[經濟學]【統(tǒng)計】多元正態(tài)分布統(tǒng)計推斷ppt課件

1、第第3章章 多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差陣的檢驗陣的檢驗 從本章開場，我們開轉入多元統(tǒng)計方法和統(tǒng)計模型從本章開場，我們開轉入多元統(tǒng)計方法和統(tǒng)計模型的學習。統(tǒng)計學分析處置的對象是帶有隨機性的數(shù)據。的學習。統(tǒng)計學分析處置的對象是帶有隨機性的數(shù)據。按照隨機陳列、反復、部分控制、正交等原那么設計一按照隨機陳列、反復、部分控制、正交等原那么設計一個實驗，經過實驗結果構成樣本信息通常以數(shù)據的方個實驗，經過實驗結果構成樣本信息通常以數(shù)據的方式，再根據樣本進展統(tǒng)計推斷，是自然科學和工程技式，再根據樣本進展統(tǒng)計推斷，是自然科學和工程技術領域常用的一種研討方法。由于實驗目的常為多個數(shù)術領域

2、常用的一種研討方法。由于實驗目的常為多個數(shù)量目的，故常設實驗結果所構成的總體為多元正態(tài)總體，量目的，故常設實驗結果所構成的總體為多元正態(tài)總體，這是本章實際方法研討的出發(fā)點。這是本章實際方法研討的出發(fā)點。 所謂統(tǒng)計推斷就是根據從總體中觀測到的部分數(shù)據所謂統(tǒng)計推斷就是根據從總體中觀測到的部分數(shù)據對總體中我們感興趣的未知部分作出推測，這種推測必對總體中我們感興趣的未知部分作出推測，這種推測必然伴有某種程度的不確定性，需求用概率來闡明其可靠然伴有某種程度的不確定性，需求用概率來闡明其可靠程度。統(tǒng)計推斷的義務是程度。統(tǒng)計推斷的義務是“察看景象，提取信息，建立模察看景象，提取信息，建立模型，作出推斷。型，

3、作出推斷。 統(tǒng)計推斷有參數(shù)估計和假設檢驗兩大類問題，統(tǒng)計推斷有參數(shù)估計和假設檢驗兩大類問題，其統(tǒng)計推斷目的不同。參數(shù)估計問題回答諸如其統(tǒng)計推斷目的不同。參數(shù)估計問題回答諸如“未知未知參數(shù)參數(shù)的值有多大的值有多大?之類的問題之類的問題,而假設檢驗回答諸而假設檢驗回答諸如如“未知參數(shù)未知參數(shù)的值是的值是0嗎嗎?之類的問題。本章主之類的問題。本章主要討論多元正態(tài)總體的假設檢驗方法及其實踐運用，要討論多元正態(tài)總體的假設檢驗方法及其實踐運用，我們將對一元正態(tài)總體情形作一簡單回想，然后將我們將對一元正態(tài)總體情形作一簡單回想，然后將引見單個總體均值的推斷，引見單個總體均值的推斷， 兩個總體均值的比較推兩個總

4、體均值的比較推斷，多個總體均值的比較檢驗和協(xié)方差陣的推斷等。斷，多個總體均值的比較檢驗和協(xié)方差陣的推斷等。 第一節(jié)第一節(jié) 引言引言 第二節(jié)第二節(jié) 均值向量的檢驗均值向量的檢驗 第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)差陣的檢驗協(xié)差陣的檢驗 第一節(jié)第一節(jié) 引言引言 n在單一變量的統(tǒng)計分析中，曾經給出了正態(tài)總體在單一變量的統(tǒng)計分析中，曾經給出了正態(tài)總體N ， 2 的均值的均值和方差和方差 2的各種檢驗。的各種檢驗。對于多變量的正態(tài)總體對于多變量的正態(tài)總體Np ， ，各種實，各種實踐問題同樣要求對踐問題同樣要求對和和進展統(tǒng)計推斷。進展統(tǒng)計推斷。n例如，我們要調查全國各省、自治區(qū)和直轄市的例如，我們要調查全國各省、自治區(qū)和直

