三元一次方程組的解法和應用

1、課 題：三元一次方程組解法及應用一、學習內容熟練掌握三元一次方程組解法。會應用三元一次方程組解答實際問題。二、例題分析例1解方程組y = 2x-7< 5x+ 3y+ 2z4說明：解三元一次方程，可以先消去一個未知數(shù)化為二元一次方程來解，即三元轉化二元轉化一元, 因此代入消元、加減消元法均可運用。例2解方程組2x_y = dx + 2尹 + 5z = 13x-ly + z = 4枝花耗化提示：三元一次方程組的解法也可以設法將三元二元一元。若關于x, y的方程組<兀+ 4尹一7 = 02兀 +尹一 2b= 03x +矽一 13= 0 例3:有相同的解，求a, b的值。提示：兩方程組有相

2、同的解是指存在一對x. y的值，使兩個方程組中的每兩個方程左邊和右邊的值 + 4y-7= 0<相等，這x、y的值就是方程組'2y + 5=0的解.jx + 4y= 0解：解方程組x2y + 5 = 0-得6y=12.*.y=2把y=2代入得x=-l把 x=-l, y=2 代入，得 3 x (-l)+2at3=0 解得 a=8 b=0說明：此題是利用待定系數(shù)法求解a、b值是二元一次方程組的一個簡單應用£ = = £ 解方程組|235例4x + y+z = 20提示：這個方程組中的方程是一個等比式，這就決定了這個方程的特殊性采取特殊的解法，設235 ，那么x =

3、2k , y = 3k , z = 5k,然后都代入解出k求解x, y, z。兀解設235那么 x = 2k , y = 3k , z = 5k 將代入得 2k + 3k + 5k = 20 , 10k = 20, k =2x = 4= 6將k = 2代入得到l 一 原方程組的解解方程組例5兀+尹+ 1=2xz + 2x 小=3x + z + 2b+l)(z+2)=4提示：可采用先例數(shù)，再裂項，再換元的方法。x+尹+1_ 1xcy + 1) 2x + z + 2 _ 1'x(z + 2) 3尹+ z + 3_ 1o+1)(z + 2)=n令x=a '擊=已護cb + a = -

4、2則得到 h + c二*c + b=-47a =24 b = ±240 =丄24說明：本例關鍵是對自方程組取倒數(shù)和裂項，取倒數(shù)法是一種常用的解題方法，是一種非常巧妙的逆向 思維方法。例6:、乙、丙三數(shù)之和為26,甲數(shù)比乙數(shù)大1,甲數(shù)的2倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大18,求甲、乙、丙三個數(shù).答案：設甲、乙、丙三個數(shù)分別為x、y、z。依題意得解得x = 10x + y + z = 26v x-y = 12x + z y = 18答：甲、乙、丙三個數(shù)分別為10、9、7。例7某選擇題共有10小題，評分標準如下：選對得4分，選錯倒扣2分，不選得0分，已知小王選擇題的 得分是28分，且選對的題數(shù)是選錯題

5、數(shù)的4倍，問小王選對、選錯、不選的各有幾題.答案：設小王選對、選錯、不選的題分別為x題、y題、z題。依題意得x + y + z = 10<4x-2y = 2sx = 4y解得答：小王選對.選錯.不選的題分別為8題.2題、0題。例8某車間共有職工63人，加工一件產(chǎn)品需經(jīng)三道工序，平均每人每天在第一道工序里 能加工300件，在第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，為使每天 能生產(chǎn)出更多的產(chǎn)品，應如何安排各工序里的人數(shù)？x = 3oz = 15答案：設在第一道工序、第二道工序、第一道工序的人數(shù)分別為x人、y人、z人。依題意得x + y + z = 63300兀=5ooy =

6、 600z答：在第一道工序、第二道工序、第一道工序的人數(shù)分別為30人、18人、15人。例9、有1角、5角、1元的三種硬幣15枚，共7元，你能知道這三種硬幣各有多少枚嗎?答案：設1角、5角、1元的三種硬幣分別為x枚、y枚、z枚。依題意得x + y + z = 150lx + 0.5y + z = 7 80-5yx =-，得 0. 9x+0. 5y=8.即9。x = 5因為x、y都是正整數(shù)，所以x=5, y=7,代入得z=3,所以<y = 7z = 3答：1角、5角、1元的三種硬幣分別為5枚、7枚、3枚。 例10、某步行街擺放有若干盆甲、乙、丙三種造型的盆景.甲種盆景由15朵紅花、24朵黃花

7、和25朵紫花 搭配而成，乙種盆景由10朵紅花和12朵黃花搭配而成，丙種盆景由10朵紅花、18朵黃花和25朵紫花搭 配而成.這些盆景一共用了 2900朵紅花，3750朵紫花，則黃花一共用了 4380朵.分析:題中有兩個等量關系：甲種盆景所用紅花的朵數(shù)+乙種盆景所用紅花的朵數(shù)+丙種盆景所用紅花的 朵數(shù)=2900朵，甲種盆景所用紫花的朵數(shù)+丙種盆景所用紫花的朵數(shù)=3750朵.據(jù)此可列出方程組，設步 行街擺放有甲、乙、丙三種造型的盆景分別有x盆、y盆、z盆，用含x的代數(shù)式分別表示y、z,即可 求出黃花一共用的朵數(shù).解：設步行街擺放有甲、乙、丙三種造型的盆景分別有x盆、y盆、z盆.由題意，有15x+10

