幾何問題-面積和等積變換2(30道,含詳細(xì)解答)

1、菁優(yōu)網(wǎng)幾何問題-面積和等積變換2 幾何問題-面積和等積變換2一解答題（共30小題）1如圖，長方形ABCD中，AB=4，BC=2，F(xiàn)、E分別在AB、CD上，連接DF、CF、AE、BE交于Q、P求四邊形PEQF面積的最大值2如圖，這是一個(gè)中國象棋盤，圖中小方格都是相同的正方形（“界河”的寬等于小正方形的邊長），假設(shè)黑方只有一個(gè)“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一個(gè)，紅方有兩個(gè)“相”，它們只能在8，9，10，11，12，13，14中的兩個(gè)位置，問：這三個(gè)棋子（一個(gè)“象”和兩個(gè)“相”）各在什么位置時(shí)，以這三個(gè)棋子為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積最大？3如圖（1），某住宅小區(qū)有一三角形空地（三角

2、形ABC），周長為2 500m，現(xiàn)規(guī)劃成休閑廣場且周圍鋪上寬為3m的草坪，求草坪面積（精確到1 m2）由題意知，四邊形AEFB，BGHC，CMNA是3個(gè)矩形，其面積為2 500×3 m2，而3個(gè)扇形EAN，F(xiàn)BG，HCM的面積和為×32 m2，于是可求出草坪的面積為7 500+97528（ m2）（1）若空地呈四邊形ABCD，如圖（2），其他條件不變，你能求草坪面積嗎？若能，請(qǐng)你求出來；若不能，請(qǐng)說明理由；（2）若空地呈五邊形ABCDE，如圖（3），其他條件不變，還能求出草坪面積嗎？若能，請(qǐng)你求出來；若不能，請(qǐng)說明理由；（3）若空地呈n（n3）邊形，其他條件不變，這時(shí)你還能

3、求出草坪面積嗎？若能，請(qǐng)你求出來4如圖1，點(diǎn)P是ABD中AD邊上一點(diǎn)，當(dāng)P為AD中點(diǎn)時(shí)，則有SABP=SBDP，如圖2，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，探究：（1）當(dāng)AP=AD時(shí)，如圖3，PBC與ABC和DBC的面積之間有什么關(guān)系？寫出求解過程；（2）當(dāng)AP=AD時(shí)，探究SPBC與SABC和SDBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；（3）一般地，當(dāng)AP=AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，探究SPBC與SABC和SDBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；（4）當(dāng)AP=AD（01）時(shí)，直接寫出SPBC與SABC和SDBC之間的關(guān)系5銳角三角形ABC的外心為O，外接圓半徑為R，延長AO，BO，CO，分別與對(duì)邊BC，

4、CA，AB交于D，E，F(xiàn)；證明：6如圖，M、N為四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，AN、BM交于P點(diǎn)，CM、DN交于Q點(diǎn)若四邊形ABCD的面積為150，四邊形MPNQ的面積為50，求陰影部分的面積之和7設(shè)直角三角形的邊長均是正整數(shù)，且周長數(shù)等于面積數(shù)，試確定此三角形的邊長？8設(shè)直線，（n為自然數(shù)）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為Sn（n=1，2，32008），求S1+S2+S3+S20089在直角三角形ABC中，A=90°，AD，AE分別是高和角平分線，且ABE，AED的面積分別為S1=30，S2=6，求ADC的面積S10如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOY中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分

5、別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直線l經(jīng)過點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，求直線l的函數(shù)表達(dá)式11已知ABCD中，若ADE、BEF、CDF的面積分別為5、3、4，求DEF的面積12有三條線段A、B、C，A長2.12米，B長2.71米，C長3.53米以它們作為上底、下底和高，可以作出三個(gè)不同的梯形問：第幾個(gè)梯形的面積最大？（參看圖思考時(shí)間 40秒）13如圖，一個(gè)大的六角星形（粗實(shí)線）的頂點(diǎn)是周圍六個(gè)全等的小六角星形（細(xì)線型）的中心，相鄰的兩個(gè)小六角星形各有一個(gè)公共頂點(diǎn)，如果小六角星形的頂點(diǎn)C到中心A的距離為a，

6、求：（1）大六角星形的頂點(diǎn)A到其中心O的距離；（2）大六角星形的面積；（3）大六角星形的面積與六個(gè)小六角星形的面積之和的比值（注：本題中的六角星形有12個(gè)相同的等邊三角形拼接而成的）14如圖，是一塊黑白格子布白色大正方形的邊長是14厘米，白色小正方形的邊長是6厘米問：這塊布中白色的面積占總面積的百分之幾？（思考時(shí)間：50秒）15如圖，中正方形的邊長是2米，四個(gè)圓的半徑都是1米，圓心分別是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)問：這個(gè)正方形和四個(gè)圓蓋住的面積是多少平方米？（思考時(shí)間48秒）16（）如圖1，在正方形ABCD內(nèi)，已知兩個(gè)動(dòng)圓O1與O2互相外切，且O1與邊AB、AD相切，O2與邊BC、CD相切若正方形ABC

