[研究生入學考試]第二章 1 導數(shù)的概念ppt課件

1、第三章第三章微積分學的開創(chuàng)人微積分學的開創(chuàng)人: 德國數(shù)學家德國數(shù)學家 Leibniz 微分學微分學導數(shù)導數(shù)描畫函數(shù)變化快慢描畫函數(shù)變化快慢微分微分描畫函數(shù)變化程度描畫函數(shù)變化程度都是描畫物質(zhì)運動的工具都是描畫物質(zhì)運動的工具 (從微觀上研討函數(shù)從微觀上研討函數(shù))導數(shù)與微分導數(shù)與微分導數(shù)思想最早由法國導數(shù)思想最早由法國 數(shù)學家數(shù)學家 Ferma 在研討在研討 極值問題中提出極值問題中提出. 英國數(shù)學家英國數(shù)學家 Newton一、引例一、引例二、導數(shù)的定義二、導數(shù)的定義三、導數(shù)的幾何意義三、導數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導性與延續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導性與延續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導數(shù)五、單側(cè)導數(shù)第一部分第一

2、部分導數(shù)的概念導數(shù)的概念 第三章第三章 一、一、 引例引例1. 變速直線運動的速度變速直線運動的速度設(shè)描畫質(zhì)點運動位置的函數(shù)為設(shè)描畫質(zhì)點運動位置的函數(shù)為)(tfs 0t那么那么 到到 的平均速度為的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在而在 時辰的瞬時速度為時辰的瞬時速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自在落體運動自在落體運動 xyo)(xfy C2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線曲線)(:xfyCNT0 xM在在 M 點處的切線點處的切線x割線割線 M N 的極限位置的極限位置 M T(當當 時時)割線割線 M N 的斜率

3、的斜率tan)()(0 xfxf0 xx 切線切線 MT 的斜率的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 兩個問題的共性兩個問題的共性:so0t)(0tf)(tft瞬時速度瞬時速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有類似問題還有:加速度加速度角速度角速度線密度線密度電流強度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是速度增量與時間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是

4、轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題變化率問題 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點0 x的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , 當當 函數(shù)函數(shù) y=f (x) 的自變量的改動量和函數(shù)值的改動的自變量的改動量和函數(shù)值的改動 量的含義：量的含義：自變量由自變量由 變化到變化到 時，稱時，稱0 xx0 xxx在在 處的改動量處的改動量. 0 x為自變量為自變量 x 相應(yīng)的函數(shù)值的的改動量為相應(yīng)的函數(shù)值的的改動量為)()()()(000 xfxxfxfxfy.0 xxx即即定義定義3.

5、1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點0 x的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義有定義 , 二二 (3.2 )導數(shù)的概念導數(shù)的概念假設(shè)極限假設(shè)極限0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim存在存在,)(xf并稱此極限為函數(shù)并稱此極限為函數(shù))(xfy 記作記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000那么稱函那么稱函數(shù)數(shù)在點在點0 x處可導處可導, 在點在點0 x處的導數(shù)或微商處的導數(shù)或微商. 假設(shè)上述極限不存在假設(shè)上述極限不存在 ,在點在點 不可導不可導.

6、0 x就說函數(shù)就說函數(shù)假設(shè)函數(shù)在開區(qū)間假設(shè)函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點都可導內(nèi)每點都可導,此時導數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導函數(shù)此時導數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導函數(shù).就稱函數(shù)在就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導內(nèi)可導. 記作記作:;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf運動質(zhì)點的位置函數(shù)運動質(zhì)點的位置函數(shù))(tfs so0t)(0tf)(tft在在 時辰的瞬時速度時辰的瞬時速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt 曲線曲線)(:xfyC在在 M 點處的切線斜率導數(shù)的幾何點處的切線斜率導數(shù)的幾何意義意義xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx)(0tf )(0 xf 闡

