數字信號處理第5章

1、第5章 離散時間系統(tǒng)的相位、 結構與狀態(tài)變量描述5.1 離散時間系統(tǒng)的相頻響應；5.2 FIR 系統(tǒng)的線性相位；5.3 具有線性相位系統(tǒng)的零點分布；5.4 全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)；5.5 譜分解；5.6 FIR 系統(tǒng)的結構；5.7 離散時間系統(tǒng)的 Lattice 結構；5.8 狀態(tài)變量5.1 離散時間系統(tǒng)的相頻響應()()()jjjH eH ee 幅頻響應相頻響應() :( ):jH e 如果：( )k 我們稱其為線性相位。若：( )k 也稱線性相位()()()()()xjjjjkjY eH eX eX ee()1jH e對輸入 ，有( )x n假定：所以：( )()y nx nk輸出是輸入的

2、簡單移位，移位的大小正比于 因此不會發(fā)生失真。k( )k 例：令100( )cos()cos(2()y nnknk則：沒有發(fā)生相位失真00( )cos()cos(2)x nnn()jjkH ee具有線性相位例：令若：200( )cos(/4)cos(2)y nnn則：發(fā)生了相位失真00( )cos()cos(2)x nnn()()jjH ee 00/403/2( )3/2 -1001020-202-1001020-202-1001020-202( )x n1( )y n2( )y n如果令：0( )cos()x nAn0()1jAHe再令：00000( )cos()cos()y nnn 則：0

3、00( )() cos()jy nA H en 則：()()()jjjH eH ee 由于：00000( )cos()cos()y nnn ( )( )p 定義：如果系統(tǒng)的相頻響應不是線性的，那么系統(tǒng)的輸出將不再是輸入信號作線性移位后的組合，因此，輸出將發(fā)生失真。 ( )( )gdd 定義：為系統(tǒng)的群延遲(Group Delay, GD)為系統(tǒng)的相位延遲(Phase Delay, PD)顯然，若系統(tǒng)具有線性相位，則其GD為常數。00( )( )cos(),( ):Narrowband Signalacx nx nnx n若：則：0000( )()()cos()jagpy nH ex nn即：相

4、位延遲 反映了載波信號的延遲， 而群延遲 反映了輸出包絡的延遲。 0()p0()g思考：如何實現對信號的零相位濾波？若 要保證系統(tǒng)是因果的，又如何實現？5.2 FIR 系統(tǒng)的線性相位 在絕大部分信號處理的場合，人們都期盼系統(tǒng)具有線性相位，但是，如何實現線性相位？對 FIR 系統(tǒng)，如果保證：( )(1)0,1,1h nh NnnN 則該系統(tǒng)具有線性相位。( )(1)h nh Nn :even:oddNN上述對稱有四種情況：第一類 FIR 系統(tǒng)幾何偶對稱( )h n( )(1)h nh Nn :even:oddNN幾何奇對稱( )h n第二類 FIR 系統(tǒng)1. 為奇數N10()( )Njj nnH

5、 eh n e1(3) 2120(1)/21( )( )2NNNjj nj nnnNNh n eh n ehe1mNn 令：并利用 的對稱性，有()jH e(3) 2(3) 2(1)00()( )(1)NNjj nj NmnmH eh n eh Nm e 1212NjNhe第一類 FIR 系統(tǒng)(3) 2(1)/20112( )cos22Nj NmNNeh mmh()jH e(1) 2nNm令：102( )121,2,(1) 22Nhna nNhnnN 令：(1) 2(1)/21112cos()22Nj NnNNehnnh()jH e實數(1) 2(1)/20()( )cos()Njj NnH

6、eea nn最后有：(1) 20( )(1)2( )( )cos()NgnNHa nn 相位增益 所以，只要保證濾波器的系數偶對稱，該濾波器必然具有線性相位。2(1)/211()2cos22Njj NnNH eehnn2. 為偶數N( )2 (),1,2,22NNb nhnn令：2(1)/211()( )cos() 2Njj NnH eeb nn則：( )(1)h nh Nn 第二類 FIR 系統(tǒng)：3. 為奇數N1(1) 2221()( )sin()NNjjnH eec nn1( )21,2,(1) 22Nc nhnnN( )(1)/2/2N 4. 為偶數N122211()( )sin2NNj

