D25函數的微分25657學習教案

1、會計學1D25函數的微分函數的微分25657引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設薄片邊長為 x , 面積為 A , 則面積的增量為xx 0 xx 0關于x 的線性主部高階無窮小0 x時為故稱為函數在 的微分0 x當 x 在取得增量x時,0 x變到邊長由其第1頁/共27頁的微分微分,在點 的增量可表示為0 x( A 為不依賴于x 的常數)則稱函數而 稱為xA記作即定理定理: 函數)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x即在點0 x可微可微,第2頁/共27頁證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點 可微 ,0 x則故)( xoxA)(xfy 在

2、點 可導,0 x且)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且即xxfy)(d0第3頁/共27頁)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(xfy 即在點 的可導,0 x則線性主部的此項為時yxf0)(0第4頁/共27頁時 ,所以時yd很小時, 有近似公式與是等價無窮小,當故當第5頁/共27頁xxfy)(d0 xx0 xyO)(xfy 0 xyyd當 很小時,x則有從而導數也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分自變量的微分,記作記第6頁/共27頁02. 0d2

3、xxyd基本初等函數的微分公式 (見 P116表)又如又如,第7頁/共27頁設 u(x) , v(x) 均可微 , 則(C 為常數)分別可微 ,的微分為微分形式不變微分形式不變5. 復合函數的微分則復合函數第8頁/共27頁求 解解:第9頁/共27頁求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性 , 有例例3. 在下列括號中填入適當的函數使等式成立:說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內容.C注意 數學中的反問題往往出現(xiàn)多值性.注意:第10頁/共27頁數學中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如 第11頁/共27頁當很小時,使用原則使用原則:得近似等式:第12頁/共27頁很小時,常用近似公式常用近

4、似公式:很小)x(x證明證明:令得第13頁/共27頁的近似值 .解解: 設取則第14頁/共27頁的近似值 .解解:5245第15頁/共27頁為了提高球面的光潔度,解解: 已知球體體積為鍍銅體積為 V 在時體積的增量01. 01RR因此每只球需用銅約為( g )用銅多少克 . 估計一下, 每只球需要鍍上一層銅 ,厚度定為 0.01cm , 第16頁/共27頁某量的精確值為 A ,其近似值為 a ,稱為a 的絕對誤差絕對誤差稱為a 的相對誤差相對誤差若稱為測量 A 的絕對誤差限絕對誤差限稱為測量 A 的相對誤差限相對誤差限第17頁/共27頁已知測量誤差限為按公式計算 y 值時的誤差故 y 的絕對誤

5、差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得 x ,第18頁/共27頁測量D 的 絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積 ,解解:計算 A 的絕對誤差限約為 A 的相對誤差限約為試估計面積的誤差 . 計算(mm2)第19頁/共27頁1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可微可導2. 微分運算法則微分形式不變性 :( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應用近似計算估計誤差第20頁/共27頁1. 設函數)(xfy 的圖形如下, 試在圖中標出的點0 x處的及并說明其正負 .ydxx00 xxyO00yyd第21頁/共27頁第22頁/共27頁由方程確定,解解:方程兩邊求微分,得當時由上式得求6. 設 ,0a且,nab 則第23頁/共27頁P123 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1