2018年七寶中學(xué)高二年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

1、2017-2018學(xué)年上海市閔行區(qū)七寶中學(xué)高二年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12題，第1-6每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1、 P8n2C。，且 n G N *,則 n =【答案】2【解析】2C；=56, P8n =56=8X7, n= 22、若一個圓錐的底面周長為2兀，側(cè)面積也為2兀，則該圓錐的體積為 3【解析】二圓錐的底面周長為 2兀，底面圓半徑R=1,二側(cè)面積為2兀=1Cl, C為圓錐側(cè)面2的弧長 圓錐母線長1=2, 圓錐高h(yuǎn)="2 r2=J3,圓錐的體積V產(chǎn)卜=史烏3 33、在長方體 ABCD -A1B1C1D1中，若AB = BC = 1 ,

2、AA1 =&,則A到平面 ABD1的距離為6【答案】 32 1 -，6【斛析】, VA A1BD1 =VD1 AA1B = S AA1B . h , h =A1 16334、藝術(shù)節(jié)要安排5個節(jié)目進(jìn)行表演，其中A, B兩個節(jié)目必須連排， 則節(jié)目演出不同的編排方案有 種【答案】48【解析】安排五個節(jié)目表演，其中 A,B兩個節(jié)目必須連排，先把A、B兩個節(jié)目作為一個整體排序，有4種情況，而后考慮其他三個節(jié)目的排序A3 =6,最后考慮A和B的順序2種情況，則共有 4X6X2=48種5、從同一點出發(fā)的四條直線最多能確定 個平面【答案】6【解析】:四條直線可以兩兩構(gòu)成一個平面，Cj=6,最多能確定6

3、個平面6、在斜二測畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點 M,4/2 ）£直觀圖中對應(yīng)的點是 M ',則 線段OM '的長度為【答案】2 10【解析】利用斜二測畫法，標(biāo)出點M( 4 , 22 )坐標(biāo)，然后利用勾股定理求出 OM' =2J107、一個球夾在120°的二面角內(nèi)，且與二面角的兩個面都相切，兩切點在球面上的最短距離為冗，則這個球的半徑為【答案】3【解析】畫切面圖，兩個切點的角均為 90 ,二面角為120 ,由四邊形內(nèi)角和為 360 ,得到最短距離的劣弧對應(yīng)的圓心角為60 ,最短劣弧長度=-60- 2 R,得出球的半徑 R=3o3608、某微信群中5

4、人同搶4個紅包，每人最多搶一個且紅包全部被搶完，已知4個紅包有兩個2元，一個3元，一個5元(紅包中金額相同視為相同的紅包)，則有 種不同情況【答案】60【解析】首先從5人中選中4人能分得紅包，有 C； =5種選法，其次4人分配紅包有 A：=24種情況，最后考慮其中兩個紅包金額相同，所以共有5X24妥=60種情況9、三棱錐P-ABC滿足：，則該三棱錐的體積 V的取值范圍是 【解析】1 一2 一 AB AP,AB AC, AC AP=A, AB 平面 APC , V椎體=S APC ?AB=S APC 332_AP AC在 APC 中, AP AC 4, AP?AC AP AC =4,2_1S a

5、pc ?AP?AC?sin PAC 2sin PAC ,要使 APC 面積最大，只需 211 一一 4AP AC, PAC 901sApc最大值為一2 2 2, V最大值為-2 2一, 三棱233一, ，一一 4錐體積V的取值范圍是 0,- 310、如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E, F分別是AB, BC的中點，AAED、AEBF、AFCD分別沿DE , EF, FD折起，使A,B,C這三點重合于點 A',若四面體A'EFD的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積為【答案】6由題意可知 A'EF是等腰直角三角形，且 AD 平面A EF .由于 A EF可以補全為邊

6、長為1的正方形，則該四面體必能補全為長、寬、高分別為1,1,2的正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個球，易知正四棱柱的外接球的直徑為J12 12 22 ，6 ,2故要求的球的表面積 S球 4 R246 ，故球的表面積為610、已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2 的表面運動，并且總保持 PE XAC ,則動點，高為2, E是邊BC的中點，P在正四棱錐 P的軌跡周長為【答案】.2 + . 6【解析】由題意知：點P的軌跡為如圖所示的三角形1其中 G、F 為中點，EF -BD J2,GE GF 2軌跡的周長為'.2+、, 6ABC 中/C= 90 °, AC 所在1

7、1、a,b為空間中的兩條相互垂直的直線，等腰直角三角形直線與a,b都垂直，將 AABC繞直線AC旋轉(zhuǎn)時，有下列結(jié)論：當(dāng)直線AB與a成60°時，AB與b成30°當(dāng)直線AB與a成60°時，AB與b成60°直線AB與a所成 角的最小值為45°直線AB與a所成角的最小值為 60°。其中正確的是 （填寫 所有正確結(jié)論的編號）【答案】【解析】本題主要考查空間線線角的求解和空間向量的應(yīng)用。由題意得，AC BC,不妨設(shè)MBC的腰長為1,以C點為坐標(biāo)原點，過點 C且垂直于平面 ABC的直線為x軸，CB所 在直線為y軸，CA所在直線為z軸，建立空間直角坐

8、標(biāo)系如圖：各點的坐標(biāo)分別為 A 0,0,1 ,C 0,0,0 ,因為直線 a,b都垂直于AC ,不妨設(shè)直線a的方向向量為a 1,0,0，直線b的方向向量為b 0,1,0 ,因為斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，所以可設(shè)點B的坐標(biāo)為cos ,sin,0 ,則 AB cos ,sin,1 ,設(shè)直線a與直線AB的夾coscos a,AB直線 b直線 AB的夾角為a ABcoscosb ABa AB1 .2、2 ,coscos： b, ABb ABsin2。中，當(dāng)直線 AB與直線a成60°時，有cos .21 一 一， 一,所以AB與b的夾角 2的余弦值為cossin< 21 ，一,所以