7、jnH eed nn( )21,2,22Nd nhnnN( )(1)/2/2N 請掌握四種情況下線性相位表達式的推導方法。的線性組合，在 時， 易取得最大值，因此這一類濾波器易體現低通特性，且是偶函數。通過頻率移位，又可體現高通、帶通、帶阻特性。所以，經典的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的 都是偶對稱的。說明： 第一類 FIR 系統(tǒng)是cos()n0()jH e( )h n的線性組合，在 時， 的值為零，且是奇函數。這一類濾波器都是作為特殊形式的濾波器，如 Hilbert變換器、差分器等。第二類 FIR 系統(tǒng)是sin()n0()jH e 最好取為奇數，以便以中心點為對稱。N思考：四類濾波器的對稱點

8、在何處5.3 具有線性相位系統(tǒng)的零點分布1100( )( )(1)NNnnnnH zh n zh Nn z ( )H z1()H z所以， 的零點也是 的零點, 反之亦然1mNn 令：1(1)0( )NNnnzh n z 則：1(1)0( )( )NNmmH zh m z (1)1()NzH z ( )H z 的零點分布: .0, ,1kkar1111( )111111kkkkjjkkkjjkkHzz r ez r ezezerr四個零點同時存在, 構成四階系統(tǒng).kz在單位圓內把該式展開，其系數也是對稱的，是具有線性相位的子系統(tǒng)。.0, ,1,.kkkbrz在實軸上111( )11mkkHzz

9、 rzr無共軛零點, 有鏡象零點11( )11kkjjlH zz ez e.0, ,1,.kkkcrz在單位圓上無鏡象對稱零點, 有共軛零點.kmlnnlmkzHzHzHzHzH)()()()()(一個具有線性相位的FIR數字濾波器的轉移函數可表示為上述四類 FIR 子系統(tǒng)的級聯，即：很容易證明，每一個子系統(tǒng)的系數都是對稱的，因此它們都具有線性相位。.0, ,11,1kkkdrz)1 ()(1zzHn無鏡象零點, 也無共軛零點.5.4 全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng) 如果一個系統(tǒng)的幅頻響應對所有的頻率都等于1 (或一個常數), 即1| )(|japeH|0則稱系統(tǒng) 為全通系統(tǒng)。)(zHap( )kap

10、Hzz最簡單的全通系統(tǒng)，純延遲全通系統(tǒng)1111( )11apzHzz一階全通系統(tǒng)：Pole:,Zero:1zz鏡像對稱212( )( )()apapapHzHz Hz22()()()jjjapapapHeHeHe二階全通系統(tǒng)： 111111(1)(1 ()( )(1)(1)apzzHzzz一對位于單位圓內的共軛極點，一對共軛零點和極點以單位圓為鏡像對稱 。111( )11NkapkkkzHzz 高階全通系統(tǒng)：高階全通系統(tǒng)的另一種表示形式：1(1)111212( )1NNNNapNNaaza zzHza za za z 1()( )( )NapzA zHzA z 即：2*()()()1jjjap

11、apapHeHeHe對該全通系統(tǒng)，請自己證明： 1 . 是IIR系統(tǒng)； 2. 極點數和零點數相等； 3. 極點和零點是以單位圓鏡像對稱的； 4. 極點都在單位圓內,零點都在單位圓外； 5. 全通系統(tǒng)的群延遲始終為正值。全通系統(tǒng)的特點：IIR系統(tǒng)的 無限長，無法對稱，即無法作到線性相位。在實際中，可以用一個全通系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)相級聯，在不改變幅頻響應的情況下對相頻響應做矯正，使其接近線性相位。( )h n全通系統(tǒng)的應用：全通系統(tǒng)還廣泛應用在系統(tǒng)分析及一些特殊濾波器的設計方面（如功率互補IIR濾波器組）-101-1-0.500.51(a)00.20.400.511.5(b)00.20.4-4-3-

12、2-10(c)05101520-0.500.51(d) 一階全通系統(tǒng)極零圖幅頻相頻抽樣響應-101-1-0.500.51(a)00.20.400.51(b)00.20.4-8-6-4-20(c)0102030-0.500.51(d) 三階全通系統(tǒng) 一個離散系統(tǒng)，其極點必須在單位圓內，但對零點沒有限制，如果：1. 所有的零點都在單位圓內： 最小相位系統(tǒng)；2. 所有的零點都在單位圓外： 最大相位系統(tǒng)；3. 單位圓內、外都有零點 ： 混合相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)1. 在具有相同幅頻響應的因果的穩(wěn)定的濾波器 集合中, 最小相位濾波器具有最小的相位偏移；最小相位系統(tǒng)的性質：例：作為作業(yè)，請證明如下兩個系統(tǒng)

