信號與系統(tǒng)_7.1-7.4學習教案

1、會計學1信號信號(xnho)與系統(tǒng)與系統(tǒng)_7.1-7.4第一頁，共51頁。第1頁/共50頁第二頁，共51頁。第7章 離散時間(shjin)系統(tǒng)的時域分析、引 言 離散時間系統(tǒng)的研究(ynji)歷史17世紀(shj)經(jīng)典數(shù)值分析技術-奠定了數(shù)學基礎20世紀40和50年代抽樣數(shù)據(jù)控制系統(tǒng)研究得到了 重大發(fā)展60年代以后計算機發(fā)展、FFT算法的出現(xiàn)，超大 規(guī)模集成電路制造成功第2頁/共50頁第三頁，共51頁。 60年代計算機科學的發(fā)展與應用是離散時間系統(tǒng)的理論研究和實踐進入(jnr)一個新階段。 1965年庫利（)和圖基()發(fā)明FFT快速(kui s)傅里葉變換。 同時，超大規(guī)模集成電路研制(ynz

2、h)的進展使得體積小、重量輕、成本低的離散時間系統(tǒng)得以實現(xiàn)。20世紀未，數(shù)字信號處理技術迅速發(fā)展。 通信、雷達、控制、航空與航天、遙感、聲納、生物醫(yī)學、地震學、核物理學、微電子學。用數(shù)字信號處理的觀點來認識和分析各種問題。第3頁/共50頁第四頁，共51頁。軟件(run jin)無線電連續(xù)、離散“混合系統(tǒng)”充分(chngfn)數(shù)字化的無線電通信系統(tǒng)可看成(kn chn)一臺帶有天線的超級計算機通用化、模塊化、兼容性、靈活性好顯示了數(shù)字化技術的特征，也證明了連續(xù)系 統(tǒng)的必要性第4頁/共50頁第五頁，共51頁。離散(lsn)時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)的對比離散時間(shjin)系統(tǒng)連續(xù)(linx)時間系

3、統(tǒng)一維、二維和多維系統(tǒng)無此優(yōu)點一維系統(tǒng)精度高、可靠性好、重量體積小、便于大規(guī)模集成利用可編程元件技術、存儲器設備靈活通用工作頻率不能太高工作頻率可以很高無此優(yōu)點第5頁/共50頁第六頁，共51頁。第6頁/共50頁第七頁，共51頁。常也稱為離散信號，用f (kT)表示，T 為抽樣周期。 f (kT)一般簡寫為f (k) 。k)(kTfk)(kf第7頁/共50頁第八頁，共51頁。)(kfn0123452341,04( )0,nnf nn其它( )0,1,2,3,4f n第8頁/共50頁第九頁，共51頁。2離散時間信號(xnho)的運算1、相加( )( )( )z nx ny n1,3,5,7 2,4

4、,6,8 1,3,7,11,6,82、相乘(xin chn) ( )( ) ( )z nx n y n1,3,5,7 2,4,6,80,0,10,28,0,0信號的加減信號的加減(ji jin)(ji jin)與相乘：與相乘：第9頁/共50頁第十頁，共51頁。自變量的變換自變量的變換(binhun)(binhun)：)()(banxnx1、平移(pn y)（位移）：a=1, b為一整數(shù):n)(nx201211345n)2( nx2012113456 7n)2( nx201211343)()(bnxnx2、反褶：a=-1，b=0:n)( nx 2012113443( )()x nxn第10頁/共

5、50頁第十一頁，共51頁。 離散時間離散時間(shjin)信號沒有與連續(xù)時間信號沒有與連續(xù)時間(shjin)信號一樣意義的展縮運算，但當信號一樣意義的展縮運算，但當a為一整數(shù)時，也相當于時域壓縮為一整數(shù)時，也相當于時域壓縮:)()(anxnxn)(nx201211345323n)()2(nynx2012113453231an)(nz201211345323)(202)(2nxknknyn稱作稱作(chn zu)減采樣減采樣稱作稱作(chn zu)y(n)的時域擴展，也是的時域擴展，也是x(n)的抽選的抽選3、展縮（尺度變換）：b=0b=0第11頁/共50頁第十二頁，共51頁。1、差分(ch f

