三K，或S t I t R t 三 K.(2) 一個(gè)病人一旦與易感者接觸就必然具有一定的傳染力 ，這里假設(shè)t時(shí)刻 單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)病人能傳染的易感者數(shù)目與此環(huán)境內(nèi)易感者總數(shù) S(t)成正比， 比

6、例系數(shù)為 如從而在t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)被所有病人傳染的人數(shù) (即新病人數(shù))為S(t)I(t).(3) t時(shí)刻，單位時(shí)間內(nèi)從染病者類移出的人數(shù)與病人數(shù)量成正比，比例系數(shù) 為丫，從而單位時(shí)間內(nèi)移出者的數(shù)量為 町.顯然，丫是單位時(shí)間內(nèi)移出者在病人9中所占的比例，稱為移出率系數(shù)，當(dāng)不致混淆時(shí)也簡稱為移出率.當(dāng)移出者中僅包括康復(fù)者時(shí)，移出率系數(shù)乂稱為恢復(fù)率系數(shù)或簡稱為恢復(fù)率在以上三個(gè)基本假設(shè)下,易感者從患病到移出的過程可用下述框圖描述對(duì)每一個(gè)倉室的人口變化率建立平衡方程式，便得到以下模型:dS 口= _&SI，dt«業(yè)=眄1 -丫1，dt、I.dt(1.1.1)卜面，我們通過對(duì)模型（1.1

7、.1 ）的分析和解的漸近性態(tài)研究來初步顯示動(dòng)力學(xué)模型對(duì)認(rèn)識(shí)傳染病流行規(guī)律所起的作用將（1.1.1 ）中三個(gè)方程兩端分別相加，得d（S + I +R） = 0從而St)+I(t)+R(t)=K (常數(shù))由?。?.1.1 ）中前兩個(gè)方程中不含R，故實(shí)際上我們只需先討論前兩個(gè)方程:業(yè)=I S-dt由丁竺0，S（t）單調(diào)遞減且有下界（為0），故極限 dtitimS t =s：存在.由（1.1.2 ）有(1.1.2 )dIP=一1 ，dS S(1.1.3)可見，當(dāng)S= p時(shí)，I達(dá)到極大值.從而不難在相平面（S，I ）上畫出系統(tǒng)（1.1.2 ）的 軌線分布圖，如圖1.1所示.方程（1.1.3 ）的所有平衡

8、點(diǎn)都在S軸上，而且I=0為系統(tǒng)(1.1.2 )的一條奇線.由圖1.1可見，當(dāng)初始時(shí)刻易感者數(shù)量S(0)=S0P時(shí)，隨著時(shí)間增長,染病者數(shù)I (t )將先增加達(dá)到最大值I ( P ),然后再逐漸減少而最 終消亡.這一現(xiàn)象表明，只要So a P,即S1>1,疾病就會(huì)流行.(1.1)令Ro = 口 S0 =邑，(1.1.4)則當(dāng)Ro1時(shí),疾病流行；當(dāng)Ro <1時(shí),疾病不會(huì)流行，染病者數(shù)量I (t)將單調(diào)下降 而趨向丁零.Ro =1是區(qū)分疾病流行與否的閾值.應(yīng)當(dāng)指出，(1.1.4 )中的表示平均移出時(shí)間，也就是平均患病期.事實(shí)上, Y由移出率系數(shù)丫的定義可見，若病人數(shù)量為n,則單位時(shí)間內(nèi)移

9、出者的數(shù)目為yn,一.一、，.、一 1、-. ,故經(jīng)過時(shí)間1,病人全部移出.So來實(shí)現(xiàn).更為有效要防止疾病流行，必須減少Ro使它小丁 1,有表達(dá)式(1.1.4 )可知，這可以通 過加強(qiáng)治療以縮短染病期1或采取殺菌等措施以減少疾病的傳染力 P，或通過隔 離措施以減少與患病者可能接觸的人數(shù)即這里的易感者數(shù)的方法是通過疫苗接種以使易感者成為免疫者而直接進(jìn)入移出者類R,從而減少初始時(shí)刻易感者數(shù)量S0.設(shè)人群中通過接種疫苗成功的比例為 p（0壬p壬1貝U S0就變成了（1 p A ,從而Ro變小為要求Ro <1,即要求1 p 1 -1 -&Ro(1.1.5)由（1.1.5 ）式可知，Ro越

