《高等數(shù)學(xué)》電子課件（同濟(jì)第六版）：01第三章 第1節(jié) 中值定理

1、2導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：oxy)(xfy TM0 x)()(,()(000 xfKxfxMxfy處處的的切切線線的的斜斜率率在在點(diǎn)點(diǎn)：問題：下面圖形的特點(diǎn)特點(diǎn)：是最大的或最小的。附近，在)(f0)(f結(jié)論：軸。對應(yīng)的點(diǎn)切線平行于x3費(fèi)馬引理：( )( )( )( )( )( )( )( )0.f xUxUf xff xff設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，并且在 處可導(dǎo)，如果對任意的，有或，則有證明：情況：僅證明)()(fxf有對于)(Ux),()(fxf, 0)()(fxf4, 0 x若; 0)()(xfxf則有, 0 x若; 0)()(xfxf則有0()( )( )lim0;xfxf

2、fx 0()( )( )lim0;xfxffx ,)(存在f ).()(ff. 0)(f有50)(,fba）使（至少存在?0)(f定存在問題：在什么條件下一下面給幾個圖形特點(diǎn)：）連續(xù)；（ 1）可導(dǎo)（2）兩端點(diǎn)函數(shù)值相等。（3結(jié)論：6一、羅爾(Rolle)定理羅爾羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba , ,使得函數(shù)使得函數(shù))(xf在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，

3、在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf7點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停物理解釋物理解釋: :變速直線運(yùn)動在變速直線運(yùn)動在折返點(diǎn)處折返點(diǎn)處,瞬時速瞬時速度等于零度等于零.幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點(diǎn)處的切線是在該點(diǎn)處的切線是點(diǎn)點(diǎn)上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC8證證.)1(mM 若若,)(連連續(xù)續(xù)在在b

4、axf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同時時在在端端點(diǎn)點(diǎn)),(afM 設(shè)設(shè).)(),(Mfba 使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在),()(,fxfbax有因此，任由費(fèi)馬引理可知，. 0)(f定理得證。9注意注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其其結(jié)論可能不成立結(jié)論可能不成立.例如例如,21 ,310 ,1)(xxxxxf 1 , 1,)(xxxf2,0,)(2xxxf10例例1 1.10

5、155的正實(shí)根的正實(shí)根有且僅有一個小于有且僅有一個小于證明方程證明方程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連續(xù)連續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實(shí)根的正實(shí)根.,),1 , 0(011xxx 設(shè)設(shè)另另有有. 0)(1 xf使使,)(10件件之間滿足羅爾定理的條之間滿足羅爾定理的條在在xxxf使得使得之間之間在在至少存在一個至少存在一個),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.為唯一實(shí)根為唯一實(shí)根112例例有幾個實(shí)根

6、。有幾個實(shí)根。說明說明的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，不求不求0)()7)(5)(3()( xfxxxxxf解：解：0)7()5()3()0(ffff上應(yīng)用羅爾定理，上應(yīng)用羅爾定理，、分別在分別在對對7 , 55 , 3 3 , 0)(xf使得使得、至少存在至少存在),(),(),(755330321xxx, 0)()()(321xfxfxf上應(yīng)用羅爾定理，上應(yīng)用羅爾定理，、分別在分別在再對再對,)(3221xxxxxf 使得使得、至少存在至少存在),(),(322211xxxx , 0)()(21 ff兩個實(shí)根，兩個實(shí)根，為二次多項式，最多有為二次多項式，最多有又因為又因為)(xf 只有兩個實(shí)根。只有兩個實(shí)

7、根。0)( xf123例例設(shè) 在0, 上連續(xù),在(0, )內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)(0, ),使得 =)(xf)( f cot)(f證明: 只要證明 0sincos)()( ff0cos)()(sin ff0sin)( xxxfxxfxFsin)()(設(shè)設(shè)0)()0( FF則則由羅爾定理由羅爾定理,至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) 0)(0 F），使得），使得，（0cos)(sin)( ff即即 cot)()(ff134例例.)(2)(21, 2)2(,21) 1 ()2 , 1 (2 , 1 )( ffffxf）使得）使得，（證明至少存在證明至少存在內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)設(shè)證明：

8、證明：.)(2)( ff0)(2)( ff0)(2)(42 ff,)()(2xxfxF作作21)2() 1 ( FF則則上用羅爾定理上用羅爾定理，在在對對)(21xF使得使得至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)2 , 1 0)( F.)(2)( ff14羅爾定理的推廣：羅爾定理的推廣：abafbff)()()( 15二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba ，使等式，使等式

9、 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結(jié)論亦可寫成結(jié)論亦可寫成16ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧證證分析分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf減去弦減去弦曲線曲線., 兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等所得曲線所得曲線ba17作輔助函

