七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)-03數(shù)軸與相反數(shù)(提高)知識(shí)講解

1、數(shù)軸與相反數(shù)（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1熟練掌握數(shù)軸及相反數(shù)的相關(guān)概念，并能靈活運(yùn)用；2理解有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的關(guān)系，并會(huì)借助數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大??；3會(huì)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，并能借助數(shù)軸理解相反數(shù)的概念及幾何意義；4. 掌握多重符號(hào)的化簡(jiǎn)；5. 通過(guò)例子，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想. 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、數(shù)軸1. 定義： 規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線(xiàn)叫做數(shù)軸.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可. （2）長(zhǎng)度單位與單位長(zhǎng)度是不同的，單位長(zhǎng)度是根據(jù)需要選取的代表“1”的線(xiàn)段，而長(zhǎng)度單位是為度量線(xiàn)段的長(zhǎng)度而制定的單位有km、m 、dm、cm等（3）原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度可以根據(jù)實(shí)

2、際靈活選定，但一經(jīng)選定就不能改動(dòng)2. 數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系：任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理教，還可以表示其他數(shù)，比如. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）一般地，數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示正數(shù)，左邊的點(diǎn)表示負(fù)數(shù)；反過(guò)來(lái)也對(duì)，即正數(shù)用數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)數(shù)用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示.（2）在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大. 要點(diǎn)二、相反數(shù)1. 定義： 只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)；0 的相反數(shù)是0. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?） “只”字是說(shuō)僅僅是符號(hào)不同，其它部分完全相同；（2） “0 的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，不能漏掉；（3）相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不

3、能說(shuō)是相反數(shù)；（4）求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上“- ”號(hào)即可 . 2. 性質(zhì)：（1）互為相反數(shù)的兩數(shù)的點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等（這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)） . （2）互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0. 要點(diǎn)三、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)，由數(shù)字前面“- ”號(hào)的個(gè)數(shù)來(lái)確定，若有偶數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為正，如-(-4)=4 ；若有奇數(shù)個(gè)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為負(fù)，如-+-(-4)=-4 . 要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?1）在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“”，仍然與原數(shù)相同，如55，（ 5） 5. （ 2）在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“”，就成為原數(shù)的相反數(shù). 如（ 3）就是 3 的相反數(shù)，因此，（3） 3. 【典型例題】類(lèi)型

4、一、數(shù)軸的概念1. 小明的家與他上學(xué)的學(xué)校、書(shū)店依次坐落在一條東西走向的大街上，小明家位于學(xué)校西邊 30 米處， 書(shū)店位于學(xué)校東邊100 米處， 小明從學(xué)校沿這條大街向東走了40 米，接著又向西走了100 米到達(dá)超市，試用數(shù)軸表示出小明的家、學(xué)校、書(shū)店、超市的位置【思路點(diǎn)撥】 我們把小明行走的過(guò)程想象為點(diǎn)在數(shù)軸上移動(dòng)的過(guò)程，使問(wèn)題化難為易. 用數(shù)軸表示數(shù)時(shí)，要根據(jù)實(shí)際需要，每個(gè)單位表示的數(shù)可大可小，但整體要保持統(tǒng)一. 【答案與解析】以學(xué)校作為數(shù)軸的原點(diǎn)，向東的方向即學(xué)校的東邊為正方向，把20 米作為單位長(zhǎng)度，所以學(xué)校、家、書(shū)店和超市的位置如圖所示【總結(jié)升華】 原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度三者缺一不可

5、.舉一反三：【變式】 如圖為北京地鐵的部分線(xiàn)路假設(shè)各站之間的距離相等且都表示為一個(gè)單位長(zhǎng)現(xiàn)以萬(wàn)壽路站為原點(diǎn)，向右的方向?yàn)檎?，那么木樨地站表示的?shù)為_(kāi)，古城站表示的數(shù)為_(kāi)；如果改以古城站為原點(diǎn)，那么木樨地站表示的數(shù)變?yōu)開(kāi)【答案】 3， -5 ，8類(lèi)型二、相反數(shù)的概念2 （2016?哈爾濱模擬）在數(shù)軸上到表示3 的點(diǎn)距離為5 個(gè)單位長(zhǎng)度的正數(shù)是（）a 2 b 8 c 2 或 8 d5 【思路點(diǎn)撥】 因?yàn)樵跀?shù)軸上與某一點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，分別在該點(diǎn)的兩側(cè)，本題正確選項(xiàng)必須符合兩個(gè)條件，所以借助數(shù)軸分析即可求解. 【答案】 b【解析】 解：因?yàn)樵跀?shù)軸上到表示3 的點(diǎn)距離為5 個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有兩個(gè):a