6、n) （對應微分運算）( )(1)( )x nx nx n( )( )(1)x nx nx n前向差分(ch fn) 后向差分(ch fn)2、累加運算 （對應積分運算）( )( )nkz nx k條件:收斂信號的差分與累加：信號的差分與累加：第12頁/共50頁第十三頁，共51頁。kkfE2)(102)(1NkkfNP第13頁/共50頁第十四頁，共51頁。二、典型離散時間二、典型離散時間(shjin)(shjin)信號：信號：1 1、單位、單位(dnwi)(dnwi)樣值序列：樣值序列： 函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)式：式：)(n0001)(nnn 波形圖波形圖： 位移位移：00001)(

7、nnnnnnn01)(nn01)(0nn0n第14頁/共50頁第十五頁，共51頁。 抽樣抽樣(chu yn(chu yn) )性：性：)()0()()(nxnnx)()()()(000nnnxnnnx 設有序列設有序列(xli)x(n) (xli)x(n) ，則有，則有)0()()0()()(xnxnnxnn)()()()()(0000nxnnnxnnnxnnn1030n)0(x3)3(xn)(nx01 2 34512( )( ) ()mx nx mnm第15頁/共50頁第十六頁，共51頁。2 2、單位、單位(dnwi)(dnwi)階躍序列：階躍序列： 函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)式：式：

8、)(nu0001)(nnnu 波形圖波形圖： 位移位移(wiy(wiy) )：00001)(nnnnnnun01)(nu1234n01) 2( nu1234n01) 2( nu123412第16頁/共50頁第十七頁，共51頁。 單位階躍序列單位階躍序列(xli)(xli)的單邊特性：的單邊特性：000)()()(nnnxnunx與單位與單位(dnwi)(dnwi)樣值序列的關系：樣值序列的關系：)() 1()(nnunun)(nx01 2 34512n01)(nu12345n)()(nunx01 2 345120()( )knku nn01)(nu12345n01) 1( nu12345n01

9、)(n第17頁/共50頁第十八頁，共51頁。 矩形矩形(jxng)(jxng)窗序列：窗序列：)()()(NnununRNotherNnnxnRnxN00)()()(n01) 4( nu12345n01)(nu12345n01)(4nR12345n0)(nx1234512n01)(4nR1234521n0)()(4nRnx1234512第18頁/共50頁第十九頁，共51頁。3 3、斜變序列、斜變序列(xli)(xli)( )( )x nnu n0n1( )nu n2521340t( )tu t類似可給出以下(yxi)序列：23( ),( ),( )kn u n n u nn u n第19頁/共

10、50頁第二十頁，共51頁。4 4、指數(shù)、指數(shù)(zhsh)(zhsh)序列：序列： 函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)式：式：nanx)( 式中底式中底a a為常數(shù)，其取值不同，序為常數(shù)，其取值不同，序列列(xli)(xli)變化的形態(tài)不同。如圖變化的形態(tài)不同。如圖中所示：中所示：n01)(nx12341210an01)(nx12341210a n01)(nx1234121an01)(nx1234121a第20頁/共50頁第二十一頁，共51頁。 單邊指數(shù)單邊指數(shù)(zhsh)(zhsh)序列：序列： 函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)式：式：)()(nuanxn 其波形其波形(b xn(b xn) )

11、如圖如圖中所示：中所示：n01)(nx12341210an01)(nx12341210a n01)(nx1234121an01)(nx1234121a第21頁/共50頁第二十二頁，共51頁。5 5、正余弦、正余弦(yxin)(yxin)序列：序列： 函數(shù)函數(shù)(hnsh)(hnsh)式：式：)2cos(sin)(nAnAnx 上式中上式中稱為數(shù)字稱為數(shù)字(shz)(shz)角角頻率，相對的，前邊頻率，相對的，前邊稱為模擬稱為模擬角頻率。角頻率。n)(nx0 1 2 3 45 6 78911011 與連續(xù)時間的正余弦信號不同，離散時間正余弦序列不一定是與連續(xù)時間的正余弦信號不同，離散時間正余弦序列