9、直線b與直線AB的夾角為 260° ,故錯誤；中，由分析的直線b與直線AB的夾角為60°,故正確；中直線AB與直線a所成角的余弦值為coscos，當(dāng)cos越大時，角 就越小，而cos.2最大值為也，即cos最245 ,故正確;l垂直于平面a內(nèi)大值為三， 的最小值為45 ,即直線AB與直線a所成角的最小值為 2中，由知直線 AB與直線a所成角的最小值為 45 ,故錯誤二、選擇題（每題 5分，共20分）12、給定空間中的直線l與平面 ，則“直線l與平面 垂直”是“直線無數(shù)條直線”的（）【A】充分非必要條件【B】必要非充分條件C 充要條件【D】既不充分也不必要條件【答案】 A【解

10、析】若直線l與平面 內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，當(dāng)這無數(shù)條直線平行時，不一定能推出直線l與平面 垂直，不是必要條件。若直線 l與平面 垂直，則直線l垂直于平面 上無數(shù) 條直線，是充分條件13、一個棱柱是正四棱柱的一個充要條件是（）A 底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形【B】底面是正方形的平行六面體C 底面是正方形且兩個相鄰側(cè)面是矩形D 每個側(cè)面都是全等的矩形【答案】C【解析】上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱。故A和B錯，因為他們有可能是斜棱柱，D也錯，因為其上下底面有可能是菱形不是正方形，對于 C:底面是正方形，相鄰兩個側(cè)面是矩形，能保證上、下底面都 是正方形，且側(cè)棱垂直于底面，故

11、正確14、如果一條直線和一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個正交線面對，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有4個頂點的平面構(gòu)成的正交線面對的個數(shù)是（）【A】48【B】18【C】24【D】36【答案】D【解析】12條棱對應(yīng)著24個“正交線面對” ，12條面對角線對應(yīng)“ 12個正交線面對”，所 以共有36個正交線面對15、長方體AA2A3 A B1B2B3B4的底面為邊長為1的正方形，高為2,則集合（xx A1B1?ABj,i 1,2,3,4,j1,2,3,4 ，中元素的個數(shù)為（）【A】1【B】2【C】3【D】4【答案】A【解析】v 正方體 A1B；AiBj藤2B；B1Bj,i, j 1

12、,2,3,4,A1B1 AiBj A1B1 （Ai A1 A1B1B1Bj） 2A1B1 AjA1 A1B1 A1B1 B1 Bj 1集合中的元素為1三.簡答題（本大題共 5小題，共76分）17、（本題共14分）本題共2小題，第1題滿分6分，第2小題?茜分8分17 .小區(qū)打造休閑場地，將一塊直角三角形空地ABC用一條長為16cm的道路MN分為兩部分（點M在邊AB上）,分別種植花卉和鋪設(shè)草坪，其中花卉面積為s1 ,草坪面積為s2 ,且Si S2 ,已知AB=32m,AC=24m, A 900，求G的最大值(本題中道路都指線段)解析：SiS2當(dāng)S1最大時,1S ABC21-32 24219218

13、.如圖，把長為6,寬為3的矩形折成正三棱柱 ABC-AiBiCi ,三棱柱的高度為 3,矩形的對角線和三棱柱的側(cè)棱 BB1, CC1的交點記為E,F ;(1)求三棱柱ABC -A1B1C1的體積；(2)求異面直線AE和AF所成的角.【解析】(1)V 22 3 3 341 1(2)取 AH AA CG CG，連接 HG, HB1; HG / AF ,HB1/ AE 33AE與AF所成角即HG與B1H所成角HG HB1.4 1.5；BG448；55 811cos 一； arccos-2 555函數(shù)f(x)對任意的x R滿足:f( x)f(x), f(x 2) f(x)x (0,1)時f(x)xx2

14、 1(1)求出函數(shù)在R上的零點。(2)求滿足不等式 f(sin ) f (cos )的實數(shù)的范圍;【解析】(1) f( x) f(x) f(x)為奇函數(shù)f(x 2) f(x),f(x)周期為 2。當(dāng) x ( 1,0)時,x (0,1)f(x)f( x)x (0,1), f(x)2xxx2 1x x1x2無零點。-無零點。1f(x)為奇函數(shù)，f (0) 0, f ( 1)f(1)又周期為2, f( 1) ff( 1)f(0)f(1) 0零點為K, (k z)(2) f(x) ( 1,1)時，f(x)為增函數(shù)。“ k當(dāng)了時，f (sin ) f ( cos )sin cossin cos 0. 2

15、 sin(-) 0一(2k , 2k )43 口k(2k ,2k ),k z且.4 42k當(dāng) 萬時，f(sin ) f (cos ) 0不符合題意，舍去(-2k ,2k ) (2k ,- 2k ) (- 2k ,34 2k ),k z21. 已知n位數(shù)滿足下列條件：各個數(shù)字只能從集合1,2,3,4中選?。?若其中有數(shù)字4, 則在4的前面不含2,將這樣的n位數(shù)的個數(shù)記為an；(1)求 a1,a3;(2)探究an 1與an之間的關(guān)系，求出數(shù)列an的通項公式;1 一 一 (3)對于每個正整數(shù)k在ak與a-之間插入2個3得到一個新的數(shù)列bn,謾&是數(shù)列bn的前n項和，試探究Sn 2017能否成立，寫出你探究的結(jié)論并給出證明?！窘馕觥縜i 4a3 3331332132211131211211 54(2)最后一位為4,則有3n個