5、轄市的社會經濟開展情況，與全國平均程度相比較有無社會經濟開展情況，與全國平均程度相比較有無顯著性差別等，就涉及到多元正態(tài)總體均值向量顯著性差別等，就涉及到多元正態(tài)總體均值向量的檢驗問題等。的檢驗問題等。n本章類似單一變量統(tǒng)計分析中的各種均值和方差本章類似單一變量統(tǒng)計分析中的各種均值和方差的檢驗，相應地給出多元統(tǒng)計分析中的各種均值的檢驗，相應地給出多元統(tǒng)計分析中的各種均值向量和協(xié)差陣的檢驗。向量和協(xié)差陣的檢驗。 n其根本思想和步驟均可歸納為：其根本思想和步驟均可歸納為：n 第一，提出待檢驗的假設第一，提出待檢驗的假設H0和和H1；n第二，給出檢驗的統(tǒng)計量及其服從的分布；第二，給出檢驗的統(tǒng)計量及其

6、服從的分布；n第三，給定檢驗程度，查統(tǒng)計量的分布表，第三，給定檢驗程度，查統(tǒng)計量的分布表，確定相應的臨界值，從而得到否認域；確定相應的臨界值，從而得到否認域；n第四，根據樣本觀測值計算出統(tǒng)計量的值，第四，根據樣本觀測值計算出統(tǒng)計量的值，看能否落入否認看能否落入否認 域中，以便對待判假設做出決域中，以便對待判假設做出決策回絕或接受。策回絕或接受。n在檢驗的過程中，關鍵在于對不同的檢驗給出在檢驗的過程中，關鍵在于對不同的檢驗給出不同的統(tǒng)計量，而有關統(tǒng)計量的給出大多用似不同的統(tǒng)計量，而有關統(tǒng)計量的給出大多用似然比如法得到。由于多變量問題的復雜性，本然比如法得到。由于多變量問題的復雜性，本章只偏重于解

7、釋選取統(tǒng)計量的合理性，而不給章只偏重于解釋選取統(tǒng)計量的合理性，而不給出推導過程，最后給出幾個實例。出推導過程，最后給出幾個實例。n為了更好的闡明檢驗過程中統(tǒng)計量的分布，本為了更好的闡明檢驗過程中統(tǒng)計量的分布，本章還要引見章還要引見HotellingT2分布和分布和Wilks分布的分布的定義。定義。第二節(jié)第二節(jié) 均值向量的檢驗均值向量的檢驗 一一 單一變量檢驗的回想及單一變量檢驗的回想及HotellingT2分布分布二二 一個正態(tài)總體均值向量的檢驗一個正態(tài)總體均值向量的檢驗三三 兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗四四 多個正態(tài)總體均值向量的檢驗多個正態(tài)總體均值向量的檢驗一、單一

8、變量檢驗的回想及一、單一變量檢驗的回想及HotellingT2分布分布n為了對多元正態(tài)總體均值向量作檢驗，首先需為了對多元正態(tài)總體均值向量作檢驗，首先需求給出求給出HotellingT2分布的定義。分布的定義。n n n 二、一個正態(tài)總體二、一個正態(tài)總體 均值向量的檢驗均值向量的檢驗n在經濟消費、管理決策中的很多實踐問題，通在經濟消費、管理決策中的很多實踐問題，通常要選取多個目的進展調查，根據歷史數(shù)據，常要選取多個目的進展調查，根據歷史數(shù)據，將項目的的歷史平均程度記作，思索新的項目將項目的的歷史平均程度記作，思索新的項目的平均值能否與歷史數(shù)據記載的平均值有明顯的平均值能否與歷史數(shù)據記載的平均值

9、有明顯差別？假設有差別，進一步分析差別主要在哪差別？假設有差別，進一步分析差別主要在哪些目的上，先看下面的實例：些目的上，先看下面的實例： n例例3.1丈量丈量20名安康女性排汗量名安康女性排汗量x1、鈉含量、鈉含量x2 、鉀含量、鉀含量x3得表得表3.1。問安康女性。問安康女性x1 、x2 、 x3的均值是不是的均值是不是4、50、10？ 排汗量排汗量x1鈉含量鈉含量x2鉀含量鉀含量x33.73.748.548.59.39.35.75.765.165.18.08.03.83.847.247.210.910.93.23.253.253.212.012.03.13.155.555.59.79.7