12、不一定是周期的。周期的。N2第22頁/共50頁第二十三頁，共51頁。 設正余弦設正余弦(yxin)(yxin)序列是由連續(xù)時間正余弦序列是由連續(xù)時間正余弦(yxin)(yxin)信信號等間隔抽樣得到的，抽樣間隔為：號等間隔抽樣得到的，抽樣間隔為：Ts Ts 。于是。于是snTttAnx|sin)()sin(snTA)sin( nAsTTTs 2n)(nx0 1 2 3 45 6 78911011At)(txsTsT2TsTAsT3sT4sT5sT6sT7sT9sT10sT11第23頁/共50頁第二十四頁，共51頁。2NTTs 當當 為整數(shù)，序列以為整數(shù)，序列以N N為周期的；為周期的；2kNT

13、Ts 當當 為有理數(shù)為有理數(shù)(N/k(N/k是既約分數(shù)），序列是既約分數(shù)），序列 依然以依然以N N為周期的；為周期的；n)(nx0 1 2 3 45 6 78911011At)(txsTsT2TsTAsT3sT4sT5sT6sT7sT9sT10sT112sTT 當當 為無理數(shù)，序列為非周期的。為無理數(shù)，序列為非周期的。第24頁/共50頁第二十五頁，共51頁。 與連續(xù)時間正余弦與連續(xù)時間正余弦(yxin)(yxin)信號類似，離散時間序列信號類似，離散時間序列的歐拉公式為：的歐拉公式為：)(21cosnjnjeen)(21sinnjnjeejnnjnenjsincosnjnenjsincos

14、與連續(xù)與連續(xù)(linx)(linx)時間信號與系統(tǒng)分析類似，正余弦序列時間信號與系統(tǒng)分析類似，正余弦序列在離散時間信號與系統(tǒng)分析時，是最常用的基本信號。在離散時間信號與系統(tǒng)分析時，是最常用的基本信號。第25頁/共50頁第二十六頁，共51頁。、離散(lsn)時間系統(tǒng)的數(shù)學模型 離散(lsn)時間系統(tǒng)( )x n( )y n 按離散時間系統(tǒng)的性能，可劃分(hu fn)為線性、非線性、時不變、時變等各種類型。本書討論線性時不變系統(tǒng)。1定義 一個離散時間系統(tǒng)，其激勵信號 是一個序列，響應 為另一序列。( )x n( )y n第26頁/共50頁第二十七頁，共51頁。2線性時不變離散時間(shjin)系統(tǒng)

15、線性系統(tǒng)1( )x n1( )y n系統(tǒng)2( )x n2( )y n系統(tǒng)1 122( )( )c x nc x n1122( )( )c y nc y n第27頁/共50頁第二十八頁，共51頁。時不變系統(tǒng)( )x n( )y n系統(tǒng)()x nN()y nN0n( )x nN0n()x nN系統(tǒng)0n( )y n0n()y nN系統(tǒng)第28頁/共50頁第二十九頁，共51頁。3離散(lsn)時間系統(tǒng)的表示方法連續(xù)(linx)：微積分方程離散：差分(ch fn)方程22( )( )( ),df td f tf tdtdt線性組合( ), (1), (2), (1), (2),x n x nx nx nx

16、 n線性組合連續(xù)：微分（積分）、乘系數(shù)、相加三種基本運算離散：延時（移位）、乘系數(shù)、相加三種基本運算連續(xù)：基本電路元件離散：基本單元：延時（移位）元件、乘法器、相加器, ,R L C第29頁/共50頁第三十頁，共51頁。( )x n( )y n1E單位(dnwi)延時( )x n( )y n( )( )x ny n相加( )y na( )ay n乘系數(shù)(xsh)( )y n( )ay na( )y n( )ay na（ ）T D1z第30頁/共50頁第三十一頁，共51頁。如圖所示離散(lsn)時間系統(tǒng)寫出描述系統(tǒng)(xtng)工作的差分方程。( )( )(1)y nx nay n( )(1)(

