第十一講表面阻抗邊界條件

1、表面阻抗邊界條件和近-遠(yuǎn)場(chǎng)變換第 9 講褚慶昕第 9 講 表面阻抗邊界條件和近 -遠(yuǎn)場(chǎng)變換9.1表面阻抗邊界條件早在 40 年代，表面阻抗邊界條件 （ SIBC ）就已被應(yīng)用于電磁波相互作用問題。在 FDTD 模擬中， SIBC可以用于計(jì)算有耗介質(zhì)或?qū)щ娊Y(jié)構(gòu)外部的場(chǎng)，而不需要模擬結(jié)構(gòu)內(nèi)部。本講介紹模擬SIBC 的 FDTD 方法。法表面阻抗本質(zhì)上是頻域概念，在自由空間和導(dǎo)電媒質(zhì)的交界面上，切向電場(chǎng)與表面電流滿足:EtanrZ s r ,J s rZ s r ,?H r(9-1)n r式中，Z s r ,為復(fù)值表面阻抗，?是表面的單位法向矢量。n變換到時(shí)域Et a nr ,tZs r ,tJ s

2、 r , tZ s r ,tn rH r ,t(9-2)?考慮在自由空間中(媒質(zhì)1)時(shí)諧平面波以關(guān)于有耗半空間(媒質(zhì) 2)邊界外法向成角度的方向傳播。有耗媒質(zhì)具有本構(gòu)關(guān)系22r0 ，0 ，20 ，損耗角正切p2221 。假設(shè)兩介質(zhì)的相對(duì)折射率足夠大，即2rj2sin 2(9-3)0這時(shí)對(duì)于自由空間任何入射角，在有耗介質(zhì)半空間的折射角都接近0，則表面阻抗具有簡單表達(dá)式：Z s0j02rj(9-4)002j 2上式對(duì)任何入射平面波角度都成立。根據(jù) (9-4) 的 Laplace 反演，得到適用于 (9-2)的等效表面阻抗沖擊響應(yīng)：Zs t0atat I 1 (at) Utt(9-5)ae I 02

3、 r9-1表面阻抗邊界條件和近-遠(yuǎn)場(chǎng)變換第 9 講褚慶昕式中 a2, I 0 和 I 1 分別是第一類0 階和一階修正Bassel 函數(shù)。 U t 是 Heaviside 單位階躍函數(shù)，t2 2是 Dirac 單位沖擊函數(shù)。將 (9-5) 代入 (9-2) ，得taEtan t0H tan taeI 0 aI 1aH tan td(9-6)2 r0設(shè) H tant 在時(shí)間上是分段線性的，離散上式中的積分，n0nn 1n mEtanH tanF m H tan(9-7)2rm 0m 1式中，F(xiàn) m1m ate a tI 0at I 1 a td0m0m 1m0顯然， (9-7) 的卷積的數(shù)值估計(jì)

4、涉及一個(gè)非常大的計(jì)算機(jī)負(fù)擔(dān)，因?yàn)榻唤缟纤悬c(diǎn)在所有時(shí)間值都必須存在計(jì)算機(jī)中，而且在每一時(shí)間步都要進(jìn)行處理。為此，采用Prony 方法，將F m 展開為指數(shù)和形式。QF m C1eA1 mC2eA2 mA mCk ukm(9-8)CQ e Qk1式中， ukeAk ， Ck 和 uk 通過在最小二乘意義上誤差最小來確定。將 (9-8) 代入 (9-7) ，得n 1n mn1QmnmCk ukF m H t a nH t a nm 0m0k1(9-9)Qn1n mQmCk ukH t a nGk nk1m0k 1可以證明， Gk n 滿足遞推關(guān)系G k nC k H tannk G k n 1 ,

5、 k 1,2 , Q(9-10)9-2表面阻抗邊界條件和近-遠(yuǎn)場(chǎng)變換第 9 講褚慶昕所以， (9-6)簡化為n0nEtanH tanGk n(9-11)2rk 1上式是非常有效的，在每一邊界點(diǎn)上所需的計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)只是Q 步求和 Gk 。而且每一時(shí)間步求和只需進(jìn)行兩次乘法運(yùn)算。另外，計(jì)算時(shí)域阻抗函數(shù)(9-5)及其指數(shù)級(jí)數(shù)近似(9-8) 所需的時(shí)間與FDTD 本身的負(fù)擔(dān)相比可以忽略。在 FDTD 網(wǎng)格中執(zhí)行這種SIBC 的困難是，需要知道在結(jié)構(gòu)邊界上與電場(chǎng)Etan 相同時(shí) -空點(diǎn)上的 H tan 。這與 Yee 網(wǎng)格中電場(chǎng)磁場(chǎng)分量相互分離是沖突的。通常，在邊界上所需的H tan 可由離邊界2 遠(yuǎn)、時(shí)

6、間提前t 2 的平行 H 分量近似。法考慮自由空間和有耗介質(zhì)半空間的平面交界面位于z0 處 ,單色場(chǎng)有復(fù)分量H y , Ex , H z 沿交界面在點(diǎn) x 處， (9-1)為Exx,0Zs x,0, H y x,0(9-12)式中，表面阻抗 Z s x,0,通過嚴(yán)格求解電磁場(chǎng)邊值問題而得。如果有耗介質(zhì)是良導(dǎo)體，Leontovich （里奧托維奇）阻抗邊界條件提供了(9-12) 一階近似Ex x,0 ZsH y x,0(9-13)式中 ,j21 j2Z s2(9-14)22由 (9-13),(9-14) 得Ex x,0RsjLsH y x,0(9-15)式中， Rs2， Ls2。2222假設(shè) R