10、大，為防止疾病流行所需要接種的人口比例p就越高.由此可見,對(duì)Ro值的估計(jì)是十分重要的.由（1.1.4 ）式可見,要估計(jì)Ro的值,難點(diǎn)在丁估計(jì)E ,因?yàn)镋不僅取決丁疾病的種類，而且還依賴丁人群所處的社會(huì)環(huán)境和病人的活動(dòng)情況.下面介紹一種對(duì)Ro的近似估計(jì)法.求解方程（1.1.3 ）,它通過初值（So,I。）的解為、SI - I o = - S - So 廠 I InSo(1.1.6 )由丁當(dāng)tT + 8時(shí)，I (t ” 0, S(t T S論代入(1.1.6)式并注意到S° + Io = K ,得K S Tn 邑=o.So(1.1.7 )用數(shù)學(xué)分析的方法容易驗(yàn)證方程（1.1.7 ）有且僅

11、有惟一的正實(shí)根 So.并可解得-=注=Ks：In SoIn S二'(1.1.8 )S0與S*是可以測(cè)定的，例如可以通過血活檢查測(cè)定.從而可根據(jù)（1.1.8 ）式確定P的值，然后由尺=*來確定Ro.在測(cè)得平均患病期1后，也可由（1.1.8 ）式估1.2 K-M的SIS倉室模型一般來說，通過病蠹傳播的疾病如流感、麻疹、水痘等康復(fù)后對(duì)原病蠹具有 免疫力，適合用上述SIR模型描述；通過細(xì)菌傳播的疾病，如腦炎、淋病等康復(fù)后 不具有免疫力，可以被再次感染,1932年Kermack和Mckendrick針對(duì)這類疾病提 出了康復(fù)者不具有免疫力的SIS模型，疾病的傳播機(jī)制如下面框圖所示：呈卜|W這里假設(shè)

12、患病者康復(fù)后將重新成為易感者，其它假設(shè)與SIR模型相同.此時(shí)模型 為竺一si I(1.2.1 )dt業(yè)=-：SI - Idt利用S + I=K,可將方程組(1.2.1)化成方程式*一""十.(1.2.2 )易見，當(dāng)P芝K時(shí)，方程(1.2.2 )有惟一的平衡點(diǎn)S = K ,它是漸近穩(wěn)定的，即從任一 So w (0,K】出發(fā)的解S(t )均單調(diào)增加趨向丁 S = K，從而I (t )將單調(diào)減小而趨 向丁零,說明疾病不會(huì)流行.當(dāng)P <K時(shí)，方程(1.2.2)有兩個(gè)正平衡點(diǎn)：S = K,S=P, S=K不穩(wěn)定;S=P漸近穩(wěn)定.從任一 S)w(0,k)出發(fā)的I (t )t 1

13、P,這時(shí)疾病流行且病人不會(huì)消失 地方病.這當(dāng)然是人們所不希望的.因此，Ro =¥ =1是區(qū)分疾病流行與否S(t )均隨t的增大而趨向丁P ,從而,最終保持在1 - P的數(shù)量而變成一種,或者是否產(chǎn)生地方病的閾值，當(dāng)尺<1時(shí)，疾病逐漸消失；當(dāng)Ro1時(shí),疾病流行而導(dǎo)致地方病產(chǎn)生.2傳染病動(dòng)力學(xué)的偏微分方程模型傳染病動(dòng)力學(xué)的常微分方程模型沒有考慮到年齡對(duì)傳染病發(fā)展情況的影響 實(shí)際上，出生率與自然死亡率如在人口模型中考慮過的那樣 ，應(yīng)與年齡有關(guān)；對(duì)傳 染病本身來說，除極少數(shù)疾?。ㄈ绯鲅獰幔┩猓浒l(fā)病情況均與年齡有關(guān)，有的傳 染病（如麻疹）在嬰兒階段由丁天然免疫力在一段時(shí)間內(nèi)不會(huì)發(fā)病，同時(shí)

