D多元函數(shù)概念簡(jiǎn)單學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D多元函數(shù)概念簡(jiǎn)單多元函數(shù)概念簡(jiǎn)單一、與區(qū)域有關(guān)的幾個(gè)概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的基本概念 第九章 第1頁(yè)/共28頁(yè)1鄰域是某一正數(shù)， 定義為 以為中心,半徑為0P的鄰域(記為0)(, )U P 000(,)P xy是 xOy 面上的一點(diǎn)，設(shè)第2頁(yè)/共28頁(yè)2區(qū)域的邊界點(diǎn)及邊界設(shè)有區(qū)域 E 及一點(diǎn) P .若點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P)內(nèi)既含屬于 E 的點(diǎn)，又含不屬于 E 的點(diǎn) , 則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn)；(2)E 的邊界點(diǎn)的全體稱為E 的邊界。注意:(1)E的邊界點(diǎn)P可以不在E內(nèi).第3頁(yè)/共28頁(yè)上任一點(diǎn)

2、都是邊界點(diǎn)xyo2xyoxyo21邊界為圓周224xy的邊界為圓周224xy及圓周的邊界為 若點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P)內(nèi)既含屬于 E 的點(diǎn)，又含不屬于 E 的點(diǎn) , 則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn)；EE 的邊界點(diǎn)的全體稱為E 的邊界。第4頁(yè)/共28頁(yè)3 開區(qū)域、閉區(qū)域 邊界在區(qū)域內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域。 邊界不在區(qū)域內(nèi)的區(qū)域稱為開區(qū)域.例如:( , )0 x yxy 開區(qū)域閉區(qū)域xyo21xyoxyo21xyo第5頁(yè)/共28頁(yè)為有界閉區(qū)域；為無界開區(qū)域xyo例如:4.有界區(qū)域、無界區(qū)域. 若平面區(qū)域 E 可包含于以原點(diǎn)為中心半徑適當(dāng)大的圓內(nèi)，則稱 E 為有界區(qū)域；否則，稱 E 為無界區(qū)域xyo21

3、第6頁(yè)/共28頁(yè)1以后區(qū)域用不等式或不等式組來簡(jiǎn)單表示.可簡(jiǎn)單地表示成機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注1例如yxo第7頁(yè)/共28頁(yè)注2 平面區(qū)域的有關(guān)概念均可推廣到空間中去.如在空間中表示開區(qū)域，邊界面為如在空間中表示閉區(qū)域，邊界面為第8頁(yè)/共28頁(yè)畫出區(qū)域解機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1yxoDyxo第9頁(yè)/共28頁(yè)二、多元函數(shù)的概念兩個(gè)自變量的函數(shù)稱為二元函數(shù)，一般記為1多元函數(shù)的概念同理，三個(gè)自變量的函數(shù)稱為三元函數(shù)，一般記為二元及二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù)。，例如第10頁(yè)/共28頁(yè)例2 設(shè)解從而求 f (x,y)令則第11頁(yè)/共28頁(yè)2. 二元函數(shù) 的圖形),(yxfz

4、 二元函數(shù) 的圖形通常是一張空間曲面，( , )zf x y例如：定義域?yàn)閳A域圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面。xzy1o第12頁(yè)/共28頁(yè)f (x,y)=3x+2yxyf (x,y)1.52.49.31.11.97.10.992.016.991.0011.9997.0011.00012.00017.0005則稱 7是當(dāng)對(duì)應(yīng)的( , )P x y時(shí)的極限當(dāng)點(diǎn)趨向于點(diǎn)第13頁(yè)/共28頁(yè)( , )P x y當(dāng)點(diǎn) 無限趨近于點(diǎn) 時(shí)，( , )f x y由于記或的值無限接近于常數(shù) A，則稱 A 是000(,)P xy( , )f x y( , )P x y當(dāng)點(diǎn) 趨向于點(diǎn) 時(shí)000(,)P xy的極限，記為一

5、般地：因此有第14頁(yè)/共28頁(yè)定義1. 設(shè)函數(shù) f (x,y)的定義域?yàn)镈，內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn) ,則稱 A 為函數(shù)P0 是D的若存在常數(shù)A ,當(dāng)都有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)任意正數(shù) ,總存時(shí)的極限，記作在正數(shù) ,第15頁(yè)/共28頁(yè)證:故總有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 要證 只要取0, ( , )-f x y A 當(dāng)0, 有第16頁(yè)/共28頁(yè)注： 若點(diǎn)( , )P x y以兩種不同方式趨于時(shí)，000(,)P xy趨于兩個(gè)不同值，或當(dāng)點(diǎn)( , )f x y( , )P x y以某種的極限不存在，方式趨于時(shí)，000(,)P xy( , )f x y則不存在。00( , )(,)lim

6、( , )x yxyf x y 第17頁(yè)/共28頁(yè)例4 證明 不存在. 證故不存在。26300limyxyxyx ( , )x y以兩種不同方式趨于，00(,)xy( , )f x y趨于不同值第18頁(yè)/共28頁(yè)定義2設(shè)二元函數(shù)z = f (x , y )的定義域?yàn)镈,0,PD 即若000(,)P xy處連續(xù).則稱二元函數(shù)z =f (x,y)在點(diǎn)000(,)P xy是D內(nèi)的點(diǎn)，說明:如果函數(shù)f (x,y) 在 D 上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù) f (x,y) 在 D上連續(xù)，或者稱 f (x,y) 是 D上的連續(xù)函數(shù)。第19頁(yè)/共28頁(yè)證：因?yàn)樗?不存在。( , )x y以兩種不同方式趨于，00

7、(,)xy( , )f x y趨于不同值例5 討論，因此， 在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù)。( , )f x y在 (0,0) 的連續(xù)性第20頁(yè)/共28頁(yè)定理一切多元初等函數(shù)都在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)注定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的開區(qū)域或閉區(qū)域。例6求解 原式 = 第21頁(yè)/共28頁(yè)例7解第22頁(yè)/共28頁(yè)4有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(了解,不記) 有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必在D上取得它的最大值和最小值 有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必在D上取得介于其最小值與最大值之間的一切值。（2）最值性（3）介值性（1）有界性有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必在D上有界第23頁(yè)/共28頁(yè)第24頁(yè)/共28頁(yè)思考題解答不能！例如：取但是， 不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx因?yàn)槿羧?若點(diǎn)沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)時(shí)，函數(shù)都趨向于A，能否斷定？第25頁(yè)/共28頁(yè)例1解 （理由：無窮小與有界函數(shù)的乘積