7、s ， Ls 在下面的處理中保持常數(shù)，即Ex x,0 Rs j Ls H y x,0(9-16)9-3表面阻抗邊界條件和近-遠(yuǎn)場(chǎng)變換第 9 講褚慶昕由 Laplace 反演，得時(shí)域條件Ex x,0,tRs H yx,0, t Ls H y x,0, t(9-17)t上式需要在相同空-時(shí)點(diǎn) x,0,t的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。處理中，用H y x,z 2,t 近似，于是 ,nnnH yEx i ,0Rs H y i , 1 2L s(9-18)t i , 1 2考慮 Faraday 定理及圍線積分，有nnnnn0x y H yi, 1 2Ez i 1 , 1Ez i 1 , 1zEx i , 1Ex i ,

8、0xt2 22 2(9-19)將 (9-18) 代入 (9-19)，得nnnn0x y H yi , 1 2Ez11Ez11z Ex i , 1 xti,i,2222nnRs H y i,1LstH yi ,1x22于是，利用導(dǎo)數(shù)的差分近似及時(shí)間平均算法，最后得10zLsRst 2122nnH y i, 1 20zLsRsH yi , 1 2t 2(9-20)tznnn0 zL sRsEz i 1 , 1Ez i 1 , 1xEx i 1t 22 22 29-4表面阻抗邊界條件和近-遠(yuǎn)場(chǎng)變換第 9 講褚慶昕9.2近遠(yuǎn)場(chǎng)變換在計(jì)算天線輻射特性和雷達(dá)雙站散射截面時(shí)，常要用到遠(yuǎn)區(qū)電磁場(chǎng)分布。而FDT

9、D 限于計(jì)算機(jī)容量和計(jì)算時(shí)間，只可能計(jì)算近區(qū)場(chǎng)分布。為此需要利用近一遠(yuǎn)場(chǎng)變換從近場(chǎng)求出遠(yuǎn)場(chǎng)?；竟绞紫仍?FDTD 計(jì)算域中（包括了所有結(jié)構(gòu)）建立一虛擬立方體。設(shè)在該立方體表面上用FDTD 計(jì)算得到的場(chǎng)為 E1,H1 。根據(jù)等效原理，當(dāng)立方體區(qū)域中為零場(chǎng)時(shí)立方體外的場(chǎng)是表面上的等效電磁流J s?n H 1M s?n E1產(chǎn)生的。利用輔助位函數(shù)法，在頻域位函數(shù)A0Jse jkRds0e jkrRN4s4 rF0M se jkRds0 e jkrRL4s4 r式中， s 為立方體表面積。R r 2r22r r cos1rr cos指數(shù)上2分母上rNJs e jkr cos ds ， JM se

10、jkr cos dsss電磁場(chǎng)為Ej1A1A2Fk0HjF1F12Ak0(9-21)(9-22)(9-23)9-5表面阻抗邊界條件和近-遠(yuǎn)場(chǎng)變換第 9 講褚慶昕在遠(yuǎn)區(qū)，球坐標(biāo)系下各場(chǎng)分量為Er0（ 9-24a）EjA0 Fjkejkr0 N(9-24b)4LrEjA0 Fjkejkr0 N(9-24c)4rLH r0(9-24d)HjA0 FjkejkrL0(9-24e)4rN00HjAjke jkrL0(9-24f)0FN04 r0式中， 00 ，在直角坐標(biāo)系中0N?jkr cosdsxJxyJ yzJz esL?ejkr cosdsxM xyM yzM zs變換到球坐標(biāo)中NJ x cos

11、cosJ y coscosJ z sine jkr cos ds（ 9-25a）sNJx sinJ y cosejk r cos ds(9-25b)sLM x cos cosM y cossinM z sin e jkr cos ds(9-25c)sLM x sinM y cose jkr cosds(9-25d)s進(jìn)一步令jke jkrjejkr(9-26a)WNN4 r20 r9-6表面阻抗邊界條件和近-遠(yuǎn)場(chǎng)變換第 9 講褚慶昕jkejkrjejkr(9-26b)UrLL420r則遠(yuǎn)區(qū)的電磁場(chǎng)分量為E0WU（ 9-27a）E0WU（ 9-27b ）HW1 U（ 9-27c）0HW1 U（

12、9-27d ）0于是只要求得 W ,U 便可得 E, H 。利用 Fourier 反變換，將 W,U 變換到時(shí)域1r?r r（ 9-28a）W r , tJs tds4 rc t scU r , t1M s t?（ 9-28b ）r r rds4rc t sc僅考慮電場(chǎng)，則Er ,t0Wr ,tUr ,tEr ,t0Wr ,tUr ,t（ 9-29a）（ 9-29b ）?r cos在 (9-28) 中， Js , M s 中的時(shí)間延遲r r r r實(shí)際上就是從原點(diǎn)到觀察點(diǎn)的場(chǎng)時(shí)延。dccFDTD實(shí)現(xiàn)下面討論 (9-28)的 FDTD 實(shí)現(xiàn)。為了演示這一過程，以下面的簡單例子進(jìn)行。考 慮y y0的s面(立方體中的一面)，在矩形片x z ( 位 于rx x y0 y z z?處)的磁流,?M z z? y? Ex x?Ex z?9-7表面阻抗邊界條件和近-遠(yuǎn)場(chǎng)變換第 9 講褚慶昕由 (9-28b)?1?U ( r , t)r r r?U zzM z (tc) z x z (9-30)4rc t設(shè)時(shí)延量df t， fdr rcos，采用二階中心差分式，得tctn 12 fxzn1n(9-31)U z r4rcExrEx rt于是，整個(gè) s 面產(chǎn)生的 U z 為n 12xzn 1nfU z