14、發(fā)病率、 治愈率、及死亡率的等也均與年齡有關(guān).因此,必須加入年齡坐標(biāo)x.此外，病的發(fā) 展情況通常還和發(fā)病時(shí)間的長短（病程）有關(guān)治愈率和死亡率等均可能和病程有 關(guān)，因此還需再引入一個(gè)病程坐標(biāo)y.這就使所考慮方程呈現(xiàn)相當(dāng)復(fù)雜的形態(tài).可以考慮下述一些不同的情況：A. 不考慮預(yù)防及隔離措施（因而結(jié)果偏丁 “安全”）的情況，或者將預(yù)防及隔離措施以某種方式換算為對(duì)發(fā)病率打一個(gè)適當(dāng)?shù)恼劭鄣那樾蝍. 病愈后終身免疫的傳染病（如麻疹）.b. 病愈后有一段時(shí)間免疫力，但不能終身免疫的傳染病.c. 病愈后無免疫力，可以立即再感染而重新得病的傳染病.B. 考慮預(yù)防及隔離措施的情況，或單獨(dú)考慮其中一種措施的情況.這里乂

15、可 相應(yīng)地分為若干情況，不贅述.下面對(duì)情況A -一不計(jì)預(yù)防及隔離措施，而病愈后為終身免疫的傳染病（如 麻疹），建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.其余情況可類似進(jìn)行討論.將全體人口分為三類：I .未發(fā)病者；U.正發(fā)病者；m.病愈者.三類人之間的相互關(guān)系如下圖：以下記t為時(shí)間，x為年齡，而y為病程.設(shè)A為人的最大壽命，B為最大病程(B < A ) . 丁是求解區(qū)域應(yīng)為5 _0,0土 x 三 A,0 三 y 壬 B:.以p(t,x)記第I類人在t時(shí)刻按年齡x的分布密度函數(shù),p3(t,x)記第m 類人在t時(shí)刻按年齡x的分布密度函數(shù)，P2(t,x,y)記第皿類人在t時(shí)刻按年齡x及 病程y的分布密度 函數(shù)，丁是，

16、在時(shí)刻t,年齡在R,x + dx中第I類人數(shù)為Pi(t,x) dx ,年齡在 Rx+dx】中第用類人數(shù)為p3(t,x) dx,年齡在ix,x + dx、病程在&,y+dy中第皿類人數(shù)為P2(t,x,y )dx dy ,其中p(t,x)及pt,x)的定義域?yàn)閠芝0,0主xA,而p2(t,x,y)的定義域?yàn)閔占0,0x<A,0yMB.由于年齡為x 的人其病程y公，故當(dāng)yNx時(shí)包有p2(t,x,y)三0決定了函數(shù)pjt,x), p3(t,x),及p2(t,x,y),就決定了此傳染病的動(dòng)力學(xué)特征. 下面推導(dǎo)它們應(yīng)滿足的方程.注意到對(duì)任何人來說，時(shí)間增量=年齡增量=病程增量，我們有在t +

17、dt時(shí)刻，年齡在&,x +dx】中的第I類人數(shù)p(t + dt,xdx應(yīng)等丁在t時(shí)刻 年齡在£-dt,x+ dx-dt】中的第I類人數(shù) p(t,x-dtdx減去在t,t+dt】中年齡在6 -dt,x+dx-dt 】中的自然死亡數(shù) d(x-dt &(t,x-dt dxdt及發(fā)病數(shù) a a(t,x-dt) dx dt.由此可得到p1(t,x淌足*(t,x )+塵(t,x )= - d(x)+c( p(t,x),(2.1 )CtexVJ這兒d(x的自然死亡率，£'為發(fā)病率.考慮到傳染病的特點(diǎn)，在t,t +dt】中年齡在 £,x+dx】中的發(fā)病人數(shù)