10、4.64.636.136.17.97.92.42.424.824.814.014.07.27.233.133.17.67.66.76.747.447.48.58.55.45.454.154.111.311.3排汗量排汗量x1鈉含量鈉含量x2鉀含量鉀含量x33.93.936.936.912.712.74.54.558.858.812.312.33.53.527.827.89.89.84.54.540.240.28.48.41.51.513.513.510.110.18.58.556.456.47.17.14.54.571.671.68.28.26.56.552.852.810.910.94.14

11、.144.144.111.211.25.55.540.940.99.49.4n例例3.1的數(shù)學模型就是：的數(shù)學模型就是： 服從服從 要根據要根據20個樣品做復合檢驗：個樣品做復合檢驗： ),(321xxxx ),(N10504:,10504:32113210HHn普通的，我們思索普通的，我們思索p維正態(tài)分布均值等于常數(shù)維正態(tài)分布均值等于常數(shù)的檢驗問題：的檢驗問題： 為取自維正態(tài)總體為取自維正態(tài)總體 n 的一個樣本，要檢驗：的一個樣本，要檢驗： nXXX,21),(1pN0100:;:HHn其中其中0為知為知p維向量。維向量。n n n例例3.1丈量丈量20名安康女性排汗量名安康女性排汗量x1、

12、鈉含量、鈉含量x2 、鉀含量鉀含量x3得表得表3.1。問安康女性。問安康女性x1 、x2 、 x3的的均值是不是均值是不是4、50、10？ 解：建立解：建立 10504:,10504:32113210HH用用SAS, SPSS等軟件都可算出等軟件都可算出 3.6276579 5.6400000- 1.8090526- 5.6400000- 1199.788421 10.01000001.8090526- 10.0100000 2.8793684,965. 94 .4564. 4SX74. 9)()(200102XSXT44. 2)10. 0(90. 2)3*19/(*)320(17, 32FT

13、F所以否認原假設，即在所以否認原假設，即在0.10顯著程度下回絕顯著程度下回絕 0H例例3.1 也可用以下也可用以下SAS程序計算程序計算 n data hanye;ninput x1-x3 ;y1=x1-4;y2=x2-50;y3=x3-10;a=1;ncards;n3.748.59.3 5.7 65.1 8.0 3.8 47.210.9n3.253.212.0 3.1 55.5 9.7 4.6 36.17.9n2.424.814.0 7.2 33.1 7.6 6.7 47.48.5n5.454.111.3 3.9 36.912.7 4.5 58.812.3n3.527.89.8 4.5 4

14、0.28.4 1.5 13.510.1n8.556.47.1 4.5 71.68.2 6.5 52.810.9n4.144.111.2 5.5 40.99.4n;nproc glm ;nmodel y1-y3=a/noint;nmanova h=a/printe printh;nrun; 執(zhí)行此程序后得到的輸出中主要的是最后一個表執(zhí)行此程序后得到的輸出中主要的是最后一個表n H = Type III SSCP Matrix for an E = Error SSCP Matrixn S=1 M=0.5 N=7.5nStatistic Value F Value NumDF DenDF Pr F

15、nWils La 0.661 2.90 3 17 0.0649nPilis T 0.339 2.90 3 17 0.0649nHote T 0.513 2.90 3 17 0.0649nRoys R 0.513 2.90 3 17 0.0649 P值為值為0.0649，所以否認原假設，即在，所以否認原假設，即在0.10顯著程度下回絕顯著程度下回絕 0H三、兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗三、兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗例例 3.2 為了研討日美兩國在華企業(yè)對中國運營環(huán)境的評價能否存為了研討日美兩國在華企業(yè)對中國運營環(huán)境的評價能否存在差別，從兩國在華企業(yè)對中國的政治、經濟、法律、文化在差別，從兩國在華企

16、業(yè)對中國的政治、經濟、法律、文化等環(huán)等環(huán)境打分，得表境打分，得表3-2。試分析日美兩國在華企業(yè)對中國運營環(huán)。試分析日美兩國在華企業(yè)對中國運營環(huán)境的境的評價能否存在差別？評價能否存在差別？美國企業(yè)號美國企業(yè)號政治環(huán)境政治環(huán)境X1X1經濟環(huán)境經濟環(huán)境X2X2法律環(huán)境法律環(huán)境X3X3文化環(huán)境文化環(huán)境X4X4美美1 16565353525256060美美2 27575505020205555美美3 36060454535356565美美4 47575404040407070美美5 570703030303050美美6 65555404035356565美美7 76060454530306060美美8

