2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題沖刺提升專題11實際問題中的方程(組)與函數(shù)題型

1、1 專題 11 實際問題中的方程（組）與函數(shù)題型【例 1】 （2019鄭州外國語測試）俄羅斯世界杯足球賽期間，某商店銷售一批足球紀念冊，每本進價40 元，規(guī)定銷售單價不低于44 元，且獲利不高于30% ，在試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為44 元時，每天可售出300 本，銷售單價每上漲1 元，每天銷售量減少10 本，現(xiàn)商店決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y本，銷售單價為x元. （1）請直接寫出y與x直接的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；（2）當每本足球紀念冊的銷售單價是多少元時，商店每天獲利2400 元？（3）當每本足球紀念冊的銷售單價是多少元時，商店每天的利潤w最大？最大利潤是多少元？【答案】見解析.

2、【解析】解： （1）y=30010(x44) ，整理得：y= 10 x+740， （44x52） ；（2）由題意得： （x 40） （ 10 x+740）=2400，解得：x=50，x=64（舍），即當每本足球紀念冊的銷售單價是50 元時，商店每天獲利2400 元. （3）由題意得：w=（x40） （ 10 x+740）2 =10（x57）2+2890 100，對稱軸為x=57，當x57 時，w隨x增大而增大，44x52，當x=52 時，w取最大值，最大為2640 元，即當每本足球紀念冊的銷售單價是52 元時，商店每天的利潤最大，最大利潤是2640 元. 【例 2】 （2018河師大附中模擬）

3、某養(yǎng)殖專業(yè)戶計劃購買甲、乙兩種牲畜，已知乙種牲畜的單價是甲種牲畜單價的2 倍多 200 元，買 3 頭甲種牲畜和1 頭乙種牲畜共需5700 元. （1）甲、乙兩種牲畜的單價各是多少元？（2）相關(guān)資料表明：甲、乙兩種牲畜的成活率分別為95% 和 99% ，若購買以上兩種牲畜共50 頭，并使這 50 頭的成活率不低于97% ，且要使購買的總費用最低，應(yīng)如何購買？【答案】見解析. 【解析】解： （1）設(shè)甲種牲畜的單價為x元，由題意得：3x+2x+3000=7500，解得：x=1100，21100+200=2400 ，即甲種牲畜的單價為1100 元，乙種牲畜的單價為2400 元. （2）設(shè)購買甲種牲畜

4、m頭時，總購買費用為w元，則w=1100m+2400（50m）=1300m+120000，由題意知： 95%m+99% （50m）97% 50，解得：m25，即 0m25， 13000，w隨m的增大而減小，當m=25 時，w取最小值，即費用最低，購買兩種牛各25 頭時，費用最低. 【變式2-1 】 （2019三門峽二模）水果店王阿姨到水果批發(fā)市場打算購進一種水果銷售，經(jīng)過還價，實際價格每千克比原來少2 元，發(fā)現(xiàn)原來買這種水果80 千克的錢，現(xiàn)在可買88 千克3 （1）現(xiàn)在實際購進這種水果每千克多少元？（2）王阿姨準備購進這種水果銷售，若這種水果的銷售量y（千克）與銷售單價x（元 / 千克）滿足

5、如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；請你幫王阿姨拿個主意，將這種水果的銷售單價定為多少時，能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（利潤銷售收入進貨金額）【答案】見解析【解析】解： （1）設(shè)現(xiàn)在實際購進這種水果價格為每千克a元，則原來價格為每千克（a+2）元，由題意，得： 80（a+2） 88a，解得：a20即現(xiàn)在實際購進這種水果每千克20 元；（2）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：ykx+b，將（ 25，165） ， （35， 55）代入ykx+b得，251653555kbkb，解得：11440kb，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y 11x+440；設(shè)這種水果的銷售價格為x元/ 千克時，利潤為

6、w元，則w（x20）y（x20） （ 11x+440） 11（x30）2+1100， 110，4 當x30 時，w有最大值，最大值為1100即這種水果的銷售單價定為30 元時，能獲得最大利潤，最大利潤是1100 元【例 3】 （2018洛陽三模）在江蘇衛(wèi)視最強大腦節(jié)目中，搭載百度大腦的機器人小度以3:1 的總成績，斬獲 2017 年度腦王巔峰對決的晉級資格，人工智能時代已經(jīng)撲面而來某商場第一次用11000 元購進某款拼裝機器人進行銷售，很快銷售一空，商家又用24000 元第二次購進同款機器人，所購進數(shù)量是第一次的2 倍，但單價貴了10 元（1）求該商家第一次購進機器人多少個？（2）若所有機器人

