高考數(shù)學一輪復習總教案：10.2　空間幾何體的表面積與體積

1、10.2空間幾何體的表面積與體積典例精析題型一表面積問題【例1】 圓錐的高和底面半徑相等，它的一個內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比.【解析】設(shè)圓錐的半徑為R，母線長為l，圓柱的半徑為r，軸截面如圖，S圓錐(Rl)R (RR)R()R2，S圓柱2r(rr)4r2，又，所以，所以.來源:【點撥】 軸截面是解決內(nèi)接、外切問題的一種常用方法.【變式訓練1】一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m).(1)試畫出它的直觀圖；(2)求它的表面積和體積.來源:【解析】(1)直觀圖如圖所示.(2)該幾何體的表面積為(7) m2，體積為 m3.題型二體積問題來源:【例2】

2、某人有一容積為V，高為a且裝滿了油的直三棱柱形容器，不小心將該容器掉在地上，有兩處破損并發(fā)生滲漏，其位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為b、c的地方，且容器蓋也被摔開了(蓋為上底面)，為減少油的損失，該人采用破口朝上，傾斜容器的方式拿回家，估計容器內(nèi)的油最理想的剩余量是多少？【解析】 如圖，破損處為D、E，且ADb，ECc，BB1a， 則容器內(nèi)所剩油的最大值為幾何體ABCDB1E的體積.因為，而，由三棱柱幾何性質(zhì)知V， ，所以V，又因為，所以 VDABC·，所以VDABCV.故油最理想的剩余量為V. 【點撥】將不規(guī)則的幾何體分割為若干個規(guī)則的幾何體，然后求出這些規(guī)則幾何體的體積，這

3、是求幾何體體積的一種常用的思想方法.【變式訓練2】一個母線長與底面圓直徑相等的圓錐形容器，里面裝滿水，一鐵球沉入水內(nèi)，有水溢出，容器蓋上一平板，恰與球相切，問容器內(nèi)剩下的水是原來的幾分之幾？【解析】設(shè)球的半徑為R，則圓錐的高h3R，底面半徑rR，V圓錐·(R)2·3R3R3；V球R3.所以，所以剩下的水量是原來的1.來源:數(shù)理化網(wǎng)【點撥】本題關(guān)鍵是求圓錐與球的體積之比，作出軸截面，找出球半徑和圓錐高、底面半徑的關(guān)系即可.題型三組合體的面積、體積的關(guān)系【例3】底面直徑為2，高為1的圓柱截成橫截面為長方形的棱柱，設(shè)這個長方形截面的一條邊長為x，對角線長為2，截面的面積為A，如圖

4、所示：(1)求面積A以x為自變量的函數(shù)式；(2)求截得棱柱的體積的最大值.【解析】 (1)Ax·(0x2).(2)Vx··1 .因為0x2，所以當x時，Vmax2.【點撥】關(guān)鍵是理解截面，并且注意x的范圍從而求體積，在求第(2)求體積時還可利用不等式.【變式訓練3】(2010山東檢測)把一個周長為12 cm的長方形圍成一個圓柱，當圓柱的體積最大時，該圓柱的底面周長與高的比為()A.12B.1C.21D.2【解析】設(shè)長方形的一條邊長為x cm，則另一條邊長為(6x) cm，且0x6，以長為(6x) cm的邊作為圍成的圓柱的高h，若設(shè)圓柱的底面半徑為r，則有2rx，所以r，因此圓柱的體積V·()2(6x)(6x2x3)，由于V·(12x3x2)，令V0，得x4，容易推出當x4時圓柱的體積取得最大值，此時圓柱的底面周長是4 cm，圓柱的高是2 cm，所以圓柱的底面周長與高的比為21，選C.總結(jié)提高來源:表面積包含側(cè)面積和底面積；直棱柱的側(cè)棱長即側(cè)面展開圖矩形的一邊；對于正棱柱、正棱錐、正棱臺，其所有側(cè)面多邊形均全等，故可先求一個的側(cè)面積，再乘以側(cè)面多邊形的個數(shù).求