高考圓錐曲線解題技巧總結(共8頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第五篇 高考解析幾何萬能解題套路解析幾何把代數(shù)的演繹方法引入幾何學，用代數(shù)方法來解決幾何問題。與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應用中經常見到。第一部分：基礎知識1.概念特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F，F(xiàn)的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向； （2）在橢圓中，

2、最大，在雙曲線中，最大，。2.圓錐曲線的幾何性質：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；準線：兩條準線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；準線：兩條準線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。 （3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中的幾何

3、意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準線：一條準線； 離心率：，拋物線。3直線與圓錐曲線的位置關系：判斷的大小。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸

4、近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。4、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉化到相應準線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對應的準線的距離。5、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，分別為A、B的縱坐標，則，特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑

5、之和后，利用第二定義求解。 例 過拋物線的焦點作傾斜角為的直線與拋物線交于A、B兩點，旦|AB|=8，求傾斜角特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗！第二部分：解析幾何萬能解題套路 解析幾何把代數(shù)的演繹方法引入幾何學，用代數(shù)方法來解決幾何問題。正是在這一設想的指引下，笛卡兒創(chuàng)建了解析幾何的演繹體系。高考解析幾何剖析：1、很多高考問題都是以平面上的點、直線、曲線（如圓、橢圓、拋物線、雙曲線）這三大類幾何元素為基礎構成的圖形的問題；2、演繹規(guī)則就是代數(shù)的演繹規(guī)則，或者說就是列方程、解方程的規(guī)則。有了以上兩點認識，我們可以毫不猶豫地下這么一個

6、結論，那就是解決高考解析幾何問題無外乎做兩項工作：1、幾何問題代數(shù)化。2、用代數(shù)規(guī)則對代數(shù)化后的問題進行處理。二、高考解析幾何解題套路及各步驟操作規(guī)則步驟一：（一化）把題目中的點、直線、曲線這三大類基礎幾何元素用代數(shù)形式表示出來（“翻譯”）；口訣：見點化點、見直線化直線、見曲線化曲線。1、見點化點：“點”用平面坐標系上的坐標表示，只要是題目中提到的點都要加以坐標化；2、見直線化直線：“直線”用二元一次方程表示，只要是題目中提到的直線都要加以方程化；3、見曲線化曲線：“曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）”用二元二次方程表示，只要是題目中提到的曲線都要加以方程化；步驟二：（二代）把題目中的點與直線、

7、曲線從屬關系用代數(shù)形式表示出來；如果某個點在某條直線或曲線上，那么這個點的坐標就可代入這條直線或曲線的方程?？谠E：點代入直線、點代入曲線。1、點代入直線：如果某個點在某條直線上，將點的坐標代入這條直線的方程；2、點代入曲線：如果某個點在某條曲線上，將點的坐標代入這條曲線的方程；這樣，每代入一次就會得到一個新的方程，方程逐一列出后，這些方程都是獲得最后答案的基礎，最后就是解方程組的問題了。在方程組的求解中，有時候能夠直接求解，如果不能直接求解的，則采用下面這套等效規(guī)則來處理可以達到同樣的處理效果，并讓方程組的求解更簡單，具體過程：1、點代入這兩個點共同所在的直線：把這兩個點共同所在直線用點斜式方

8、程（如）表示出來，將這兩個點的坐標分別代入這條直線的方程；2、將這條直線的方程代入這條曲線的方程，獲得一個一元二次方程；3、把這個一元二次方程的二次項系數(shù)不等于零的條件列出來；4、把這個一元二次方程的判別式列出來；5、把這個一元二次方程的根用韋達定理來表示（這里表示出來的實際上就是這兩個點的坐標（可設而不求）之間的相互關系式）。步驟三：（三化）圖形構成特點的代數(shù)化，或者說其它附加條件的代數(shù)化。前面幾個步驟構成了解決所有問題的基礎。在解析幾何題目里，事實上就是附加了一些特殊條件的問題，如我們可以附加兩條直線垂直的條件，也可以附加一條直線與一條曲線相切的條件，等等，當然，我們不用太擔心，這些條件都

