高等數(shù)學(xué)北大二多元函數(shù)的微分中值定理與泰勒公式學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1高等數(shù)學(xué)北大二多元函數(shù)的微分中值定理高等數(shù)學(xué)北大二多元函數(shù)的微分中值定理與泰勒公式與泰勒公式第一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。即即 設(shè)設(shè)),(yxfz= =在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某一鄰域內(nèi)連續(xù)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到且有直到1+ +n階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn), ,能否把函數(shù)能否把函數(shù)近似地表達(dá)為近似地表達(dá)為的的n次多項式，次多項式，且誤差是當(dāng)且誤差是當(dāng)時比時比 nr r 高階的無高階的無窮小窮小 ),(00yyxx+),(00yyxxf+00,yyxx- -= =- -= =yx0)()(22+=yxr一元函數(shù)的泰勒公式中令一元函數(shù)的泰

2、勒公式中令n=0,得拉格朗日中值公式：得拉格朗日中值公式：.)()()(000之間與在xxxxfxfxf-+=則令,0 xxx+=. 10)()()(000+=+xxxfxfxxf第1頁/共16頁第二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。000100010, 01,zf x yDDP xyP xx yyPPPPD=+ 設(shè)在區(qū)域 內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),又假定 中有兩個點(diǎn)與并且 到 的直線則存在 使得00000000(,)(,)(,)(,).f xx yyf xyffxx yyxxx yyyxy+=+ + + + 定理定理1 1 ( (二元函數(shù)的拉格朗日中值公式二元函數(shù)的拉格朗日中值公式) 或?qū)懗苫驅(qū)懗?

3、,(00yyxxf+),(00yxf=).,(00yyxxdf+第2頁/共16頁第三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。證),(00ytyxtxPt+考慮點(diǎn)落在時，顯然當(dāng)tPt10.P10的連線上與P內(nèi)可微，在根據(jù)定理的假定可知， D),(yxf，引入一元函數(shù)：),()(00ytyxtxft+=.的可微函數(shù)是t有鏈規(guī)則得dtdxytyxtxxf+=),(00.),(00yytyxtxyf+ 另一方面，又一元函數(shù)的拉格朗日中值定理，可以推出，存在一個 ， ，使得10),() 0 () 1 (=-即),(00yyxxf+),(00yxf-xyyxxxf+=),(00.),(00yyyxxyf+證畢.

4、第3頁/共16頁第四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。 推論推論 若函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且 滿足 證明：f(x,y)在D內(nèi)為一常數(shù)., 0 xf, 0yf證證).,(PD000yx內(nèi)任意取定一點(diǎn)在區(qū)域，Dy)P(x,內(nèi)，都在的連線與若DP00PPP有由拉格朗日中值定理，, 0)()()()(0=+=-kPfhPfPfPfyx,00yykxxh-=-=其中為P.P0上之點(diǎn)P).()(0PfPf=這樣，內(nèi)，不全包含在若DP0P.PPPP210DPn 則必存在折線于是有).()()()()(011PfPfPfPfPfnn= =-，我們證明了總之，)()(DP0PfPf=即

5、f(x,y)在D內(nèi)為一常數(shù).第4頁/共16頁第五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。.0ppkkppkkppkyxfyxC=-=函數(shù)函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn) 的的 階微分為階微分為:,fx y, x yk=),(yxfdk),()(yxfyyxxk+如：),(2yxfdppppppyxfyxC=-=222202.22222222yfyyxfyxxfx+=2. 二元函數(shù)的泰勒公式二元函數(shù)的泰勒公式第5頁/共16頁第六頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。),(3yxfdppppppyxfyxC=-=333303333xfx=yxfyx+23232323yxfyx+.333yfy+利用這種記號拉格朗日種值公式

6、可寫成：),(),(0000yxfyyxxf=+).,(00yyxxdf+),(00yyxxdf+xyyxxxf+=),(00.),(00yyyxxyf+第6頁/共16頁第七頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。定理定理 21000100010 1,.,nDRf x yCDP x yD P xx yyDPPPPD+設(shè) 為一區(qū)域, 而函數(shù) 且 至的連線 則有),(00yyxxf+),(00yxf=),(! 1100yxdf+),(! 21002yxfd+),(!100yxfdnn+),()!1(1001yyxxfdnn+階微分，即的是其中，kffdk=),(yxfdk),()(yxfyyxxk+).