7、D的邊長為1，O1與O2的半徑分別為r1，r2求r1與r2的關(guān)系式；求O1與O2面積之和的最小值（）如圖2，若將（）中的正方形ABCD改為一個(gè)寬為1，長為的矩形，其他條件不變，則O1與O2面積的和是否存在最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值17已知四邊形ABCD兩條對(duì)角線互相垂直，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，ACD=60°，ABD=45°，點(diǎn)A到CD的距離是6，點(diǎn)D到AB的距離是8，求四邊形ABCD的面積S18探索：在圖1至圖3中，已知ABC的面積為a，（1）如圖1，延長ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA若ACD的面積為S1，則S1=_（用含a的代數(shù)式表

8、示）（2）如圖2，延長ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE若DEC的面積為S2，則S2=_（用含a的代數(shù)式表示）（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到DEF（如圖3）若陰影部分的面積為S3，則S3=_（用含a的代數(shù)式表示），并運(yùn)用上述（2）的結(jié)論寫出理由發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn)，得到DEF（如圖3），此時(shí)，我們稱ABC向外擴(kuò)展了一次可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的DEF的面積是原來ABC面積的_倍應(yīng)用：要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進(jìn)行了如下的圖案設(shè)計(jì)：首先在ABC的空地上種紅花，然后將

9、ABC向外擴(kuò)展三次（圖4已給出了前兩次擴(kuò)展的圖案）在第一次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種謊話，第二次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種藍(lán)花如果種紅花的區(qū)域（即ABC）的面積是10平方米，請(qǐng)你運(yùn)用上述結(jié)論求出：（1）種紫花的區(qū)域的面積；（2）種藍(lán)花的區(qū)域的面積19某生活小區(qū)臨街的一面有塊如圖所示的梯形空地，物業(yè)部門打算把這塊空地美化一下，以供觀賞初步打算沿對(duì)角線AC，BD修兩條小路，把梯形ABCD分成四塊，種上相同種類的花四塊地的面積分別為S1，S2，S3，S4，一位物業(yè)工人很快看出S3，S4兩種需要花的棵數(shù)大致相等（1）你知道他是根據(jù)什么判斷的嗎？（說明S3與S4之間關(guān)系的理由？）（2）請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)探究S

10、1，S2，S3三者之間的關(guān)系？20如圖，若長方形APHM，BNHP，CQHN的面積分別為7、4、6，求陰影部分的面積是多少？21已知正方形ABCD的邊長為10厘米，AE長為8厘米，CF長為2厘米求圖中陰影部分面積22如圖，ABC被分為四塊，其中三塊的面積分別為4，6，12平方厘米，求四邊形AEDF的面積23如圖，正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，四邊形BGHF的面積是多少平方厘米？24如圖，正方形ABCD的邊長為8厘米，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，EC，F(xiàn)B，GA的中點(diǎn)，CE與DH的交點(diǎn)為I，求四邊形FGHI的面積25長方形EFGH的長，寬分別為6厘米，4厘米

11、，陰影部分的總面積為10平方厘米，求四邊形ABCD的面積26如圖，在四邊形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，P為BC的中點(diǎn)，N為CD的中點(diǎn)，Q為DA的中點(diǎn)，若圖中中間的小四邊形的面積為1，試求四個(gè)小三角形（陰影部分）面積之和27已知D是BC的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，且ADC的面積比EFG的面積大6平方厘米ABC的面積是多少平方厘米28已知ABC的面積為1，延長AB至點(diǎn)D，使BD=AB，延長BC至點(diǎn)E，使CE=2BC，延長CA至點(diǎn)F使AF=3AC求三角形DEF的面積29如圖，四邊形PQRS與邊長為10的正方形ABCD的內(nèi)側(cè)相接，SEBC于E，PFCD于F，且RQ=9，EQ=2，RF=3，

12、請(qǐng)求出四邊形PQRS的面積30如圖，三塊大小相同的正方形紙片，放在一個(gè)底為正方形的盒子內(nèi)，它們互相重疊在露出的部分中，紅色面積是20，黃色面積是17，綠色面積是7求正方形盒子底的面積幾何問題-面積和等積變換2參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1如圖，長方形ABCD中，AB=4，BC=2，F(xiàn)、E分別在AB、CD上，連接DF、CF、AE、BE交于Q、P求四邊形PEQF面積的最大值考點(diǎn)：面積及等積變換808518 分析：先根據(jù)梯形的對(duì)角線分得的四個(gè)三角形的面積關(guān)系，得出面積關(guān)系，再結(jié)合不等式的性質(zhì)得出面積不等式，根據(jù)不等式的性質(zhì)得出c+f的最大值解答：解：先證明一個(gè)結(jié)論如左圖，梯形ABCD中，

13、ADBC，AC、BD交于E點(diǎn)，設(shè)SAED=a，SBEC=b，SABE=c，SDEC=d，有ab=cd，c=d，c=d=，（）20，a+b2=c+d，當(dāng)a=b時(shí)，“=”成立；如右圖，連接EF，由上述結(jié)論可知2（c+f）a+b+d+e，故4（c+f）a+b+e+d+2c+2f=8，得c+f2，當(dāng)a=b、d=e時(shí)，即ADEF時(shí)，等號(hào)成立四邊形PEQF面積的最大值為2點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形的面積及等積變換關(guān)鍵是由梯形的對(duì)角線分得四個(gè)三角形，推出面積的關(guān)系式2如圖，這是一個(gè)中國象棋盤，圖中小方格都是相同的正方形（“界河”的寬等于小正方形的邊長），假設(shè)黑方只有一個(gè)“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位