17、)y nay nx n常系數(shù)(xsh)線性差分方程（遞歸關系式）一階后向差分可用迭代法求解：( )x n( )y n1Ea第31頁/共50頁第三十二頁，共51頁。從 時刻(shk)考慮：0n (0)( 1)(0)yayx(1)(0)(1)yayx(2)(1)(2)yayx( )x n( )y na1E(1)y n(1)( )( )y nx nay n1( ) (1)( )y ny nx na一階前向差分(ch fn) 可以看出，以上兩個(lin )系統(tǒng)并沒有本質的差別，僅輸出信號后者較前者延時一位。第32頁/共50頁第三十三頁，共51頁。 階線性常系數(shù)差分(ch fn)方程一般形式N01( )

18、(1)()Na y na y na y nN01( )(1)()Mb x nb x nb x nM階數(shù)：未知序列(xli)變量序號的最高值與最低值之差線性： 及 都只有一次冪且不存在(cnzi) 它們的相乘項。00()()NMkmkma y nkb x nm()y nk()x nm常系數(shù)：指 ， 是常數(shù)，決定系統(tǒng)的特征。 kamb第33頁/共50頁第三十四頁，共51頁。01( )(1)()Na y na y na y nN01( )(1)()Mb x nb x nb x nM 后向形式的差分方程（數(shù)字濾波器描述中常用）：各未知序列(xli)之序號自 以遞減方式給出。 前向形式的差分方程(fng

19、chng)（狀態(tài)變量分析法中常用） ：各未知序列之序號自 以遞增方式給出。nn01( )(1)()Na y na y na y nN01( )(1)()Mb x nb x nb x nM第34頁/共50頁第三十五頁，共51頁。設系統(tǒng)設系統(tǒng)(xtng)方程為：方程為：引入變量引入變量q(n)，以上方程，以上方程(fngchng)可表示為：可表示為：)()2() 1()(21nxnqanqanq) 1()()(10nqbnqbny) 1()()2() 1()(1021nxbnxbnyanyanyD2a1a)(nx)2( nq)(nqD0b1b)(ny 在以后在以后(yhu)的學習中，還會遇到許多系

20、統(tǒng)的描述方的學習中，還會遇到許多系統(tǒng)的描述方法。法。第35頁/共50頁第三十六頁，共51頁。4. 微分方程 差分(ch fn)方程 微分方程與差分(ch fn)方程在形式上有相似之處。( )( )( )dy tAy tx tdt(1)( )( )y nay nx n在一定的條件(tiojin)下，可以相互轉化。 對連續(xù)時間函數(shù) ，在 各點取樣，且令時間間隔足夠小，則( )y ttnT(1)()( )ynTy nTdy tdtT因此微分方程可寫為：第36頁/共50頁第三十七頁，共51頁。(1)( )( )( )y ny nAy nx nT(1)(1) ( )( )y nAT y nTx n例：如

21、圖所示低通濾波網(wǎng)絡(wnglu)( )x tRC( )y t( )( )( )dy tRCy tx tdt對激勵信號(xnho) 抽樣得 （ 足夠?。? )x t()x nT( )x nT簡寫(jinxi)為 ，系統(tǒng)數(shù)學模型可近似為第37頁/共50頁第三十八頁，共51頁。整理(zhngl)得(1)1( )( )TTy ny nx nRCRC( )x tRC( )y t( )x t( )x n( )y t( )y n (1)( )( )( )RCy ny ny nx nT第38頁/共50頁第三十九頁，共51頁。例：如圖所示電阻梯形網(wǎng)絡，各支路電阻都為 ，每個節(jié)點對地的電壓為 。且已知兩邊界(bi