13、具有相同 的幅頻響應：1111( ),1,11zbbzH zabzaaz1211( ),1,11bzbzHzabzaaz那一個是最小相位系統(tǒng)1111( ),1,11zbbzH zabzaaz1211( ),1,11bzbzHzabzaaz00.20.4024(a)00.20.4-1.501.53(b)0510152000.20.40.60.81(c)05101520-1-0.500.51(d)幅頻相頻2. 在所有具有相同幅頻響應的離散系統(tǒng)中, 最 小相位系統(tǒng)的 具有最小的延遲；( )h n令：20()( )0MnE Mh nM 累計能量有：22min00( )( )MMnnhnh n所以，最小

14、相位系統(tǒng)的單位抽樣響應又稱最小延遲序列。思考： 具有線性相位的FIR系統(tǒng)是否是最小相位系統(tǒng)？/31 2/31 212/31/31/31/3122/31 2/31 232(1 0.5) (1 0.5)( )1 0.81(1 0.5)(1 0.5)(0.5)(0.5)( )1 0.81(0.5) (0.5)( )1 0.81jjjjjjjjezezH zzezezezezHzzezezHzz例. 三個系統(tǒng)：它們具有相同的幅頻響應，試判斷，那一個是最小相位系統(tǒng)？最大相位系統(tǒng)？混合相位系統(tǒng)？請注意：為保證系統(tǒng)具有相同的幅頻響應（相同的定標）， 的表達式。123( ),( ),( )H zHzHz-10

15、1-101222-202-1012-202-10122200.250.50102000.250.5-20-1001001020-20201020-20201020-20201020051015)(arg| )(|)(zHjezHzH( )ln( )ln |( )|arg( )H zH zH zjH z3. 設 為最小相位系統(tǒng)( )H z令：構成一對Hilbert變換)(jReH)(jIeHdeHeHdeHheHjRjIjjR)2cot()(21)()2cot()(21)0()(1則：和( )()( )jH zH eh n、復倒譜：Cepstrum4. 對于穩(wěn)定因果系統(tǒng)，當且僅當其是最小相位 系

16、統(tǒng)時, 該系統(tǒng)才有逆系統(tǒng) （Inverse System)。 令：( )( )( )N zH zD z記：INV1( )( )( )( )D zHzH zN z 的逆系統(tǒng)( )H z( )H zINV( )Hz( )y n( )x n( )x nDeconvolution(反卷積）System identification(系統(tǒng)辨識）5. 任一非最小相位的因果系統(tǒng)的轉移函數均可由一個最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng) 級聯而成, 即：)()()(minzHzHzHap由于最小相位系統(tǒng)有著以上特殊的性質，因此有著廣泛的應用，特別是在信號的建模與系統(tǒng)辨識方面。要理解，具有相同幅頻響應的系統(tǒng)，它們所對應的轉

17、移函數可以是不相同的，區(qū)別就在于相位（或零點的位置）。那么，如何由一個最小相位系統(tǒng)得到具有相同幅頻響應的最大相位、混合相位系統(tǒng)？5.5 譜分解（Spectral factorization)1( )( )()P zH z H z令：顯然， 具有線性相位。將一個轉移函數的極零點重新分配，得到兩個轉移函數，這一過程（或方法）就稱為“譜分解”。最常用的是將具有線性相位系統(tǒng)的轉移函數作分解，并且往往是分解成兩個具有相同幅頻響應的子系統(tǒng)。( )P z( )p n=1.0000 ，4.0500，8.1000 ，14.9956，27.7248，43.2996，51.1831，43.2996，27.7248，

18、14.9956，8.1000，4.0500，1.0000例. 令顯然，該系統(tǒng)具有線性相位，共有12個零點：0.8,1/0.8,0.6,1/0.6,2/32/3/3/3,0.6,/0.6jjjjeeee 下圖是對 作譜分解的結果，可以看出，分解后的兩個系統(tǒng)具有相同的幅頻響應。( )P z 譜分解的目的是想得到因果的、符合某種要求的系統(tǒng)，這在信號建模、特殊濾波器的設計中經常要用到。分解的一般方法是： 令一個系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)； 則另一個系統(tǒng)必然是最大相位系統(tǒng)。這樣，兩個系統(tǒng)都有著相同的幅頻響應。 另外一種分解方法是得到兩個混合系統(tǒng)，目的是保證它們都具有線性相位。0510020406000.250.