17、86565404025256060美美9 96060505030307070美美10105555555535357575例例 3.2 為了研討日美兩國在華企業(yè)對中國運營環(huán)境的評價能否存為了研討日美兩國在華企業(yè)對中國運營環(huán)境的評價能否存在差別，從兩國在華企業(yè)對中國的政治、經濟、法律、文化在差別，從兩國在華企業(yè)對中國的政治、經濟、法律、文化等環(huán)等環(huán)境打分，得表境打分，得表3-2。試分析日美兩國在華企業(yè)對中國運營環(huán)。試分析日美兩國在華企業(yè)對中國運營環(huán)境的境的評價能否存在差別？評價能否存在差別？日本企業(yè)號日本企業(yè)號政治環(huán)境政治環(huán)境Y1Y1經濟環(huán)境經濟環(huán)境Y2Y2法律環(huán)境法律環(huán)境Y3Y3文化環(huán)境文化環(huán)境

18、Y4Y4日日1 15555555540406565日日2 25050606045457070日日3 34545454535357575日日4 45050505050507070日日5 55555505030307575日日6 66060404045456060日日7 76565555545457575日日8 85050656535358080日日9 94040454530306565日日10104545505045457070假設假設 服從服從 ,服從服從 ，且有，且有10對樣品，要做復合檢驗對樣品，要做復合檢驗 ),(4321XXXXX ),(xxN),(4321YYYYY ),(yyN43

19、214321yyyyxxxx普通情況下，思索普通情況下，思索 為取自為取自p維正態(tài)總體維正態(tài)總體 的一個樣本，的一個樣本， 為取自維正態(tài)總體為取自維正態(tài)總體 的一個樣本。假定兩組樣本相互獨立，且的一個樣本。假定兩組樣本相互獨立，且),(4321XXXX),(1pN),(4321YYYY),(2pNmiiniiYmYXnX111,1n n 例例3.2的解：作假設的解：作假設 yxyxHH:;:105 .70405151,635 .304364YX756.6666666 928.8888888 434.4444444 227.2222222- 928.8888888 335.8333333 1.1

20、1111111 313.3333333- 434.4444444 1.11111111 756.6666666 918.8888888- 227.2222222- 313.3333333- 918.8888888- 454.4444444 xS335.8333333 111.1111111- 426.9444444 0.83333333- 111.1111111- 050.0000000 2.77777778 419.4444444426.9444444 2.77777778 355.8333333 5.83333333 0.83333333- 419.4444444 5.83333333 3

21、55.8333333yS所以日美兩國在華企業(yè)對中國運營環(huán)境的所以日美兩國在華企業(yè)對中國運營環(huán)境的評價存在顯著差別。評價存在顯著差別。 0H8625.29)()(101010*1012YXSYXT)01. 0(2214. 68625.29*)4*)210910/() 141010(15, 4FF例例3.2 也可用以下也可用以下SAS程序計算程序計算 ndata wu1;ninput no $ pol ecn leg cul cou $;ncards;n美美1 65 35 25 60 a 美美275 50 20 55 an美美3 60 45 35 65 a 美美475 40 40 70 an美美5

22、 70 30 30 50 a 美美655 40 35 65 an美美7 60 45 30 60 a 美美865 40 25 60 an美美9 60 50 30 70 a 美美10 55 55 35 75 an日日1 55 55 40 65 j 日日250 60 45 70 jn日日3 45 45 35 75 j 日日450 50 50 70 jn日日5 55 50 30 75 j 日日660 40 45 60 jn日日7 65 55 45 75 j 日日850 60 35 80 jn日日9 40 45 30 65 j 日日10 45 50 45 70 j n;nproc glm;nclass

23、cou;nmodel pol ecn leg cul=cou/ss3;nmanova h=cou/printe printh;nrun;執(zhí)行此程序后得到的輸出中主要的是最后一個表執(zhí)行此程序后得到的輸出中主要的是最后一個表n H = Type III SSCP Matrix for an E = Error SSCP Matrixn S=1 M=0.5 N=7.5nStatistic Value F Value NumDF DenDF Pr FnWils La 0.376 6.22 4 15 0.0037 nPilis T 0.624 6.22 4 15 0.0037 nHote T 1.659