7、都按相同的標價銷售，要求全部銷售完畢的利潤率不低于20% （不考慮其它因素） ，那么每個機器人的標價至少是多少元？【答案】見解析. 【解析】解： （1）設(shè)該商家第一次購進機器人x個，由題意得：1100024000102xx，解得：x=100經(jīng)檢驗，x=100 是所列方程的解，且符合題意答：該商家第一次購進機器人100 個（2）設(shè)每個機器人的標價是a元由題意得：a110002400020% ，解得：a140答：每個機器人的標價至少是140 元【變式3-1 】 （2019周口二模）由于技術(shù)更新，智能電視的功能越來越強大，價格也逐漸下降，某電器商行經(jīng)營的a款 40 英寸智能電視去年銷售總額為5 萬元

8、，今年每臺銷售價比去年降低400 元，若賣出的數(shù)量相同，銷售總額將比去年減少20% （1）今年a款 40 英寸智能電視每臺售價多少元？（用列方程的方法解答）5 （2）該電器商行計劃新進一批a款 40 英寸智能電視和新款b款 40 英寸智能電視共60 臺，且b款 40英寸智能電視的進貨數(shù)量不超過a款 40 英寸智能電視數(shù)量的兩倍，應(yīng)如何進貨才能使這批智能電視獲利最多？a，b兩款 40 英寸智能電視的進貨和銷售價格如下表：a款 40 英寸智能電視b款 40 英寸智能電視進貨價格（元）1 100 1 400 銷售價格（元）今年的銷售價格2 000 【答案】見解析. 【解析】解：設(shè)今年a款 40 英寸

9、智能電視每臺售價為x元，則去年每臺售價為（x+400）元，由題意得：50000120%50000400 xx，解得：x=1600，經(jīng)檢驗，x=1600 是原方程的解，符合題意，今年a款 40 英寸智能電視每臺售價為1600 元. （2）設(shè)購進a款電視a臺，則購進b款（ 60a）臺，此時獲利y元，y=（1600-1100 ）a+（ 2000-1400 ） （60-a）=-100a+36000，其中： 60-a 2a，0a60，即 20a60，且a為整數(shù)；-1000，w隨m的增大而增大，當m=50 時，運費最少，最少為450 元，當購買a種產(chǎn)品 50 個，b種產(chǎn)品 50 個時，總運費最少，最少為4

10、50 元 . 1. （2019濟源一模）為支持國家南水北調(diào)工程建設(shè)，小王家由原來養(yǎng)殖戶變?yōu)榉N植戶，經(jīng)市場調(diào)查得知，種植草莓不超過 20 畝時，所得利潤y（元）與種植面積m（畝）滿足關(guān)系式y(tǒng)=1 500 m；超過20畝時，y=1380m+2400而當種植櫻桃的面積不超過 15 畝時，每畝可獲得利潤 1800 元；超過 15 畝時，每畝獲得利潤z（元）與種植面積x（畝）之間的函數(shù)關(guān)系式為z=20 x+2 100 （1）設(shè)小王家種植x畝櫻桃所獲得的利潤為p元，直接寫出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）如果小王家計劃承包40 畝荒山種植草莓和櫻桃，當種植櫻桃面積（x畝）滿足0 x20

11、 時，求小王家總共獲得的利潤w（元）的最大值【答案】見解析. 【解析】解： （1）由題意得：2180001520210015xxpxxx（2）種植櫻桃面積x畝，則種植草莓面積（40 x）畝，由題意知，當 00，w隨x的增大而增大，當x=15 時，w最大，最大值為63900，當 15x20 時，w=20 x2+2100 x+1380(40 x)+2400 =20（x18）2+64080， 2063900 ，當x=18 時，小王家總共獲得的利潤w取最大值，最大值為64080 元. 2. （2019洛陽二模）某游樂園的門票銷售分兩類：一類個人門票，分為成人票，兒童票；一類為團體門票（一次購買門票 1

12、0 張及以上），每張門票在成人票價格基礎(chǔ)上打 6 折已知一個成人帶兩個兒童購門票需 80 元；兩個成人帶一個兒童購門票需 100 元（1）每張成人票和兒童票的價格分別是多少元？（2）光明小學(xué) 4 名老師帶領(lǐng)x名兒童到該游樂園，設(shè)購買門票需y元若每人分別購票，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；若購買團體票，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；請根據(jù)兒童人數(shù)變化設(shè)計一種比較省錢的購票方案【答案】見解析. 【解析】解：設(shè)成人票每張a元，兒童票每張b元，由題意得：a+2b=80， 2a+b=100，解得：a=40，b=20，即成人票每張40 元，兒童票每張20 元；（2）y=440+20 x=