22、nji)節(jié)點電壓為 ， 。試寫出求第 個節(jié)點電壓 的差分方程。R( ),0,1,2,v n nN(0)vE()0v N n( )v nERRRRRRRRRRRR(0)v(1)v(2)v(3)v(4)v(1)v N ()v N解：對任意節(jié)點(ji din) ，運用 可寫出1nKCL第39頁/共50頁第四十頁，共51頁。( )3 (1)(2)0v nv nv n二階后向差分(ch fn)方程借助(jizh)邊界條件，可求得 。( )v n(2)(1)(1)(1)( )v nv nv nv nv nRRRRRR(2)v n(1)v n( )v n第40頁/共50頁第四十一頁，共51頁。: z經(jīng)典法：

23、齊次解特解時域分析零輸入響應零狀態(tài)響應變換域分析變換法、常系數(shù)線性差分方程(fngchng)的求解第41頁/共50頁第四十二頁，共51頁。f(k)= f(k+1)- f(k)一階前向差分：f(k)= f(k) - f(k -1)一階后向差分：2= = =-f(k)f(k) - f(k -1)f(k) -f(k -1)f(k) -2f(k 1)+ f(k 2)二階差分：n-10mm-10 y(k)+ay(k -1)+a y(k -n) =b f(k)+bf(k -1) + b y(k -m)差分運算具有線性性質：第42頁/共50頁第四十三頁，共51頁。此方法我們稱之為此方法我們稱之為迭代法迭代法

24、。2 u( )kk( )3 ( -1)2 ( -2)( )y ky ky kf k( )y k(0)0, (1)2,yy( )f k 對于k=2k=2,將已知初始值y(0)=0,y(1)=2y(0)=0,y(1)=2代入上式,得:( )-3 ( -1)-2 ( -2) ( )y ky ky kf k(2) - 3 (1) - 2 (0) (2) - 2yyyf類似的,依次迭代可得(3)3 (2)2 (1)(3)10(4)3 (3)2 (2)(4)10yyyfyyyf 解解: :將差分方程中除 以外的各項都移到等號右端.得 : :( )y k第43頁/共50頁第四十四頁，共51頁。 二、二、 常

25、系數(shù)線性差分常系數(shù)線性差分(ch fn)方程的經(jīng)典解法方程的經(jīng)典解法 差分方程差分方程(fngchng)的經(jīng)典解法與微分方程的經(jīng)典解法與微分方程(fngchng)的解法相似，是根據(jù)系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)在的解法相似，是根據(jù)系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)在n0時刻的一組邊界條件時刻的一組邊界條件-初始條件，將系統(tǒng)的輸出分解為初始條件，將系統(tǒng)的輸出分解為自由響應與受迫響應求解的：自由響應與受迫響應求解的：)()()(nynynyph例如例如(lr)：設有系統(tǒng)方程：設有系統(tǒng)方程：)()2(61) 1(65)(nxnynyny 且已知且已知)()41()(nunxn1) 1 ()0( yy 試求試求n0時的系統(tǒng)響應時的系

26、統(tǒng)響應y(n)。第44頁/共50頁第四十五頁，共51頁。解：解： 求一個方程求一個方程(fngchng)的齊次通解。的齊次通解。 解差分方程解差分方程(fngchng)對應的特征方程對應的特征方程(fngchng)：061652 得到方程得到方程(fngchng)的特征根：的特征根：211312 所以設系統(tǒng)的齊次通解為：所以設系統(tǒng)的齊次通解為：nnhAAny)31()21()(21 求方程對應自由項的特解，即受迫響應。求方程對應自由項的特解，即受迫響應。 方程的自由項當方程的自由項當n0時時nnx)41()( 于是令于是令n0時特解時特解npBny)41()(第45頁/共50頁第四十六頁，共51頁。 將其代入方程將其代入方程(fngchng)左邊，并使方程左邊，并使方程(fngchng)平衡平衡nnnnBBB)41()41(61)41(65)41(21 即即nnB)41()41)(6166201 (1)6166201 (B3B 所以所以(suy)npny)41(3)( 求齊次通解求齊次通解(tngji)中的待定系數(shù)，確定自由響應。中的待定系數(shù)，確定自由響應。)()()(nynynyphnnnAA)41(3)31()21(21第46頁/共50頁第四十七頁，共51頁。 由初始條件由初始條件1) 1 () 0 (yy 有有31)0