19、500.51-2-101-101221200.250.500.510510012-101-101600.250.500.510510051015-2-101-1016( )P z( )P z( )H z1()H z5.6 FIR 系統(tǒng)的結構直接實現:12012( )( )MMY zX z bb zb zb z0( )MnnnH zb z一、 直接實現和級聯實現級聯實現:LkkkkzzzH122110)()( )(1)h nh Nn :oddM:evenM乘法量減少一半二、 具有線性相位的FIR系統(tǒng)的結構1/0( )Nh n 其它1, 1 , 0 Nn11011 1( )1NNnnzH zzNN

20、zFIR 系統(tǒng)該系統(tǒng)實際上是一個N點平均器。11001( )() ( )()NNkky nx nk h kx nkNIIR系統(tǒng)三、 FIR系統(tǒng)的遞歸實現及梳狀濾波器該系統(tǒng)可由一FIR系統(tǒng)和一個一階IIR系統(tǒng)級聯而成，極零點抵消后，仍是一FIR系統(tǒng)。12111( ),( )1NzH zHzNz令令IIR 實現11 1( )1NzH zNz211101( )(1),NjkNkH zezN/21sin(2)()2jj NNH ej eN211101( )(1),NjkNkH zezN/21sin(2)()2jj NNH ej eN梳狀濾波器N點平均器1100( )( ),( )( )NNnknNnn

21、H zh n zH kh n W211001101( )( )11( )1NNNnknNnkNNjknH zH k WzNzH kNez10121)(1NkkjNzekHNzN思路：用DFT系數 表示系統(tǒng)函數( )H k( )H z四、 頻率抽樣實現令：11( )NzH zN1, 221)()(zekHzHkjkN梳狀濾波器N個一階IIR系統(tǒng))()()(10, 21zHzHzHNkk則：21101( )( )1NNNjkkzH kH zNez可按上述級聯方式得到系統(tǒng)的信號流圖：該結構一方面反映了 Z 變換、DTFT、DFT之間的關系，另一方面，給出了FIR 濾波器設計的一種有效方法。5.7 離

22、散時間系統(tǒng)的 Lattice 結構Lattice 結構又稱“格形”結構，是一種非常新穎、有特色的結構，在基于模型的功率譜估計、語音信號處理、自適應濾波方面有著重要的應用。對一個FIR系統(tǒng)，其Lattice 結構是：)(1npm)(1nqm1zmkmk)(npm)(nqm) 1()()(11nqknpnpmmmm11( )( )(1)mmmmqnk pnqn mk反射系數Lattice 結構的基本單元1. 全零點系統(tǒng)(FIR)的Lattice結構111111( )( )( )( )( )( )mmmmmmmmP zPzk z QzQzk Pzz Qz 如何實現濾波器系數和 的相互轉換mk)()(

23、1)()(1111zQzPzkzkzQzPmmmmmm( )010( )( ) /( )1( )( ) /( )miimmmimmBzPzP zbzBzQzQz定義：MmMm, 2 , 1, 2 , 1 00( )( )P zQzLattice結構中的基本關系( ),( )mmBzBz：是Lattice 結構中第 m 個上、下結點相對輸入端的轉移函數。( )01( )( )( )1MMiiiMiiH zB zb i zbz 11111( )( )( )( )mmmmmmk zBzBzBzBzkz 1211( )( )/(1)( )( )mmmmmmmkBzBzkBzBzzkz得到由低階倒高階，

24、或由高到低的遞推關系。()( )( )()11()( )( )()21/(1)mmmiim immmmmmmiim immmmmbkbbk bkbbbk bk 得到時域遞推關系：低到高階高到低階MATLAB中有相應的 m 文件。( )01( )( )( )1MMiiiMiiH zB zb i zbz 例：123( )( )1 1.71.50.648H zB zzzz (1)(2)(3)3331.7,1.5,0.648bbb (3)330.648kb (1)(1)(2)2233 33(2)(2)(1)2233 33/(1)1.221453/(1)0.738498bbk bkbbk bk 122(

25、 )1 1.2214530.738498B zzz (2)220.738498kb (1)(1)(1)212222/(1)0.70259bbk bk 11( )1 0.70259B zz (1)110.70259kb 111( )( )1MkkkH zA za z看作是FIR系統(tǒng)的逆形式。2. 全極點系統(tǒng)(IIR)的Lattice結構11( )( )(1)mmmmpnpnk qn11( )( )(1)mmmmqnk pnqn mkmk)(npm)(nqm1z)(1npm)(1nqm( )1( )1,( )( )( )( )mmmmY zY zP zAzQzAz( )1( )11( )( )(