14、置中的一個(gè)，紅方有兩個(gè)“相”，它們只能在8，9，10，11，12，13，14中的兩個(gè)位置，問：這三個(gè)棋子（一個(gè)“象”和兩個(gè)“相”）各在什么位置時(shí)，以這三個(gè)棋子為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積最大？考點(diǎn)：面積及等積變換808518 分析：要在這些三角形中尋求最大者，只要比較它們頂點(diǎn)所在邊構(gòu)成的三角形面積尋找最大者就可以，進(jìn)而分別求出比較即可解答：解：我們設(shè)每個(gè)小方格的邊長為1個(gè)單位，則每個(gè)小方格正方形面積為1平方厘米由于三個(gè)頂點(diǎn)都在長方形邊上的三角形的面積至多為這個(gè)長方形面積的一半，所以要在這些三角形中尋求最大者，只要比較它們頂點(diǎn)所在邊構(gòu)成的三角形面積尋找最大者就可以了直觀可見，只需比較（3，10，12

15、）或（2，10，12）與（3，10，13）或（2，12，14）這兩類三角形的面積頂點(diǎn)為（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面積為8×7×0.5=28；（8分）頂點(diǎn)為（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面積為9×6×0.5=27；（16分）所以頂點(diǎn)在（3，10，12）或（2，10，12）時(shí)三角形的面積最大（20分）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了面積及等積變換，根據(jù)已知得出比較（3，10，12）或（2，10，12）與（3，10，13）或（2，12，14）這兩類三角形的面積是解題關(guān)鍵3如圖（1），某住宅小區(qū)有一三角形空地（三角形ABC），周長為2 5

16、00m，現(xiàn)規(guī)劃成休閑廣場且周圍鋪上寬為3m的草坪，求草坪面積（精確到1 m2）由題意知，四邊形AEFB，BGHC，CMNA是3個(gè)矩形，其面積為2 500×3 m2，而3個(gè)扇形EAN，F(xiàn)BG，HCM的面積和為×32 m2，于是可求出草坪的面積為7 500+97528（ m2）（1）若空地呈四邊形ABCD，如圖（2），其他條件不變，你能求草坪面積嗎？若能，請(qǐng)你求出來；若不能，請(qǐng)說明理由；（2）若空地呈五邊形ABCDE，如圖（3），其他條件不變，還能求出草坪面積嗎？若能，請(qǐng)你求出來；若不能，請(qǐng)說明理由；（3）若空地呈n（n3）邊形，其他條件不變，這時(shí)你還能求出草坪面積嗎？若能，請(qǐng)

17、你求出來考點(diǎn)：面積及等積變換808518 分析：（1）利用草坪面積為：S草=S矩形ABFE+S矩形BGHC+S矩形CMND+S矩形DPQA+4個(gè)小扇形的面積的和，求出即可；（2）利用空地呈五邊形時(shí)，5個(gè)小扇形可以組成一個(gè)圓，即可得出；（3）根據(jù)空地呈n邊形時(shí)，n個(gè)小扇形也可以組成一個(gè)圓，求出即可解答：解：（1）如圖（2），空地呈四邊形ABCD時(shí)，其草坪面積為：S草=S矩形ABFE+S矩形BGHC+S矩形CMND+S矩形DPQA+4個(gè)小扇形的面積的和4 個(gè)小扇形可以組成一個(gè)圓S草地=2 500×3+97 528（m2）（2）空地呈五邊形時(shí)，5個(gè)小扇形可以組成一個(gè)圓S草地=2 500&#

18、215;3+97 528（m2）（3）空地呈n邊形時(shí)，n個(gè)小扇形也可以組成一個(gè)圓S草地=2 500×3+97 528（m2）答：不論空地呈三角形、四邊形還是五邊形，還是n（n3）邊形，其面積都是 7 528m2點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了面積的等積變換，根據(jù)圖形得出空地呈n邊形時(shí)，n個(gè)小扇形也可以組成一個(gè)圓是解題關(guān)鍵4如圖1，點(diǎn)P是ABD中AD邊上一點(diǎn)，當(dāng)P為AD中點(diǎn)時(shí)，則有SABP=SBDP，如圖2，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，探究：（1）當(dāng)AP=AD時(shí)，如圖3，PBC與ABC和DBC的面積之間有什么關(guān)系？寫出求解過程；（2）當(dāng)AP=AD時(shí)，探究SPBC與SABC和SDBC之

19、間的關(guān)系，寫出求解過程；（3）一般地，當(dāng)AP=AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，探究SPBC與SABC和SDBC之間的關(guān)系，寫出求解過程；（4）當(dāng)AP=AD（01）時(shí)，直接寫出SPBC與SABC和SDBC之間的關(guān)系考點(diǎn)：面積及等積變換808518 分析：（1）根據(jù)AP=AD，ABP和ABD的高相等，得出CDP和CDA的高相等，進(jìn)而得出SPBC=S四邊形ABCDSABPSCDP，整理求出即可；（2）仿照（1）的方法，只需把 換為 ；（3）注意由（1）（2）得到一定的規(guī)律；得到面積和線段比值之間的一般關(guān)系；（4）利用（3），得到更普遍的規(guī)律解答：解：（1）當(dāng)AP=AD時(shí)（如圖）：AP=AD，ABP和ABD的