24、 6.22 4 15 0.0037 nRoys R 1.659 6.22 4 15 0.0037 P值為值為0.0037，程度下回絕因此日美兩國在，程度下回絕因此日美兩國在華企業(yè)對中國運營環(huán)境的評價存在顯著華企業(yè)對中國運營環(huán)境的評價存在顯著差別。差別。 四、多個正態(tài)總體均值向量的檢驗四、多個正態(tài)總體均值向量的檢驗n經常遇到這樣的問題，有幾種不同的原料，要調查它經常遇到這樣的問題，有幾種不同的原料，要調查它們對產質量量有沒有顯著的影響。們對產質量量有沒有顯著的影響。n某種新藥與其它一些傳統(tǒng)藥物對病人進展分組實驗來某種新藥與其它一些傳統(tǒng)藥物對病人進展分組實驗來調查不同的藥物與治愈率有否明顯不同，這

25、里我們調調查不同的藥物與治愈率有否明顯不同，這里我們調查的對象，原料，藥物稱為要素查的對象，原料，藥物稱為要素.n當調查的要素只需一個時我們稱為單要素問題。假好當調查的要素只需一個時我們稱為單要素問題。假好像時思索兩個或更多的要素問題，那么稱多要素方差像時思索兩個或更多的要素問題，那么稱多要素方差分析這時計算起來很復雜。分析這時計算起來很復雜。例：調查溫度對某一化工廠產品得率的影響，選了五種不例：調查溫度對某一化工廠產品得率的影響，選了五種不同溫度，同一溫度做了三次實驗，測得結果如下：同溫度，同一溫度做了三次實驗，測得結果如下：n如今分析溫度的變化對得率的影響。從平均得率來看，好象溫度如今分析

26、溫度的變化對得率的影響。從平均得率來看，好象溫度對得率是有一定的影響，但詳細察看一下數(shù)據就會發(fā)現(xiàn)問題，表如對得率是有一定的影響，但詳細察看一下數(shù)據就會發(fā)現(xiàn)問題，表如今：今：n1同一溫度下得率并不完全一樣，產生這種差別的緣由是由于同一溫度下得率并不完全一樣，產生這種差別的緣由是由于實驗過程中各偶爾要素的干擾及丈量誤差所致，這一類誤差稱為實實驗過程中各偶爾要素的干擾及丈量誤差所致，這一類誤差稱為實驗誤差，或隨機誤差。驗誤差，或隨機誤差。n2兩種溫度的率不同的實驗中的傾向有所差別。如兩種溫度的率不同的實驗中的傾向有所差別。如65與與70相比，第一產相比，第一產65比比70好，而后二次好，而后二次70

27、比比65好。產生這種矛好。產生這種矛盾景象，顯然也能夠是由于隨機誤差的干擾。由于隨機誤差的存在，盾景象，顯然也能夠是由于隨機誤差的干擾。由于隨機誤差的存在，對于不同溫度下的得率的差別自然要提出疑問，這差別是隨機誤差對于不同溫度下的得率的差別自然要提出疑問，這差別是隨機誤差呵斥的呢，還是溫度不同的影響。由于溫度的不同而引起得率的差呵斥的呢，還是溫度不同的影響。由于溫度的不同而引起得率的差別我們稱為組間誤差或系統(tǒng)誤差。別我們稱為組間誤差或系統(tǒng)誤差。n上例全部上例全部15個數(shù)據參差不齊，它們的差別叫總變差。產生總變差個數(shù)據參差不齊，它們的差別叫總變差。產生總變差的緣由有兩個的緣由有兩個n1) 隨機誤

28、差隨機誤差 2) 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 方差分析處理這類問題的思想是：方差分析處理這類問題的思想是： nl 由數(shù)據的總變差中分別出隨機誤差和系統(tǒng)誤差。nl 用系統(tǒng)誤差和隨機誤差在一定條件下進展比較，如差別不大那么以為系統(tǒng)誤差對目的的影響不大，如系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的多，那么闡明條件的影響很大。以上面的例子闡明即溫度的變化對得率的影響很大，因此調整溫度對產量的影響很大。nl 選擇較好的工藝條件或確定進一步的實驗方案。n這里引見幾個方差分析術語：n要素：實驗中的每一個條件，如上例的溫度便是一個要素。n程度：要素在實驗中的等級稱為程度，如上例中要素溫度分為五個程度：6065，70，75，80。假設把要素