26、)1MiiMMMiY zH zPzAza z的求解方式同FIR系統(tǒng)Lattice結構的計算方法, 只是將多項式的系數 換成 . Mkkk,21 Mmmiaim, 2 , 1, 2 , 1,)( )(ima系數系數及及( ) imb注意：在遞推求解的過程中，反射系數1,1,2,mkkM有關反射系數的更多討論見第12章信號建模。01( )( )( )1NkkrNkkkb zB zH zA za z3. 極零系統(tǒng)的Lattice結構上半部對應全極系統(tǒng)上半部對應全極系統(tǒng)下半部對應全零系統(tǒng)下半部對應全零系統(tǒng)12,Nk kkNk, 1 , 0 兩組Lattice系數1201,NNk kkc cc1/( )

27、( )A zB z求出同全極系統(tǒng)；()1Nm kkkmmm kcbc a 遞推求解5.8 離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量描述描述：差分方程、轉移函數、線性卷積1. LSI系統(tǒng)的狀態(tài)變量與狀態(tài)方程01( )( )( )1NrrrNkkkb zB zH zA za z01( )( )1MrrrNkkkb zY zX za z11( )( )1NkkkV zX za z0( )( )MrrrY zV zb z1( )()( )Nkkv na v nkx n 0( )()Mkky nb v nk轉移函數、差分方程、中間變量的關系1. “狀態(tài)”指系統(tǒng)內一組變量, 它包含了系統(tǒng)全部 過去的信息, 由這一組變量和現在與

28、將來的 輸入，可求出現系統(tǒng)現在和將來的全部輸出；2. 可用于分析多輸入、多輸出系統(tǒng)；如何選擇狀態(tài)變量？有著不同的方法。方法之一是選擇( ), (1), ()v n v nv nN作為系統(tǒng)的狀態(tài)。12( )(1)( )(2)( )()Nw nv nw nv nwnv nN定義一組新的變量相互關系21321(1)( )(1)( )(1)( )NNw nw nw nw nwnwn111(1)( )( )( )( )NNw nv na w na wnx n 121112233(1)( )1(1)( )10000(1)0100( )0( )00100(1)( )NNNNaaaaw nw nw nw nw

29、 nw nx nwnwn 狀態(tài)方程01011( )( )(1)()( )( )( )MMMy nb v nbv nb v nMb v nbw nb wn0( )( )MrrrY zV zb z121,230( )( )( ),( )( )( )NNw nw ny nc ccw nb x nwn1101220201010,MMMMMNNcbb acbb acbb acb acb a 輸出方程(1)( )( )( )( )( )nnnnnnwAwBxyCwDx)(nxBD) 1( nw1z)(nwC)(nyA上述內容討論了如何由差分方程轉換為狀態(tài)方程。當然，反過來也可以。(1)( )( )( )(

30、 )( )nnnnnx nwAwBxyCwD兩邊取兩邊取Z變換：變換：( )( )( )( )( )( )zzzzzzzWAWBXYCWDX)()()()(1zBXAzIzWzBXzWAzI)()()(1zDXzBXAzICzYDBAzICzXzYzH1)(/ )()(2.由狀態(tài)方程求系統(tǒng)的轉移函數)()()()()() 1(nDxnCwnynBxnAwnw) 3() 3()2()2()2() 1() 1() 1()(nBxnAwnwnBxnAwnwnBxnAwnw2( )(2)(2)(1)w nA w nABx nBx n) 1()2() 3() 3(23nBxnABxnBxAnwA0nn前

31、某時刻00110)()()(nnllnnlnBxAnwAnw狀態(tài)方程輸出方程3.由狀態(tài)方程求輸出及單位抽樣響應11)()()(llnDxlnBxCAny0)()()()()(llnxlhnhnxny抽樣響應為：)(nhBCADn 10000nnn零輸入解)()(00nwCAnynnoi零狀態(tài)解011)()()(nnllosnDxlnBxACny00110)()()()(nnllnnnDxlnBxACnWCAny例 對系統(tǒng)，當 時， 即是系統(tǒng)的單位抽樣響應 ，顯然， ，該序列稱為Fibonacci序列。試利用狀態(tài)方程求 。( )(1)(2)( )y ny ny nx n( )( )x nn( )y n( )h n( )1,1,2,3,5,8,h n (18)h1 11,1 1 ,100 ACB解：1718