7、1, 2 , 1(+=nk第7頁/共16頁第八頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。證證，令),()(00ytyxtxft+=的泰勒公式有由)(t).,(002yxfd=).,(001yyxxfdn+=+ +)0(! 11)0() 1 (=)0(!1)(nn),()!1(1)1(+nn顯然由鏈規(guī)則)(t),()(00ytyxtxfyyxx+=).10()0(故),(00yxdf=且)(t ).,()(002ytyxtxfyyxx+=)0( 即有遞推地得到)0()(k;, 1),(00nkyxfdk =)()1(+n.)(證畢結(jié)果的的泰勒公式即得到要證將這些結(jié)果代入關(guān)于t第8頁/共16頁第九頁，編輯

8、于星期三：七點(diǎn) 四十三分。1001(,),(1)!nxyf xx yynxy+=+ + +其中其中1001(,)(1)!nnRdf xx yyn+=+ + +- 拉格朗日余項拉格朗日余項 nR1nM+假定的 階偏導(dǎo)數(shù)有界,即存在常數(shù) 使得11,0,1,1;nlnlfMlnx y+ -=+ 則則11 !nnMRxyn+ + +第9頁/共16頁第十頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。22,xyr=+令11112,1 !1 !nnnnnxyMMRnnrrrr+ +所以, xyr當(dāng)固定 時, 是一個常量,0.nRn 當(dāng) 220nxyr=+當(dāng)固定項數(shù) 而令 時, 有.nnR rr= 0二元函數(shù)的帶皮亞二元

9、函數(shù)的帶皮亞諾諾 型型的泰的泰勒公式勒公式),(00yyxxf+),(00yxf=),(! 1100yxdf+),(! 21002yxfd+),(!100yxfdnn+),(nor+. 022+=yxr其中泰勒多項式泰勒多項式第10頁/共16頁第十一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。的泰勒多項式是),(00yx在例如，fn, 2=),(00yxfxyxfx+),(00yyxfy+),(00200),(! 21xyxfxx+yxyxfxy+),(200.),(200yyxfyy+, 1) 1 , 1 (=f 例例1 求函數(shù) 在點(diǎn)(1,1)的二階泰勒多項式及帶皮亞諾余項的泰勒公式.)2sin(),

10、(2yxyxf=解解先計算函數(shù)在(1,1)點(diǎn)的各界偏導(dǎo)數(shù)：, 0) 1 , 1 (=xf, 0) 1 , 1 (=yf,) 1 , 1 (222-=xf,2) 1 , 1 (22-=yxf.4) 1 , 1 (222-=yf第11頁/共16頁第十二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。則有若令因此, 1, 1,-=-=yyxx)1 ,1 (yxf+)()41(! 212222royyxx+-=即)2sin(2yx) 1(41) 1)(1() 1(! 21222-+-+-=yyxx).1, 1) 1() 1(22-+-+yxyxo（第12頁/共16頁第十三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。),()!

11、1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0 , 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn + + + + + + + + + + + + + + + + + + + += =)10( 第13頁/共16頁第十四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。,nPxyxyn若是 與 的 次多項式, 且有2,nf xx yyPxy r+=+22000;,.nxyPxyzf x yxyr=+=其中則是函數(shù)在處的泰勒多項式多元函數(shù)的泰勒多項式的多元函數(shù)的泰勒多項式的唯一性定理唯一性定理.第14頁/共16頁第十五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十三分。 例例2 在點(diǎn)(0,0)的鄰域內(nèi)，將函數(shù) 按帶 皮亞諾型余項的泰勒公式展開至二次項.yeyxfxcos),(=解解, 0),(21122+=xx