6、 和 b，如下圖所示：而點(diǎn) a表示的數(shù)為2，點(diǎn) b表示的數(shù)為8，又因?yàn)?8 為正數(shù)，故正確答案選 :b. 【總結(jié)升華】 本題考查了正負(fù)數(shù)的概念以及數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，借助數(shù)軸分析求解比較好舉一反三：【變式 1】(1) 如果 a 13，那么 a _；(2) 如果a 5.4 ，那么 a _；(3) 如果 x 6，那么 x_；(4) x9，那么 x_. 【答案】（1）13； （2）； （3）6； （4）-9【變式 2】4 的倒數(shù)的相反數(shù)是（）a 4 b4 cd【答案】 d 【變式 3】填空：(1) ( 2.5) 的相反數(shù)是；(2) 是-100 的相反數(shù)； (3) 是的相反數(shù)；(4) 的相反

7、數(shù)是 -1.1 ；(5)8.2和互為相反數(shù)； （6）a 和互為相反數(shù) . （7）_的相反數(shù)比它本身大， _ 的相反數(shù)等于它本身【答案】 ( 2.5) ；100；1.1 ；-8.2 ；-a；負(fù)數(shù)； 0 3已知互為相反數(shù)，則【答案】 2【解析】 根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的性質(zhì)，可知，代入上式可得：. 【總結(jié)升華】 若互為相反數(shù)，則或. 舉一反三：【變式】已知與互為相反數(shù)，求的值 . 【答案】 因?yàn)榛橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0，所以，解得：.類(lèi)型三、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)4化簡(jiǎn)：（1） + （ +3） ；（2） （ | 3| ） 【解析】解： （1）原式 =+ 3= 3=3；（2）原式 = （ 3）= +3=

8、3=3 【總結(jié)升華】多重符號(hào)化簡(jiǎn)的規(guī)律解決這類(lèi)問(wèn)題較為簡(jiǎn)單即數(shù)一下數(shù)字前面有多少個(gè)負(fù)號(hào)若有偶數(shù)個(gè)，則結(jié)果為正；若有奇數(shù)個(gè)，則結(jié)果為負(fù)5.44141155155,m n2223mnmn0mn0202,m n0mnmn21m172mm1(21)(7)02mm4m舉一反三：【變式】 當(dāng)+6前面有 2011 個(gè)正號(hào)時(shí)， 化簡(jiǎn)結(jié)果為：；當(dāng)+6 前面有 2011個(gè)負(fù)號(hào)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為：；當(dāng) +6前面有 2012 個(gè)負(fù)號(hào)時(shí)，化簡(jiǎn)結(jié)果為： .【答案】 6； -6 ；6 類(lèi)型四：利用數(shù)軸比較大小5若p，q兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如下圖所示，請(qǐng)用“”或“”填空p_q；p_0；p_q； p_q；【答案】 ; ; 【解析】

9、根據(jù)相反數(shù)的幾何意義，將p，q，-p, -q均表示在數(shù)軸上，如下圖：然后再根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大，及原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示大于0 的正數(shù)， 而原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示小于0 的負(fù)數(shù)，可得上述答案. 【總結(jié)升華】 在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于 0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù). 舉一反三：【變式】（2015?東城區(qū)二模）如圖，數(shù)軸上有a，b，c，d四個(gè)點(diǎn)，其中到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)是（）a.點(diǎn) b與點(diǎn) d b. 點(diǎn) a與點(diǎn) c c. 點(diǎn) a與點(diǎn) d d. 點(diǎn) b與點(diǎn) c 【答案】 c. 類(lèi)型五、數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用6點(diǎn) a在數(shù)軸上，若將a向左移動(dòng)4 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)2 個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)a點(diǎn)所表示的數(shù)是原來(lái)a點(diǎn)所表示的數(shù)的相反數(shù)，原來(lái)a點(diǎn)表示的是什么數(shù)?把你的研究過(guò)程在數(shù)軸上表示出來(lái)【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)數(shù)軸