10、數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :1 1、也成立；也成立；定理對定理對ab 18xfxfxxf)()()( 則有則有設(shè)設(shè)),(,baxxx).()(10 xxxfy即即.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱有限增量定理有限增量定理.一表達(dá)法：一表達(dá)法：、拉格朗日中值公式另、拉格朗日中值公式另

11、2之間之間與與在在xxx 10, xx令令。、定理的條件必不可少、定理的條件必不可少319證證: 在 I 上任取兩點(diǎn).)(,)(上是一個常數(shù)上是一個常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf定理定理3, )(,2121xxxx在 上用拉格,21xx朗日中值公式 , 得)()(12xfxf)(12xxf 0)(21xx )()(12xfxf由 的任意性知, 21xx、)(xf在 I 上為常數(shù)推推論論CxgxfxgxfI)()(),()(則則上上如果在如果在20例例5 5).11(2arccosarcsin xxx證明證明證證1 , 1,arcco

12、sarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 ) 1 , 1(,)(xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 ,2 C即即,2arccosarcsin xx) 1 , 1(x2) 1 () 1( ff而而 1 , 1x21例例6 6.)1ln(1,0 xxxxx 時時證明當(dāng)證明當(dāng)證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(上滿足拉氏定理的條件上滿足拉氏定理的條件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxx

13、x 即即227例例babaarctanarctan證明證明證明：證明：, ab 不妨設(shè)不妨設(shè),arctan)(xxf作作上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理在在對對,)(abxf)(arctanarctanbafba bababa)(11arctanarctan2 238例例. 0)(), 0)(),(, 0)()(),()(,)()( fbacfbacbfafbaxfbaxfxf使得使得（少存在一點(diǎn)少存在一點(diǎn)證明：至證明：至使使且存在且存在內(nèi)存在，內(nèi)存在，在在上連續(xù)，上連續(xù)，在在、設(shè)設(shè)證明：證明：上分別用中值定理上分別用中值定理在在對對,)(bccaxf, 0)()()(1acafcff

14、 , 0)()()(2cbcfbff 上用中值定理上用中值定理在在再對再對,)(21 xf bafff 0)()()(1212使使）（故存在故存在),(,21bcca240)0(, 0)( fxf設(shè)設(shè)9例例 證明對任意 有有0, 021xx)()()(2121xfxfxxf 證明： 不妨設(shè) 210 xx 因為 )0()()()()()()(12211221fxfxfxxfxfxfxxf1112xfxf)()( 2122xxx )()()(2121xfxfxxf所以所以121( )()0 x f 121()( )xff12110 x25三、柯西(Cauchy)中值定理柯西柯西（CauchyCau

15、chy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且)(xF在在),(ba內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少有一點(diǎn)有一點(diǎn))(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .26幾何解釋幾何解釋:)(1 F)(2 FXoY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦該點(diǎn)處的切線平行于該點(diǎn)處的切線平行于在在一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 證證作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).(

16、)()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在ba27, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在ba,)(xxF 當(dāng)當(dāng), 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf28例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一

17、點(diǎn)至少存在一點(diǎn)證明證明內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證分析分析: 結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxF設(shè)設(shè),)(),(條件條件上滿足柯西中值定理的上滿足柯西中值定理的在在則則10 xFxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即29四、小結(jié)四、小結(jié)Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；之間的關(guān)

18、系；注意定理成立的條件；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.3013413P習(xí)題.14,12),2(11,10, 9 , 8 , 6 , 4 , 131思考題思考題 試舉例說明拉格朗日中值定理的試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可條件缺一不可.32思考題解答思考題解答 1, 310,)(21xxxxf不滿足在閉區(qū)間上不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)連續(xù)的條件；的條件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不滿足在開區(qū)間內(nèi)不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微可微的條件；的條件；以上兩個都可說明問題以上兩個都可說明問題.33一、一、 填空題：填空題：1 1、 函

19、數(shù)函數(shù)4)(xxf 在區(qū)間在區(qū)間1,21,2上滿足拉格朗日中值上滿足拉格朗日中值定理，則定理，則=_=_ _ _. .2 2、 設(shè)設(shè))4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_個根，它們分別在區(qū)間個根，它們分別在區(qū)間_上上. .3 3、 羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關(guān) 系 是羅 爾 定 理 與 拉 格 朗 日 定 理 之 間 的 關(guān) 系 是_._.4 4、 微分中值定理精確地表達(dá)函數(shù)在一個區(qū)間上的微分中值定理精確地表達(dá)函數(shù)在一個區(qū)間上的_與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的_之間之間的關(guān)系的關(guān)系. .5 5、 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)上的導(dǎo)數(shù)_ _，那，那么么)(xf在區(qū)間在區(qū)間I上是一個常數(shù)上是一個常數(shù). .練練 習(xí)