29、記為A，那么相應地把程度記為A1, A2, A3, A4, A5.n樣本：在同樣條件下得到不同的實驗結果每個結果，稱為樣本。4.1 單要素方差分析單要素方差分析 設要素設要素A取了取了M個程度，每個程度反復了個程度，每個程度反復了N次實驗得到次實驗得到MN個樣本，個樣本，在程度在程度Ai下的第下的第 j 次實驗結果樣本次實驗結果樣本Xij 可以分解為：可以分解為：ijiijX (6.2.1)這里這里ij N0，1。為了看出要素各程度影響的大小，將為了看出要素各程度影響的大小，將 Xij 再進展分解再進展分解, 令令 MiiM11 (6.2.2)令令Miaii, 2 , 1njmiaXijiij

30、, 2 , 1;, 2 , 1顯然顯然ai之間有關系之間有關系01 Miiaai 表示程度表示程度 Ai 對實驗結果產生的影響，它稱做程度對實驗結果產生的影響，它稱做程度 Ai 的效應。的效應。方差分析模型就是建立在以下假定之下：方差分析模型就是建立在以下假定之下：njMiaXijiij, 2 , 1;, 2 , 101 Miia 1 , 0 Nij 123一參數(shù)估計一參數(shù)估計即經過實驗估計即經過實驗估計和和ai，其估計量記為和，其估計量記為和和和ai 。令。令 MjijiN11 MiNjijMN111 那么那么 iiijiNjijiaaNXNX 111MiNjijiarX111這里這里MNr

31、 取取 是是的一個無偏估計。的一個無偏估計。類似地可以推出類似地可以推出 的無偏估計是的無偏估計是Xiaia XXaii 此時方差分析模型可以改寫為：此時方差分析模型可以改寫為：ijiijlaXX 反映了誤差反映了誤差 。由于。由于 ， ， 均為知故均為知故可以經過樣本求得。可以經過樣本求得。ijlij ijXXia ijl二統(tǒng)計檢驗二統(tǒng)計檢驗假設要素假設要素A對目的有顯著的影響，效應對目的有顯著的影響，效應ai不全部為零，反之那不全部為零，反之那么全為零。因此我們假設么全為零。因此我們假設或或根本思想是將總變差進展分別，即系統(tǒng)誤差和隨機誤差。根本思想是將總變差進展分別，即系統(tǒng)誤差和隨機誤差。

32、設：設：Stotal 總變差，即總變差，即mH210: MiNjMiNjiiijijXXXXXXStotal111122 )(2)(1122MiNjiiijiiijXXXXXXXX0:210maaaH MiNjMiNjiiijXXXX111122AESS 注：交叉項在線性假設下為注：交叉項在線性假設下為 0。這里統(tǒng)計量。這里統(tǒng)計量 MiMiiiiAaNXXNS1122 MiMiMiiiiiNaNaN11122 MiNjMiNjiijiijEXXS111122 對它們取期望值，利用對它們取期望值，利用 有有 0 EEi 221 MaNSEiA 2 MNSEE 令令AASMS11 eESMNS 1

33、那么有那么有 MiAiANaMNNSE12222 2 ESE假設假設H0：成立，那么：成立，那么 ，從而，從而 與與 之比應近于之比應近于1，即即 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 F 值應近于值應近于 1。假設要素。假設要素 A 對目的有顯著的影響對目的有顯著的影響 那么那么 將顯著的大于將顯著的大于1，這就是為什么可以用統(tǒng)計量，這就是為什么可以用統(tǒng)計量 F來進展檢驗要素來進展檢驗要素 A 能否顯著的道理。能否顯著的道理。由統(tǒng)計實際推知，在線性模型假設下，由統(tǒng)計實際推知，在線性模型假設下， 服從服從M-1個自個自在度的在度的 分布，分布， 服從服從NM個自在的個自在的 分布，且兩者獨立，從而分布，且兩者獨立，從