20、高相等，SABP=SABDPD=ADAP=AD，CDP和CDA的高相等，SCDP=SCDASPBC=S四邊形ABCDSABPSCDP=S四邊形ABCDSABDSCDA=S四邊形ABCD（S四邊形ABCDSDBC）（S四邊形ABCDSABC）=SDBC+SABC（2）AP=AD，ABP和ABD的高相等，SABP=SABD又PD=ADAP=AD，CDP和CDA的高相等，SCDP=SCDASPBC=S四邊形ABCDSABPSCDP=S四邊形ABCDSABDSCDA=S四邊形ABCD（S四邊形ABCDSDBC）（S四邊形ABCDSABC）=SDBC+SABCSPBC=SDBC+SABC（3）SPBC=

21、SDBC+SABC；AP=AD，ABP和ABD的高相等，SABP=SABD又PD=ADAP=AD，CDP和CDA的高相等，SCDP=SCDASPBC=S四邊形ABCDSABPSCDP=S四邊形ABCDSABDSCDA=S四邊形ABCD（S四邊形ABCDSDBC）（S四邊形ABCDSABC）=SDBC+SABCSPBC=SDBC+SABC（4）SPBC=SDBC+SABC點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了面積以及等積變換，注意總結(jié)相應(yīng)規(guī)律，類似問題通常采用類比的方法求解是解題關(guān)鍵5銳角三角形ABC的外心為O，外接圓半徑為R，延長AO，BO，CO，分別與對(duì)邊BC，CA，AB交于D，E，F(xiàn)；證明：考點(diǎn)：面積及等積

22、變換808518 專題：證明題分析：延長AD交O于M，由于AD，BE，CF共點(diǎn)O根據(jù)SABC=SABO+SACO+SBCO、可以推知；然后由OD=RDM、AM=2R求得=1；同理；最后將其代入式求得解答：證明：延長AD交O于M，由于AD，BE，CF共點(diǎn)O，5則10而，15同理有，20代入得，所以 25點(diǎn)評(píng)：本題考查了面積以及等積變換解答本題時(shí)，通過作輔助線AM，將AD、OD、CO、CF、BO、BE的長度與半徑R聯(lián)系在一起，從而通過化簡，證得結(jié)論6如圖，M、N為四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，AN、BM交于P點(diǎn)，CM、DN交于Q點(diǎn)若四邊形ABCD的面積為150，四邊形MPNQ的面積為50，求

23、陰影部分的面積之和考點(diǎn)：面積及等積變換808518 分析：首先連接BD，利用SABM=SBDM，SBDN=SCDN，得出S四邊形BMDN=S四邊形ABCD，進(jìn)而得出S四邊形ANCM=S四邊形ABCD，再利用S四邊形ANCM+S四邊形BMDN=S四邊形ABCD，即可得出S四邊形MPNQ=SABP+SCDQ，即可得出陰影部分的面積之和解答：解：連接BDM、N是AD、BC中點(diǎn)，SABM=SBDM，SBDN=SCDN，（等底同高的兩個(gè)三角形面積相等）S四邊形BMDN=S四邊形ABCD同理，S四邊形ANCM=S四邊形ABCDS四邊形ANCM+S四邊形BMDN=S四邊形ABCD，S四邊形MPNQ=SABP

24、+SCDQ，陰影部分的面積為：S陰影=S四邊形ABCDS四邊形MPNQ（SABP+SCDQ）=15050×2=50點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了面積及等積變換，利用已知得出S四邊形BMDN=S四邊形ABCD與S四邊形ANCM=S四邊形ABCD是解題關(guān)鍵7設(shè)直角三角形的邊長均是正整數(shù)，且周長數(shù)等于面積數(shù)，試確定此三角形的邊長？考點(diǎn)：面積及等積變換808518 分析：設(shè)直角邊為a、b斜邊c，然后根據(jù)周長數(shù)等于面積數(shù)可得到a、b之間的關(guān)系式，最后窮舉代入，找到合適的a、b、c的值解答：解：設(shè)直角邊為a、b斜邊c，且c=，a周長數(shù)等于面積數(shù)，a+b+c=ab，即：ab=2a+2b+2，窮舉代入，發(fā)現(xiàn)6

25、、8、10和5、12、13剛好合適，故此三角形的邊長為6、8、10或5、12、13點(diǎn)評(píng)：本題主要考查面積及等積變換的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出a、b之間的關(guān)系，進(jìn)行窮舉代入，此題是一道難度不大的習(xí)題8設(shè)直線，（n為自然數(shù)）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為Sn（n=1，2，32008），求S1+S2+S3+S2008考點(diǎn)：面積及等積變換808518 專題：規(guī)律型分析：分別求出直線 （n為自然數(shù)）與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即（ ，0），（0，）；則Sn=，然后分別代入1，2，2008，最后求和即可解答：解：分別令x=0和y=0，得到直線 （n為自然數(shù)）與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即（ ，0），（0，），則Sn