7、明闡明: 在經(jīng)濟學中在經(jīng)濟學中, 邊沿本錢邊沿本錢 ,邊沿勞動消費率和邊沿稅率等從數(shù)學角度看就是導數(shù)邊沿勞動消費率和邊沿稅率等從數(shù)學角度看就是導數(shù).例例1. 求函數(shù)求函數(shù)Cxf)(C 為常數(shù)為常數(shù)) 的導數(shù)的導數(shù). 解解:yxCCx0lim0即即0)(C例例2. 求函數(shù)求函數(shù))N()(nxxfn.處的導數(shù)處的導數(shù)在在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx對普通冪函數(shù)對普通冪函數(shù)xy ( 為常數(shù)為常數(shù)) 1)(xx以后將證明以后將證明例如，例如，)(x)(21 x2121xx2

8、1x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743xhxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函數(shù)求函數(shù)xxfsin)(的導數(shù)的導數(shù). 解解:,xh令那那么么)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxcos)(sin類似可證得類似可證得xxsin)(cosh例例4. 求函數(shù)求函數(shù)xxfln)(的導數(shù)的導數(shù). 解解:,xh令那那么么)(xf hxfhxfh)()(lim0hxhxhln)ln(lim0hxhh)1ln(lim0hh1lim0 xhx1即即xx1)(ln例例5. 證明函數(shù)證明函數(shù)x

9、xf)(在在 x = 0 不可導不可導. 證證:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在不存在 , .0不不可可導導在在即即xx例例6. 設(shè)設(shè))(0 xf 存在存在, 求極限求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式原式0limhhhxf2)(0)(0 xf)( 2 )(0hhxf)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf hxfhxfh)()(lim21000hxfhxfh)()(lim21000能否可以按下面這樣做呢？能否可以按下面這樣做呢？ 則則令令,0hxt原式原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh

10、)(0 xf )(0 xf 存在存在, ,求求.)()(lim0200 xxfxxxfx例例7 設(shè)設(shè)解解: : 原式原式= =xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 例例2 2 假設(shè)假設(shè)0) 1 (f且且) 1 (f 存在存在 , 求求.tan) 1()cos(sinlim20 xexxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式原式 =220)cos(sinlimxxxfx且且0) 1 (f聯(lián)想到湊導數(shù)的定義式聯(lián)想到湊導數(shù)的定義式 220) 1cossin1 (limxxxfx1cossin2xx1cossin2xx) 1 (f) 1 (f )

11、211 ( ) 1 (21f 例例3 3 設(shè)設(shè))(xf在在2x處延續(xù)處延續(xù), ,且且,32)(lim2xxfx求求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx. 32)(lim2xxfx1lim)()1()1(2xnxnnebaxexxf試確定常數(shù)試確定常數(shù) a , b a , b 使使 f (x) f (x) 處處可導處處可導, ,并求并求. )(xf 解解)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1時時當當 x;)(axf時，時，當當1x.2)(xxf) 1 ()01 ()01 (fff) 1 ()

12、 1 (ff得得處可導，處可導，在在利用利用1)(xxf即即ba1) 1(21ba2a例例4 設(shè)設(shè), 1,2ba2) 1 ( f1,21,2)(xxxxf,1時時當當x,)(axf時，時，當當1xxxf2)()(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x例例5 設(shè)設(shè))(xf0,1sin2xxx0,0 x0)(,xxf在在討討論論處的延續(xù)性及可導性處的延續(xù)性及可導性. 解解:)(lim0 xfx又又xfxfx)0()(lim0所以所以 )(xf0 x在在處延續(xù)處延續(xù). 即即)(xf0 x在在處可導處可導 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim00 xxxx1sinli

13、m20. 0)0( fxyo)(xfy CT0 xM曲線曲線)(xfy 在點在點),(00yx的切線斜率為的切線斜率為)(tan0 xf 假假設(shè)設(shè),0)(0 xf曲線過曲線過上升上升;假假設(shè)設(shè),0)(0 xf曲線過曲線過下降下降;xyo0 x),(00yx假假設(shè)設(shè),0)(0 xf切線與切線與 x 軸平行軸平行,稱為駐點稱為駐點;),(00yx),(00yx0 x假假設(shè)設(shè),)(0 xf切線與切線與 x 軸垂直軸垂直 .曲線在點曲線在點處的處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyyxyo0 x,)(0時 xf三、三、 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義處可導在點xxf)(定理定理1.處