18、與人數(shù) p(t,x)dx及時(shí)間dt均應(yīng)成正比，同時(shí)還和第II類人的總數(shù)P2 t =P2 t,x,y dxdy(2.2)A B成正比，故ABA:=：x P2 t = ： x)i I P2 t,x,y dxdy,從而(2.1 )式可寫為生十魚=(d(x )+ct(x )32(t )Jpi(t, x ),(2.3 )一 t :x而P2(t )由(2.2 )式定義.同理，對(duì)p2(t,x,y)我們有在t +dt時(shí)刻，年齡在kx + dx】、病程在y,y+ dy】中的第皿類人數(shù) p2(t +dt,x,y dxdy應(yīng) 等丁在t時(shí)刻，年齡在 R-dt,x+dx-dt】、病程在 如-dt,y +dy -dt】中

19、的第皿類人數(shù) p2(t,x -dt, y-dt dxdy減去在t,t +dt】中年齡在 & -dt,x+dx-dt】、病程在【y-dt,y+dy-dt】中的第皿類人的自然死亡數(shù) d(x-dt)P2 (t,x dt, y dt )dx dy dt、傳染病死亡數(shù) d(xdt, y dt) p2(t,x dt, y dt)dx dydt 及治愈數(shù) E(x dt,ydt) p2(t,x dt, y dt )dxdy dt.注意到P2 t dt,x,y - P2 t,x-dt,y-dtEr t dt,x, y - P2 t,x, y )- p? t,x,y - P2 t,x dt,yP2 t,x

20、dt,y - P2 t,x-dt,y-dt=普"如,x,ydt故得P2(t,x,y )應(yīng)滿足的方程為衛(wèi) t,x,y *t,x,y 里 t,x,y t:x:y11ii( - (2.4)=- d(x)+d(x,y )+P(x,y )p2(t, x, y)同理，我們有在t +dt時(shí)刻、年齡在 R,x+dx】中的第用類人數(shù)p3(t+dt,xpx等丁在t時(shí)刻、 年齡在&-dt,x+ dx-dt】中的第用類人數(shù) p3(t,x-dtpx減去在t,t + dtl中年齡在 & -dt,x +dx-dt】中的第用類人的自然死亡數(shù)d(x -dt )p3(t,x-dt )d xd加上在 t,

21、t+dtl中年齡在 R-dt,x+dx-dt】中的第n類人的治愈數(shù)為 &E(xdt,y)D2(t,x,y Jdy jdxdt.0由此我們得到:B半+ 蟲=-d(x)p3 + jE(x,y )p2(t,x,y )dy(2.5)t : x0下面看初始條件及邊界條件.初始條件為t = 0 :臼=p°(x ),p2=p°(x, y ),p3=p°(x).(2.6 )邊界條件：由丁新生嬰兒進(jìn)入第I類狀態(tài)，且從x =。開始，故出生的嬰兒數(shù) 將給出在x =0的邊界條件.設(shè)出生率為b(x )，并設(shè)最低生育年齡為a(< A),我們 得到arb、在時(shí)段 t,t+dt】中

22、出生的嬰兒總數(shù)b(x； p(t,x )+ p2(t, x, y dy + p3(t,x )dxdt aioj應(yīng)等丁在時(shí)刻t+dt、年齡區(qū)間在b,dt】中第I類人數(shù)pi(t+dt,0)dt(= pi(t,0)dt), 故有邊界條件A . . Bx = 0 :p(t,0)=Jb 仁)p(t, 土 )+ J p2(t, L"+ p3(t, Nd J(t芝 0).(2.7 )a0此外，第皿類及第用類人中不包括新生嬰兒，故應(yīng)有邊界條件X = 0: P2(t,0,y )=0 (t 芝0,0y SB )(2.8)x=0: p3(t,0)=0 (t 芝0).(2.9)乂由丁第I類人中的發(fā)病者進(jìn)入第II類人， 病程從y = 0開始，故第I類人的發(fā)病數(shù)應(yīng)給出y = 0處的邊界條件.我們有在t,t+dt中年齡在R,x + dx中的第I類人的發(fā)病數(shù) 建pJLxpxdt應(yīng)等丁在 t時(shí)刻，年齡在&-dt,x+ dx-dt】、病程在b,dt】中的第皿類人數(shù)p2(t,x-dt,0 dxdt, 故得如下的邊界條件y=0：P2(t,x,0)=凌 Pi(t,x)(tN0,0 公壬 A).(