34、而 服從以服從以M-1，N-M為自在度的為自在度的F分布。分布。02 A ASESBASSF/ /AS)1(2 M /ES)(2MN BASSF/iY(1,)AEMSFF anaMS0()(1,)HpPFfP F anaf22(1)ASSn方差分析表的普通方式為：方差分析表的普通方式為：SAS中的proc anova用于單要素的方差分析. proc anova data= Manova 按多元分析的要求略去有任一缺失值的記錄outstat=;指定統(tǒng)計結果輸出的數(shù)據集名class;必需，指定要分析的處置要素model/選項;必需， 給出分析用的方差分析模型means/選項; 指定要兩兩比較的要素

35、及比較方法BY;FREQ;MANOVA H=效應 E=效應 M= 公式.; 指定多元方差分析的選項輸出的結果如下： Source DF SumofSquares MeanSquare FVal Pr F Model 2 119.8367 59.9156933 14.32 .0001 Error 27 112.9711500 4.1841167 Total 29 232.8025367 例例3.1 為比較同一類型的三種不同食譜的營養(yǎng)為比較同一類型的三種不同食譜的營養(yǎng)效果，將效果，將19只幼鼠隨機的分為三組，每組分別只幼鼠隨機的分為三組，每組分別為為8只、只、4只、只、7只，各采用這三種食譜喂養(yǎng)，

36、只，各采用這三種食譜喂養(yǎng)，假定其他條件不變，假定其他條件不變，12周后測得其體重添加量周后測得其體重添加量的數(shù)據如下的數(shù)據如下,設體重添加數(shù)據服從方差分析模型設體重添加數(shù)據服從方差分析模型試分析這三種食譜的營養(yǎng)效果能否明顯差別試分析這三種食譜的營養(yǎng)效果能否明顯差別. 檢驗假設檢驗假設H0(即三種食譜的營養(yǎng)效果無顯著差即三種食譜的營養(yǎng)效果無顯著差異異)的的p值為值為0.1863，該值較大，不能回絕，該值較大，不能回絕H0, 以為無明顯差別以為無明顯差別. 例例3.2 有四個不同實驗室制同一型號的紙張，為有四個不同實驗室制同一型號的紙張，為比較它們消費的紙張的光滑度，丈量了每個實比較它們消費的紙張

37、的光滑度，丈量了每個實驗室消費的驗室消費的8張，光滑度如下，設數(shù)據服從方差張，光滑度如下，設數(shù)據服從方差分析模型，對顯著程度分析模型，對顯著程度=0.05，析四個實驗室，析四個實驗室消費的紙張光滑度有無顯著差別消費的紙張光滑度有無顯著差別.檢驗假設檢驗假設H0(即四個實驗室試制的紙張光滑度即四個實驗室試制的紙張光滑度有無顯著差別有無顯著差別)的的p值為值為0.0027=0.05 ，拒，拒絕絕H0, 即以為四個實驗室消費的紙張在顯著水即以為四個實驗室消費的紙張在顯著水平平0.05下顯著不同下顯著不同4.3 多要素方差分析多要素方差分析n 單要素方差分析的根本思想是在實驗條件下單要素方差分析的根本

38、思想是在實驗條件下,我們將總的誤我們將總的誤差平方和分別成隨機誤差差平方和分別成隨機誤差Se和系統(tǒng)誤差和系統(tǒng)誤差SA，并將其加工成，并將其加工成F=SA/Se統(tǒng)計量，當統(tǒng)計量，當F比比1很多時，那么以為系統(tǒng)因子即要素對很多時，那么以為系統(tǒng)因子即要素對結果有特別的影響。將這一思想推行到多要素結果有特別的影響。將這一思想推行到多要素A1，A2，AP即得多要素方差分析。即得多要素方差分析。n以三要素以三要素A，B，C為例，我們來推導三要素方差分析的算法，為例，我們來推導三要素方差分析的算法，其他多要素方差分析可以同理推行。對要素程度的某一組合假其他多要素方差分析可以同理推行。對要素程度的某一組合假照