9、是與我們教材上的基本數(shù)學概念相對應的，它們分別與一個或一組固定模式的方程相對應，而且，通過少數(shù)幾條通用規(guī)則就可以把所有這些方程羅列出來。而我們要做的，就是針對這些特定條件選擇合適的通用規(guī)則來列方程。這個步驟涉及的主要通用規(guī)則：1、 兩點的距離 2、兩個點的對稱點 3、兩條直線垂直 4、兩條直線平行 5、兩條直線的夾角 6、點到直線的距離7、正余鉉定理及面積公式 8、向量規(guī)則 9、直線與曲線的位置關系把直線方程代入曲線方程，得形如的一元二次方程：當時，直線與曲線有一個交點；當時，直線與曲線相切；當時，直線與曲線有兩個交點；當時，或當時，直線與曲線無交點；這個步驟的處理關鍵是根據條件的特點選擇適當

10、的通用規(guī)則組合。步驟四：（四處理）按答案的要求解方程組，把結果轉化成答案要求的形式。一般情況步驟1、2、3 完成后，會得到一組方程，而答案就是這組方程組的解。這個步驟就是方程組的求解了，解方程組實際上就是用加減乘除四則混合運算以及乘方、開方等來消除方程的參數(shù)。不過，這里我們也給出三條消參的原則：1、把方程中的所有未知量都視為參數(shù)。比如，如果某個點的坐標為，而都是未知的，我們把它們都視為方程組的參數(shù)。2、消參的原則是，把與答案無關的參數(shù)消去，留下與答案有關的參數(shù)?；蛘哒f在解方程組的時候，用與答案有關的參數(shù)來表示與答案無關的參數(shù)。3、消參完成后，把結果表示成答案要求的形式。例題分析：2011年全國

11、卷理（21）文科（22）（本小題滿分12分）已知為坐標原點，為橢圓 在軸正半軸上的焦點，過且斜率為的直線與交與兩點，點滿足.(I)證明：點在上；(II)設點關于點的對稱點為，證明：四點在同一圓上.【命題意圖】本題考查直線方程、平面向量的坐標運算、點與曲線的位置關系、曲線交點坐標求法及四點共圓的條件?！窘馕觥?I),的方程為代入并化簡得.   2分設,則   由題意得所以點的坐標為.              

12、;                    滿足方程,故點在橢圓上 6分(II)由和題設知，的垂直平分線的方程為.           設的中點為的垂直平分線的方程為.             

13、;由、得的交點為.         9分故 又   ,所以 由此知四點在以為圓心,為半徑的圓上. 12分【點評】本題涉及到平面向量，有一定的綜合性和計算量，相對來講比較有利的方面，也就是這道題的特點是沒有任何的未知參數(shù)，我們看這道題橢圓完全給出，直線過了橢圓焦點，并且斜率也給出，平時做題斜率不給出，需要通過一定條件求出來，或者根本求不出來，這道題都給了，這個跟平時做的不太一樣，反而同學不知道怎么下手，完成有難度。這兩問出的非常巧妙，一個證明點在橢圓上的問題，還有一個四點共圓，

14、這都是平時很少涉及到的解析幾何本質的內容。讓學生掌握解析幾何的本質，其實就是用代數(shù)方法研究幾何的問題，什么是四點共圓？首先在同一個圓上，首先找到圓心，四個點找圓心不好找，最簡單的兩個點怎么找？這是平時的知識，怎么找距離相等的點，一定在中垂線，兩個中垂線交點必然是圓心，找到圓心再距離四個點距離相等，這就是簡單的計算問題，方法確定以后計算量其實比往年少。建議：多練多體會?。?009）（22）（本小題滿分12分）已知橢圓C: 的離心率為 ，過右焦點F的直線l與C相交于A、B 兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為（）求a,b的值；（）C上是否存在點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有成立？若存

15、在，求出所有的P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由。（2010文）（20）（本小題滿分12分）設,分別是橢圓E：+=1（）的左、右焦點，過的直線與E相交于A、B兩點，且，成等差數(shù)列。（）求 （）若直線的斜率為1，求b的值。（2012文）（20）（本小題滿分12分）設拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點。（I）若BFD=90°,ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程；（II）若A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值。21(2013課標全國，文21)(本小題滿分12分)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|.（2013課標全國2理）（20）(本小題滿分12分)平面直角坐標系中，過橢圓右焦點的直線交于兩點，為的中點，且的斜率