26、=，=，=，然后分別代入1，2，2008，則有S1+S2+S2008=1+，=1，=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)會(huì)求一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；熟悉三角形的面積公式；記?。?（n為自然數(shù)）9在直角三角形ABC中，A=90°，AD，AE分別是高和角平分線，且ABE，AED的面積分別為S1=30，S2=6，求ADC的面積S考點(diǎn)：面積及等積變換808518 專題：常規(guī)題型分析：設(shè)DE=a，則BE=5a，設(shè)CD=xa，只要求出x，根據(jù)同底等高三角形面積，6x就是三角形ADC的面積，根據(jù)射影定理和角平分線的知識(shí)點(diǎn)得到關(guān)于x的方程，解得x即可解答：解：設(shè)DE=a，則BE=5a，設(shè)C

27、D=xa，只要求出x，根據(jù)同底等高三角形面積，6x就是三角形ADC的面積（1）由射影定理，AC2=CDBC，AB2=BDBC，所以= （2）由角平分線性質(zhì)，=（3）聯(lián)立式得到：=這是個(gè)一元二次方程，解得x=或所以SADC=6x=9或4故答案為：9或4點(diǎn)評(píng)：本題主要考查面積及等積變換的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用射影定理和角平分線的知識(shí)點(diǎn)，本題難度較大10如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOY中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直線l經(jīng)過點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，求直線l的函數(shù)表達(dá)

28、式考點(diǎn)：面積及等積變換808518 專題：待定系數(shù)法分析：延長BC交x軸于點(diǎn)F，連接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于點(diǎn)N，由O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0），得到四邊形OABC，四邊形CDEF都為矩形，并且點(diǎn)M（2，3）是矩形OABF對(duì)角線的交點(diǎn)，則直線l還必須過N（5，2）點(diǎn)，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求出直線l的函數(shù)表達(dá)式解答：解：如圖，延長BC交x軸于點(diǎn)F，連接OB，AF，DF，CE，DF和CE相交于點(diǎn)N，O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）四邊形OABF為矩形

29、，四邊形CDEF為矩形，點(diǎn)M（2，3）是矩形OABF對(duì)角線的交點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，直線l把矩形ABFO分成面積相等的兩部分又點(diǎn)N（5，2）是矩形CDEF的中心，過點(diǎn)N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分直線MN即為所求的直線L，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，則2k+b=3，5k+b=2，解得k=，b=，因此所求直線l的函數(shù)表達(dá)式是：y=x+點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)：過矩形對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分矩形的面積也考查了待定系數(shù)法求直線的解析式11已知ABCD中，若ADE、BEF、CDF的面積分別為5、3、4，求DEF的面積考點(diǎn)：面積及等積變換808518 專題：計(jì)算題分析：

30、過A作AHCD，垂足為H，設(shè)AH=x，過F作FMCD，垂足為M，MF的延長線交AB于N，設(shè)FM=h，（xh），根據(jù)ADE、BEF的面積公式用x、h分別表示AE、BE，根據(jù)CD=AB=AE+BE表示CD，再根據(jù)SCFD=CD×=4，列方程求x、h的關(guān)系，求ABCD的面積，用作差法求DEF的面積解答：解：過A作AHCD，垂足為H，設(shè)AH=x，過F作FMCD，垂足為M，MF的延長線交AB于N，設(shè)FM=h，（xh），依題意應(yīng)有：SDAE=AE×=5，解得AE=，SEBF=EB×=3，解得BE=，SCFD=CD×=4，CD=AB=AE+BE=+，（+）×

31、=4，整理，得4x212xh+5h2=0，即（2xh）（2x5h）=0，xh，2x=h（舍去），2x=5h，CD=+=，S平行四邊形ABCD=xCD=x×，=×，=20，SDEF=S平行四邊形ABCDSDAESEBFSDCF，=20534，=8點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形面積的表示方法關(guān)鍵是構(gòu)造每個(gè)三角形的高，用已知面積表示底，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)將底過渡12有三條線段A、B、C，A長2.12米，B長2.71米，C長3.53米以它們作為上底、下底和高，可以作出三個(gè)不同的梯形問：第幾個(gè)梯形的面積最大？（參看圖思考時(shí)間 40秒）考點(diǎn)：面積及等積變換808518 分析：根據(jù)乘法交換律、

32、乘法分配律等知識(shí)計(jì)算三個(gè)梯形的面積，梯形的面積=（上底+下底）×高÷2但我們現(xiàn)在是比較三個(gè)梯形面積的大小，所以不妨把它們的面積都乘以2，這樣只須比較（上底+下底）×高的大小就行了解答：解：第一個(gè)梯形的面積的2倍是：（2.12+3.53）×2.71=2.12×2.17+3.53×2.71；第二個(gè)：（2.71+3.53）×2.12=2.71×2.12+3.53×2.12；第三個(gè)：（2.12+2.71）×3.53=2.12×3.53+2.71×3.53；先比較第一個(gè)和第二個(gè)兩個(gè)式子