39、實驗次數(shù)為一次，稱為無反復實驗。假設實驗次數(shù)為多次那照實驗次數(shù)為一次，稱為無反復實驗。假設實驗次數(shù)為多次那么稱多要素可反復方差分析。這里每一組合的反復次數(shù)必需一么稱多要素可反復方差分析。這里每一組合的反復次數(shù)必需一樣。樣。 1 無反復三要素方差分析無反復三要素方差分析記三個要素分別為記三個要素分別為A，B，C，它們的程度數(shù)分別為，它們的程度數(shù)分別為a，b，c，樣，樣本記為：本記為：), 2 , 1;, 2 , 1;, 2 , 1(ckbjaixijk 令令 表示實驗數(shù)據的總體均值，表示實驗數(shù)據的總體均值， 分別表示三分別表示三個要素各自的效應，而個要素各自的效應，而 分別表示要素分別表示要素A

40、，B，C兩兩的混合效應，那么多要素方差分析線性模型可表示為：兩兩的混合效應，那么多要素方差分析線性模型可表示為： CkBjAiaaa,ACikBCjkABijaaa,ijkACikBCjkABijCkBjAiijkaaaaaax 這里，這里， 獨立同分布。獨立同分布。),0(2 Nijk我們的我們的 假設為：假設為：0H 00:0ACikBCjkABijCkBjAiaaaaaaH2可反復多要素方差分析模型可反復多要素方差分析模型在在 l l 次反復實驗的情況下，多要素方差分析線性模型為：次反復實驗的情況下，多要素方差分析線性模型為： ijklABCijkACikBCjkABijCkBjAiij

41、kaaaaaaax 000:0ABCijkACikBCjkABijCkBjAiaaaaaaaH普通對普通對 r 個要素個要素 的多要素方差分析中的多要素方差分析中, 對于察看值對于察看值的線性模型，有的線性模型，有 個各要素主效應，個各要素主效應， 個兩兩不同要素的個兩兩不同要素的交互效應，交互效應， 個個r-1個要素的交互效應以及隨機誤差個要素的交互效應以及隨機誤差項之和。項之和。平方和分解平方和分解2 rriiix211rC2rC1 rrC ijkACikBCjkABijCkBjAiijkaaaaaax2)(min 在假設之下，可得估計量。在假設之下，可得估計量。 最小二乘估計最小二乘估計

42、 AiaBjaCkaABijaBCjkaACika.X.XiX .XjX .XXk .XjXiXijX .XkXjXjkX .XkXiXkiX 三要素方差分析各影響得估計量三要素方差分析各影響得估計量 分別總平方和為分別總平方和為 ijkEACBCABCBAijkSSSSSSSxx2.其中其中 為殘差平方和項，我們可以得到三要素方差分析表為殘差平方和項，我們可以得到三要素方差分析表 ES兩要素方差分析兩要素方差分析anova2語法：語法：Two-way Analysis of Variance (ANOVA) p = anova2(X,reps) p = anova2(X,reps,displ

43、ayopt) p,table = anova2(.)p,table,stats = anova2(.)這里：這里：X：數(shù)據矩陣：數(shù)據矩陣reps：反復次數(shù)：反復次數(shù)數(shù)據的構造為：數(shù)據的構造為：下標第一位：下標第一位：A要素程度數(shù)要素程度數(shù)下標第二位：下標第二位：B要素程度數(shù)要素程度數(shù)下標第三位：反復次數(shù)下標第三位：反復次數(shù)本例的數(shù)據為：本例的數(shù)據為： 33 35 33 35 34 37 34 37 36 37 36 3736 37 3836 37 38 37 39 37 39 39 40 39 40 38 42 38 4238 41 4438 41 44 A1 A2 A3B1B2B4B3% 兩

44、要素方差分析兩要素方差分析X=load(e:dataanov_2.txt) % 讀入數(shù)據讀入數(shù)據p = anova2(X,2) % 求兩要素方差分析求兩要素方差分析結果分析：結果分析：A要素有顯著性影響，要素有顯著性影響，B要素有顯著影響。要素有顯著影響。AB的交叉要素那么沒有影響。的交叉要素那么沒有影響。多要素方差分析多要素方差分析anovan語法：語法：N-way analysis of variance (ANOVA) p = anovan(x,group) p = anovan(x,group,Param1,val1,Param2,val2,.)p,table = anovan(.)p,table,stats = anovan(.) p,table,stats,terms = anovan(.) 例例6.2.4 設三要素各有二程度，每個程度搭配下實驗一次。設三要素各有二程度，每個程度搭配下實驗一次。52.7 57.5 45.9 44.5 53.0 57.0 45.9 44.0 實驗數(shù)據實