8、y+10z=290025x+25z=3750，由得，3x+2y+2z=580，由得，x+z=l50，把代入，得x+2y=280, /.2y=280-x，由得z=150-x®./.4x+2y+3z=4x+ ( 280-x ) +3 ( 150-x) =730,黃花一共用了: 24x+12y+18z=6 ( 4x+2y+3z ) =6 x 730=4380.故黃花一共用了 4380朵.例11、某果品店組合銷售水果，甲種搭配：2千克a水果，4千克b水果；乙種搭配：3千克a水果，8千 克b水果，1千克c水果；丙種搭配：2千克a水果，6千克b水果，1千克c水果.a水果價格每千克2元, b水果價

9、格每千克1. 2元，c水果價格每千克10元.某天該店銷售三種搭配共得441.2元，其中a水果的銷 售額為116元，則c水果的銷售額為150元.夕莎.設甲種搭配、乙種搭配、丙種搭配分別銷售了 x個、y個、z個.根據(jù)該店銷售三種搭配共得441.2元，其中a水果的銷售額為116元，可以列方程組，根據(jù)題意，只需整體求得y+z的值即可.解：設甲種搭配、乙種搭配、丙種搭配分別銷售了 x個、y個、z個.根據(jù)題意,得8. 8x+25 6y+21. 2z=441. 24x+6y+4z=116,第一個方程減去第二個方程的2. 2倍，得12.4y+12. 4z=186,即 y+z=15,10y+10z=150.故答

10、案為：150.點評:此題能夠根據(jù)等量關系正確列方程組，然后運用加減法整體求得y+z的值即可.例12、某工程由甲、乙兩隊合作6天完成，廠家需付甲、乙兩隊共8700元，乙、丙兩隊合作10天完成，2廠家需付乙、丙兩隊共9500元，甲、丙兩隊合作5天，完成全部工程的3,廠家需付甲、丙兩隊共5500 元.（1）求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超過15天完成全部工程，問可由哪隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由.解：（1）設甲隊單獨做x天完成，乙隊單獨做y天完成，丙隊單獨做z天完成，則錯誤！未找到引用源。解方程組，得x = 10< y = 157 = 30.二一小丿錯

11、誤！未找到引用源。（2）設甲隊天應付給a元，乙隊做一天應付給b元，丙隊做一天應付給c元，則有錯誤！未找到引用源。a = 800< b = 650c - 300解方程組，得i錯誤！未找到引用源。v10a=8000 （元），15b=9750 （元），由甲隊單獨完成此工程花錢最少.答：（1 ）甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做15天完成，丙隊單獨做30天完成,(2)由甲隊單獨完成此工程花錢最少.方程組:3x-5y-6z = 4 1.<2x-2y-3z = 5®2x-3y-4-z =4(3)3兀一 y+ 2z = 10(2)3. 小明是一個昆蟲愛好者，一天，他捕捉了蜘蛛、蜻蜓、蟬一

12、共18只，他仔細觀察后發(fā)現(xiàn)， 蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，他數(shù)了數(shù)，他們一共有 118條腿和20對翅膀，你能確定小明捕捉了多少只蜘蛛，多少只蜻蜓，多少只蟬嗎？4. (2011重慶)某步行街擺放有若干盆甲、乙、丙三種造型的盆景.甲種盆景由15朵紅花、 24朵黃花和25朵紫花搭配而成.乙種盆景由10朵紅花、12朵黃花搭配而成.丙種盆景由10 朵紅花、18朵黃花和25朵紫花搭配而成.這些盆景一共用了 2900朵紅花，3750朵紫花，則 黃花一共用了幾朵.5. 汽車在相距70千米的甲、乙兩地往返行駛，由于行駛中有一個坡度均勻的小山，所以去時 用時2小時30分，返回時用時

13、2小時18分，已知汽車在平地上每小時行駛30千米，下坡 每小時行駛40千米，上坡時每小時行駛20千米，求去時上坡路、下坡路及平的路程.6. 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲4件、乙5件、丙1件，共需230元；若購甲7件、乙9 件、丙1件，共需385元，問甲、乙、丙三種貨物各購一件共需多少元？7. 下表所示為裝運甲、乙、丙三種蔬菜的重量及利潤，某汽車公司計劃用20輛汽車裝運甲、 乙、丙三種蔬菜36噸到外地銷售（每量汽車按規(guī)定滿載，每車只能裝同一種蔬菜，每種蔬 菜不少于1車）,應該如何安排，可使公司獲得利潤18300元？甲乙丙每輛汽車能 裝的噸數(shù)211. 5每噸蔬菜可 獲得利潤（百元）5748. 某校對高三年級275名學生戶外活動和健康達標情況進行了調查，結果是：第一種數(shù)學平 均每天參加戶外活動lh以上，第二種學生平均每天參加戶外活動0.5h到lh之間，這兩種學 生人數(shù)均為100人，其余為第三種學生，平均每天參加戶外活動的時間不夠0. 5h,第一種學生 的健康達標人數(shù)比后兩種學生的健康達標人數(shù)的和少4人，