33、右邊的第一個(gè)加數(shù)，一個(gè)是2.12×2.71，另一個(gè)是2.71×2.12由乘法交換律，這兩個(gè)積相等因此只須比較第二個(gè)加數(shù)的大小就行了顯然3.53×2.71比3.53×2.12大，因?yàn)?.71比2.12大因此第一個(gè)梯形比第二個(gè)梯形的面積大類似地，如果比較第一個(gè)和第三個(gè)，我們發(fā)現(xiàn)它們有邊第二個(gè)加數(shù)相等，而第一個(gè)加數(shù)2.12×2.712.12×3.53因此第三個(gè)梯形比第一個(gè)梯形面積大綜上所述，第三個(gè)梯形面積最大答：第三個(gè)梯形面積最大點(diǎn)評(píng)：本題考查了面積及等積變換，利用所學(xué)過的乘法交換律、乘法分配律等知識(shí)，而不應(yīng)該直接計(jì)算面積很明顯，直接計(jì)算三

34、個(gè)梯形的面積要浪費(fèi)很多時(shí)間13如圖，一個(gè)大的六角星形（粗實(shí)線）的頂點(diǎn)是周圍六個(gè)全等的小六角星形（細(xì)線型）的中心，相鄰的兩個(gè)小六角星形各有一個(gè)公共頂點(diǎn)，如果小六角星形的頂點(diǎn)C到中心A的距離為a，求：（1）大六角星形的頂點(diǎn)A到其中心O的距離；（2）大六角星形的面積；（3）大六角星形的面積與六個(gè)小六角星形的面積之和的比值（注：本題中的六角星形有12個(gè)相同的等邊三角形拼接而成的）考點(diǎn)：面積及等積變換808518 專題：計(jì)算題分析：（1）連接CO，則AOC是直角三角形，ACO=90°，AOC=30，由AC=a，即可得到OA的長（2）大六角星形的面積是等邊AMN面積的12倍，在RtACM中，由C

35、AM=30°，得到CM=AM，再根據(jù)勾股定理即可得到，然后根據(jù)三角形面積公式得到大六角星形的面積（3）大小六角星形相似，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方，而小六角星形的頂點(diǎn)C到其中心A的距離為a，大六角星形的頂點(diǎn)A到其中心O的距離為2a，所以大六角星形的面積是一個(gè)小六角星形的面積的4倍，由此得到大六角星形的面積與六個(gè)小六角星形的面積和的比值解答：解：（1）連接CO，AC=a，則AOC是直角三角形，ACO=90°，AOC=30°，所以AO=2AC=2a；（2）如圖，大六角星形的面積是等邊AMN面積的12倍，CAM=30°，CM=AM，在RtACM中，AM2=（

36、）2+a2，解得，所以大六角星形的面積；（3）小六角星形的頂點(diǎn)C到其中心A的距離為a，大六角星形的頂點(diǎn)A到其中心O的距離為2a，所以大六角星形的面積是一個(gè)小六角星形的面積的4倍，所以大六角星形的面積：六個(gè)小六角星形的面積和=2：3點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似圖形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及三角形的面積公式14如圖，是一塊黑白格子布白色大正方形的邊長是14厘米，白色小正方形的邊長是6厘米問：這塊布中白色的面積占總面積的百分之幾？（思考時(shí)間：50秒）考點(diǎn)：面積及等積變換808518 專題：探究型分析：先根據(jù)格子布的對(duì)稱性把其分為面積相等的9塊，求出一塊中白色面積所

37、占的比例即可解答：解：格子布的面積是如圖面積的9倍，格子布白色部分的面積也是圖上白色面積的9倍我們只需計(jì)算圖36中白色部分所占面積的百分比就行了×100%=58%故答案為：58%點(diǎn)評(píng)：此題是考查的面積及等積變換，解答此題的關(guān)鍵是看到格子布可以分割成9塊如圖35的正方形這實(shí)質(zhì)上是利用了格子布的“對(duì)稱性”：格子布圖案是由一塊圖案重復(fù)地整齊排列而成的15如圖，中正方形的邊長是2米，四個(gè)圓的半徑都是1米，圓心分別是正方形的四個(gè)頂點(diǎn)問：這個(gè)正方形和四個(gè)圓蓋住的面積是多少平方米？（思考時(shí)間48秒）考點(diǎn)：面積及等積變換808518 專題：幾何圖形問題分析：本題比較簡單，仔細(xì)觀察圖形即可得出所求的面

38、積等于正方形的面積加上四塊四分之三個(gè)圓的面積解答：解：由圖形可得：每個(gè)圓和正方形的公共部分是一個(gè)扇形，它的面積是圓的面積的四分之一，整個(gè)圖形的面積等于正方形的面積加上四塊四分之三個(gè)圓的面積，又四塊四分之三個(gè)圓的面積等于圓面積的三倍，整個(gè)圖形的面積等于正方形的面積加上圓面積的三倍，也就是2×2+×1×1×313.42（平方米）答：這個(gè)正方形和四個(gè)圓蓋住的面積約是13.42平方米點(diǎn)評(píng)：本題考查面積及等積變換，難度不大，關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出所求面積的表達(dá)式，這需要仔細(xì)地觀察圖形才能做到16（）如圖1，在正方形ABCD內(nèi)，已知兩個(gè)動(dòng)圓O1與O2互相外切，且O1與邊