13、160+20 xy=400.6 （x+4）=24x+96，由x+410，得x6，且x為整數(shù) . （i）當 160+20 x24x+96, 即x16，當 6x16 且x為整數(shù)時，應(yīng)全部購買團體票較為優(yōu)惠；9 （ii）當 160+20 x=24x+96, 即x=16，當x=16 時，購買團體票或分別購買均可以；（iii）當 160+20 x16，當x16 且x為整數(shù)時，應(yīng)分別購買較為優(yōu)惠. 3.（2019洛陽三模） 近幾年，全社會對空氣污染問題越來越重視，空氣凈化器的銷量也在逐年增加，某商場從廠家購進了a，b兩種型號的空氣凈化器，兩種凈化器的銷售相關(guān)信息見下表：a型銷售數(shù)量（臺）b型銷售數(shù)量（臺）

14、總利潤（元）5 3 950 3 4 900 （1）每臺a型空氣凈化器和b型空氣凈化器的銷售利潤分別是多少？（2）該公司計劃一次購進兩種型號的空氣凈化器共 80 臺，其中b型空氣凈化器的進貨量不多于a型空氣凈化器的 2 倍，為使該公司銷售完這 80 臺空氣凈化器后的總利潤最大，請你設(shè)計相應(yīng)的進貨方案；（3）已知a型空氣凈化器的凈化能力為 200 m3/ 小時，b型空氣凈化器的凈化能力為 300 m3/ 小時，某長方體室內(nèi)活動場地的總面積為 200 m2，室內(nèi)墻高 3 m，該場地負責(zé)人計劃購買 5 臺空氣凈化器每天花費 30 分鐘將室內(nèi)空氣凈化一新，若不考慮空氣對流等因素，至多要購買a型空氣凈化器

15、多少臺？【答案】見解析. 【解析】解：(1) 設(shè)每臺a型空氣凈化器和b型空氣凈化器的銷售利潤分別是x元，y元，由題意得：5395034900 xyxy，解得：x=100，y=150，每臺a型空氣凈化器和b型空氣凈化器的銷售利潤分別是100 元， 150 元. （2）設(shè)購買a型m臺，則購進b型（ 80 x）臺，利此時潤為w元，由題意知： 80m2m，0m80，m為整數(shù)可得：803m80，m為整數(shù)，w=100m+150（ 80m）= 50m+12000， 5035 時，購買b品牌的計算器更合算6. （2018信陽一模）某班為參加學(xué)校的大課間活動比賽，準備購進一批跳繩，已知2 根a型跳繩和1根b型跳

16、繩共需56 元， 1 根a型跳繩和 2 根b型跳繩共需82 元（1）求一根a型跳繩和一根b型跳繩的售價各是多少元？（2）學(xué)校準備購進這兩種型號的跳繩共50 根，并且a型跳繩的數(shù)量不多于b型跳繩數(shù)量的3 倍，請設(shè)計書最省錢的購買方案，并說明理由【答案】見解析13 【解析】解： （1）設(shè)一根a型跳繩售價是x元，一根b型跳繩的售價是y元，根據(jù)題意，得：2x+y=56，x+2y=82，解得：x=10，y=36，即一根a型跳繩售價是10 元，一根b型跳繩的售價是36 元；（2）由m3（50m） ，得：m37.5 ，0m37，且m為整數(shù)，設(shè)購進a型跳繩m根，總費用為w元，根據(jù)題意，得：w=10m+36（5

17、0m）= 26m+1800， 260，w隨m的增大而減小，當m=37 時，w最小=838，即當購買a型跳繩 37 根，b型跳繩 13 根時，最省錢7. （2019南陽畢業(yè)測試）為響應(yīng)市政府“創(chuàng)建國家森林城市”的號召，某小區(qū)計劃購進a、b兩種樹苗共 17 棵，已知a種樹苗每棵80 元，b種樹苗每棵60 元（1）若購進a、b兩種樹苗剛好用去1220 元，問購進a、b兩種樹苗各多少棵？（2）若購進a種樹苗a棵，所需費用為w，求w與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）若購買b種樹苗的數(shù)量少于a種樹苗的數(shù)量，請你給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需費用【答案】見解析. 【解析】解： （1）設(shè)購進a種樹苗x棵，則購

18、進b種樹苗（ 17x）棵，由題意得： 80 x+60（17x） 1220，解得：x10，即購進a種樹苗 10 棵，b種樹苗 7 棵；（2）w與a的函數(shù)關(guān)系式：w80a+60（17a）20a+1020；（3）由題意得： 17a8.5 ，8.5a17，且a為整數(shù)，14 由（ 2）知，w20a+1020，w隨a的增大而增大，a=9 時，即購買9 棵a種樹苗， 8 棵b種樹苗時，費用最少，w809+6081200，即購買 9 棵a種樹苗， 8 棵b種樹苗時，費用最少，需要1200 元8. （2019開封二模）孝感市在創(chuàng)建國家級園林城市中，綠化檔次不斷提升某校計劃購進a，b兩種樹木共 100 棵進行校園