14、連續(xù)在點xxf)(證證: 設(shè)設(shè))(xfy 在點在點 x 處可導處可導,)(lim0 xfxyx存在存在 , 因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函數(shù)所以函數(shù))(xfy 在點在點 x 延續(xù)延續(xù) .留意留意: 函數(shù)在點函數(shù)在點 x 延續(xù)未必可導延續(xù)未必可導.反例反例:xy xyoxy 在在 x = 0 處延續(xù)處延續(xù) , 但不可導但不可導.即即四、四、 函數(shù)的可導性與延續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導性與延續(xù)性的關(guān)系 在點在點0 x的某個右的某個右)(xfy 假設(shè)極限假設(shè)極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000那么稱此極限值那么稱此極限值為為)(xf在在

15、 處的右處的右 導數(shù)導數(shù),0 x記作記作)0(0 xf即即)0(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)(左左)0( x)0( x)0(0 xf0 x定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)鄰域內(nèi)有定義鄰域內(nèi)有定義,存在存在,五、五、 單側(cè)導數(shù)左、右導數(shù)單側(cè)導數(shù)左、右導數(shù)xxf)(在在 x = 0 處有處有,1)00( f1)00( f例如例如,xyoxy ,)0()0(00存存在在與與xfxf且且)0(0 xf. )0(0 xf定理定理2. 函數(shù)函數(shù)在點在點0 x)(xfy 可導的充分必要條件可導的充分必要條件是是)(0 xf 存在存在)0(0 xf)0(0 xf簡寫為簡寫為在點在點處右處右

16、導數(shù)存在導數(shù)存在0 x定理定理3. 函數(shù)函數(shù))(xf)(xf在點在點0 x必必 右右 延續(xù)延續(xù).(左左)(左左)假設(shè)函假設(shè)函數(shù)數(shù))(xf)0( af)0( bf與與都存在都存在 ,顯然顯然:)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , b 上可導上可導那么那么稱稱)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上可導上可導.,ba在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導內(nèi)可導,),(ba且且,)(baCxf思索與練習思索與練習1. 函數(shù)函數(shù) 在某點在某點 處的導數(shù)處的導數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別區(qū)別:)(xf 是函數(shù)是函數(shù) ,)(0 xf 是數(shù)值是數(shù)值;聯(lián)絡(luò)聯(lián)絡(luò):0)(xxxf)(0 xf 留意留意:有什么區(qū)別與聯(lián)絡(luò)有什么區(qū)

17、別與聯(lián)絡(luò) ? )()(00 xfxf？與導函數(shù)與導函數(shù)2. 設(shè)設(shè))(0 xf 存在存在 , 那么那么._)()(lim000hxfhxfh3. 知知,)0(,0)0(0kff那那么么._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 假設(shè)假設(shè)),(x時時, 恒有恒有,)(2xxf問問)(xf能否在能否在0 x可導可導?解解: :由題設(shè)由題設(shè))0(f00)0()(xfxfx0由兩邊夾準那由兩邊夾準那么么0)0()(lim0 xfxfx0故故)(xf在在0 x可導可導, 且且0)0( f5. 5. 設(shè)設(shè)0,0,sin)(xxaxxxf, 問問 a 取何值時取何值時,)(xf 在在),(都存在都存在

18、, 并求出并求出. )(xf 解解:)00(f00sinlim0 xxx1)00(f00lim0 xxaxa故故1a時時,1)0( f此時此時)(xf 在在),(都存在都存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數(shù)在顯然該函數(shù)在 x = 0 延續(xù)延續(xù) .解解: 由于由于1. 設(shè)設(shè))(xf 存在存在, 且且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f補充題補充題)(xf在在 0 x處延續(xù)處延續(xù), 且且xxfx)(lim0存在，存在，證明證明:)(xf在在0 x處可導處可導.證：由于證：由于xxfx)(lim0存在，存在，那么那么有有0)(lim0 xfx又又)(xf在在0 x處延續(xù)處延續(xù),0)0(f所以所以xxfx)(lim0即即)(xf在在0 x處可導處可導.2. 設(shè)設(shè)xfxfx)0()(lim0)0(f 故故牛頓牛頓(1642 1727)偉大的英國數(shù)學家偉大的英國數(shù)學家 , 物理學家物理學家, 天文天文學家和自然科學家學家和自然科學家.