39、AB、AD相切，O2與邊BC、CD相切若正方形ABCD的邊長為1，O1與O2的半徑分別為r1，r2求r1與r2的關(guān)系式；求O1與O2面積之和的最小值（）如圖2，若將（）中的正方形ABCD改為一個(gè)寬為1，長為的矩形，其他條件不變，則O1與O2面積的和是否存在最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值考點(diǎn)：面積及等積變換808518 專題：計(jì)算題分析：（）連接AC，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，AC平分BAD、BCD，而AB、AD為O1的切線，BC、CD為O2的切線，故O1與O2在AC上，解等腰直角三角形得，AC=，由兩圓外切得O1O2=r1+r2，由AO1+O1O2+O2C=AC，列方程求關(guān)

40、系式；由面積之和S=（r12+r22）及，換元為關(guān)于r1的二次函數(shù)，根據(jù)r1的取值范圍求S的最小值；（）如圖2，作輔助線，得到RtO1O2P，用r1、r2分別表示O1O2P的三邊，用勾股定理可求r1+r2的值，根據(jù)不等式求面積和的最小值解答：解：（）如圖1，在正方形ABCD中，連接AC，顯然O1與O2在AC上，且，O1O2=r1+r2，由，根據(jù)題意，r1，r2，可得，即r1O1與O2的面積之和S=（r12+r22），=，這里，當(dāng)時(shí)，O1與O2是等圓，其面積和的最小值為；（）如圖2，作輔助線，得到RtO1O2P，則O1O2=r1+r2，O2P=BCr1r2=1r1r2在RtO1O2P中，O1O2

41、2=O1P2+O2P2，即解得或由于，故不合題意，應(yīng)舍去O1與O2的面積之和S=（r12+r22），而，當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)r1=r2時(shí)，O1與O2面積和存在最小值，最小值為，即點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的面積計(jì)算，切線、圓與圓相切的性質(zhì)關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理將兩圓半徑與已知矩形邊長聯(lián)系起來17已知四邊形ABCD兩條對(duì)角線互相垂直，點(diǎn)O是對(duì)角線的交點(diǎn)，ACD=60°，ABD=45°，點(diǎn)A到CD的距離是6，點(diǎn)D到AB的距離是8，求四邊形ABCD的面積S考點(diǎn)：面積及等積變換；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形808518 專題：計(jì)算題分析

42、：過點(diǎn)A作CD的垂線，過點(diǎn)D作AB的垂線，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，證出等邊CGE和等腰直角BFD，根據(jù)勾股定理求出AC和DB的長度，利用面積公式即可求出四邊形ABCD的面積解答：解：過點(diǎn)A作CD的垂線，E是垂足，過點(diǎn)D作AB的垂線，F(xiàn)是垂足，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，在RtACE中，AEC=90°，CG=GE，又ACD=60°，GCE是等邊三角形，CE=CG=，由勾股定理，得AC2=CE2+AE2，解得：，DFB=90°，ABD=45°，F(xiàn)BD=FDBFBD是等腰直角三角形，四邊形ABCD的面積S=SABD+SBCD，=BDAO+BDCO，=，=答：四

43、邊形ABCD的面積S是16點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了面積與等積變換，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確作輔助線求出AC和BD的長是解此題的關(guān)鍵18探索：在圖1至圖3中，已知ABC的面積為a，（1）如圖1，延長ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA若ACD的面積為S1，則S1=a（用含a的代數(shù)式表示）（2）如圖2，延長ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE若DEC的面積為S2，則S2=2a（用含a的代數(shù)式表示）（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到DEF（如圖3）若陰

44、影部分的面積為S3，則S3=6a（用含a的代數(shù)式表示），并運(yùn)用上述（2）的結(jié)論寫出理由發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn)，得到DEF（如圖3），此時(shí)，我們稱ABC向外擴(kuò)展了一次可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的DEF的面積是原來ABC面積的7倍應(yīng)用：要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進(jìn)行了如下的圖案設(shè)計(jì)：首先在ABC的空地上種紅花，然后將ABC向外擴(kuò)展三次（圖4已給出了前兩次擴(kuò)展的圖案）在第一次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種謊話，第二次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種藍(lán)花如果種紅花的區(qū)域（即ABC）的面積是10平方米，請(qǐng)你運(yùn)用上述結(jié)論求出：（1）種紫花的區(qū)域的面積；（2）種藍(lán)花的區(qū)域的

45、面積考點(diǎn)：面積及等積變換；三角形的面積808518 專題：計(jì)算題分析：（1）根據(jù)等底等高的三角形的面積相等得出即可；（2）連接AD，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出ADE的面積即可；（3）根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出ADE、AEF、AFD的面積，相加即可；分別求出各個(gè)三角形的面積，相加即可；根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出每個(gè)三角形的面積，相加即可解答：解：（1）BC和CD上的高相等，BC=CD，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，得出S1=SACD=a，故答案為：a（2）連接AD，與（1）類似，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，得出SACD=SADE=a，S2=2a，故答案為：2a（3）

46、與（2）類似：得出SAFE=SBFD=SCDE=2a，S3=2a+2a+2a=6a，故答案為：6a（3）黃花區(qū)域的面積是6×10=60平方米，紫花區(qū)域的面積是6×（60+10）=420平方米；藍(lán)花區(qū)域的面積是6×（420+60+10）=2940平方米點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積，面積和等積變形等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出每個(gè)三角形的面積和根據(jù)得出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力19某生活小區(qū)臨街的一面有塊如圖所示的梯形空地，物業(yè)部門打算把這塊空地美化一下，以供觀賞初步打算沿對(duì)角線AC，BD修兩條小路，把梯形ABCD分成四