19、綠化升級，經(jīng)市場調(diào)查：購買a種樹木 2 棵，b種樹木 5 棵，共需 600 元；購買a種樹木 3 棵，b種樹木 1 棵，共需 380 元（1）求a種，b種樹木每棵各多少元？（2）因布局需要，購買a種樹木的數(shù)量不少于b種樹木數(shù)量的3 倍學(xué)校與中標公司簽訂的合同中規(guī)定：在市場價格不變的情況下（不考慮其他因素），實際付款總金額按市場價九折優(yōu)惠，請設(shè)計一種購買樹木的方案，使實際所花費用最省，并求出最省的費用【答案】見解析【解析】解： （1）設(shè)a種樹每棵x元，b種樹每棵y元，依題意得：256003380 xyxy，解得：10080 xy，答：a種樹每棵100 元，b種樹每棵80 元；（2）設(shè)購買a種樹木

20、為a棵，則購買b種樹木為（ 100a）棵，有a3（100a） ，解得：a75設(shè)實際花費金額是y元，則：y0.9100a+80（100a） 18a+7200180，y隨a的增大而增大，當a75 時，y取最小值，即當a75 時，y最小值 1875+72008550（元） 15 答：當購買a種樹木 75 棵，b種樹木 25 棵時，所需費用最少，最少為8550 元9. （2019安陽一模）某校計劃購進甲、乙兩種規(guī)格的書架，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)有線上和線下兩種購買方式，具體情況如下表：規(guī)格線下線上單價（元 / 個）運費（元 / 個）單價（元 / 個）運費（元 / 個）甲240 0 210 20 乙300 0

21、250 30 （1）如果在線下購買甲、乙兩種書架共30 個，花費8 280 元，求甲、乙兩種書架各購買了多少個？（2）如果在線上購買甲、乙兩種書架共30 個，且購買乙種書架的數(shù)量不少于甲種書架的3 倍，請求出花費最少的購買方案及花費【答案】見解析. 【解析】解： （1）設(shè)線下購買甲種書架x個，乙種書架y個，由題意得：302403008280 xyxy，解得：1218xy，即線下購買甲種書架12 個，乙種書架18 個. （2）設(shè)購買甲種書架a個，則購買乙種書架（30a）個，總花費為w元，30a3a，即a7.5 （其中a為正整數(shù)），w=（210+20）a+（250+30） （30a）=-50a+8

22、400，-500 ，w隨a的增大而減小，當a=7 時，w最小，最小值為8050 元，即當購買7 個甲種書架，23 個乙種書架時，總費用最低，最低為8050 元. 10. （ 2019省實驗一模）某超市銷售一種商品，成本每千克40 元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80 元，經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y（千克）與每千克售價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：售價x（元 / 千克）50 60 70 16 銷售量y（千克）100 80 60 （1）求y與x之間的函數(shù)表達式；（2）設(shè)商品每天的總利潤為w（元） ，求w與x之間的函數(shù)表達式（利潤收入成本）；（3）試說明（ 2）中總利潤w隨售價x的

23、變化而變化的情況，并指出售價為多少元時獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】見解析【解析】解： （1）設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為ykx+b，由題意得：501006080kbkb，解得：2200kb，y與x之間的函數(shù)表達式是：y 2x+200；（2）由題意得，w（x40） （ 2x+200） 2（x 70）2+1800，（3）w 2（x70）2+1800， 40 x 80， 20，當 40 x70 時，w隨x的增大而增大，當70 x 80 時，w隨x的增大而減小，且當x70 時，w取得最大值，此時w1800. 11. （ 2019葉縣一模）小王是“新星廠”的一名工人，請你閱讀下列信息：信息一：工

24、人工作時間：每天上午8：0012：00，下午 14：0018：00，每月工作25 天；信息二：小王生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)與所用時間的關(guān)系見下表：生產(chǎn)甲產(chǎn)品數(shù)（件）生產(chǎn)乙產(chǎn)品數(shù)（件）所用時間（分鐘）10 10 350 30 20 850 信息三：按件計酬，每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品得1.50 元，每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品得2.80 元信息四：該廠工人每月收入由底薪和計酬工資兩部分構(gòu)成，小王每月的底薪為1900 元，請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）小王每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品分別需要多少分鐘；17 （2） 2018 年 1 月工廠要求小王生產(chǎn)甲種產(chǎn)品的件數(shù)不少于60 件，則小王該月收入最多是多少元？此時小王生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品分別是多少件？【答案】見解析【解析】解： （1）設(shè)生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品需x分鐘，生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品需y分鐘由題意得：10103503020850 xy