47、塊，種上相同種類的花四塊地的面積分別為S1，S2，S3，S4，一位物業(yè)工人很快看出S3，S4兩種需要花的棵數(shù)大致相等（1）你知道他是根據(jù)什么判斷的嗎？（說明S3與S4之間關(guān)系的理由？）（2）請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)探究S1，S2，S3三者之間的關(guān)系？考點(diǎn)：面積及等積變換808518 專題：常規(guī)題型分析：（1）先判斷出SADC=SDCB，繼而分別利用兩者表示出S3、S4，繼而可判斷出S3與S4之間的關(guān)系（2）根據(jù)高相同的兩三角形的面積之比等于底邊之比可得出S1：S3，S2：S4，結(jié)合（1）的結(jié)論可得出S1，S2，S3三者之間的關(guān)系解答：解：（1）SADC=SDCB（等底等高）所以S3=S4（2）點(diǎn)評(píng)：此

48、題考查了面積及等積變換的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是掌握等底的兩三角形面積之比等于高之比，難度一般在，注意仔細(xì)觀察圖形20如圖，若長方形APHM，BNHP，CQHN的面積分別為7、4、6，求陰影部分的面積是多少？考點(diǎn)：面積及等積變換808518 專題：計(jì)算題分析：設(shè)HQ交DN于O，根據(jù)長方形APHM，BNHP，CQHN的面積可求出各個(gè)線段之間的比，最終求出PH：HO的值，然后根據(jù)三角形面積公式求出陰影部分的面積解答：解：設(shè)四邊形MHQD的面積為x，長方形APHM，BNHP，CQHN的面積分別為7、4、6，7：4=x：6，x=10.5，四邊形ABCD的面積為：4+7+6+10.5=27.5，SPDN=2

49、7.5SADPSPBNSDNC=27.5（4+7+10.5+6+10.5）=8.5點(diǎn)評(píng)：本題主要考查面積及等積變換的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)長方形APHM，BNHP，CQHN的面積求出相關(guān)線段的比值，本題難度不是很大21已知正方形ABCD的邊長為10厘米，AE長為8厘米，CF長為2厘米求圖中陰影部分面積考點(diǎn)：面積及等積變換808518 專題：計(jì)算題分析：求出CF=BE，AE=DF，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出SAOD=SDOF=SADF，SFGC=SCGB=SBCF，分別求出ADF和CGB的面積，求出DOF和FGC的面積，代入SECDSDOFSFGC即可求出答案解答：解：四邊形ABC

50、D是正方形，ABCD，AD=DC=BC=AB=10厘米，AE=8厘米，CF=2厘米，DF=AE=8厘米，BE=CF=2厘米，ABCD，AOEFOD，=1，AO=OF，AOD的邊OA上的高和DOF的邊OF上的高相等，SAOD=SDOF=SADF=××10×8=20，同理SFGC=SCGB=SBCF=××10×2=5，SECD=×10×10=50，圖中陰影部分的面積是SECDSDOFSFGC=50205=25，答：圖中陰影部分的面積是25點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的面積、面積及等積變形的應(yīng)用，關(guān)鍵是能把求不規(guī)

51、則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積，題目比較好22如圖，ABC被分為四塊，其中三塊的面積分別為4，6，12平方厘米，求四邊形AEDF的面積考點(diǎn)：面積及等積變換808518 專題：計(jì)算題分析：先連接EF，并設(shè)SAEF=x，由于DCF和BCD的高相等，那么SDCF：SBCD=6：12=DF：BD，易得DF：BD=1：2，同理，SDEF：SBDE=DF：BD，于是SDEF：SBDE=1：2，而SBDE=4，易求DEF的面積，同樣可得SAEF：SBEF=AE：BE=x：6，SACE：SBCE=AE：BE=（2+6+x）：（4+12），等量代換可得x：6=（2+6+x）：（4+12），解可求x，進(jìn)而可求

52、四邊形AEDF的面積解答：解：如右圖，連接EF，設(shè)SAEF=x，SDCF：SBCD=6：12=DF：BD，DF：BD=1：2，SDEF：SBDE=DF：BD，SDEF：SBDE=1：2，又SBDE=4，SDEF=2，SBEF=6，SAEF：SBEF=AE：BE=x：6，SACE：SBCE=AE：BE=（2+6+x）：（4+12），x：6=（2+6+x）：（4+12），解得x=4.8，S四邊形AEDF=SAEF+SDEF=2+4.8=6.8點(diǎn)評(píng)：本題考查了面積以及等積變換，解題的關(guān)鍵是注意同高的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的底之比23如圖，正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，四邊形BGHF的面積是多少平方厘米？考點(diǎn)：面積及等積變換808518 分析：延長CE交DA的延長線于M，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出=，=，求出BEC和DFC的面積，根據(jù)三角形的面積公式求出BGE和CFH的面積，相減即可求出答案解答：解：延長CE交DA的延長線于M，四邊形ABCD是正方形，AB=CD=BC，ADCB，MAB