工程力學(xué)—第九章_扭轉(zhuǎn)

1、第7章 扭 轉(zhuǎn)o 基本概念o 動力傳遞與扭矩o 切應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律o 圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力o 圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強度條件o 圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件第一節(jié) 引 言o 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)：以橫截面繞軸線作相對轉(zhuǎn)動為主要特征的變形形式，稱為扭轉(zhuǎn)。 第一節(jié) 引 言o 扭力偶扭力偶：使桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶。扭力偶矩扭力偶矩：使桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶之矩。第一節(jié) 引 言o 軸軸：凡以扭轉(zhuǎn)為主要變形的直桿稱為軸。 第一節(jié) 引 言o 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角：軸的變形以橫截面間繞軸線的相對角位移稱扭轉(zhuǎn)角。 q 功率、轉(zhuǎn)速與扭力偶矩之間的關(guān)系功率、轉(zhuǎn)速與扭力偶矩之間的關(guān)系 第二節(jié) 動力傳遞與扭矩 minrkWmNnPM95

2、49 srkWmNnP.M2159式中：P=M功率，即力偶在單位時間內(nèi)所作之功 ，單位為kW（千瓦）；M力偶矩，單位為Nm（牛頓米）；相應(yīng)角速度；n軸的轉(zhuǎn)速，單位為r/min（轉(zhuǎn)分），或r/s（也可表示為s-1）（轉(zhuǎn)秒）。功率P=M，又 1W=1Nm/s于是上式變?yōu)镻*103=M*2n/60由此得則若轉(zhuǎn)速n的單位為r/s,第二節(jié) 動力傳遞與扭矩 q 扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖v 扭轉(zhuǎn)變形的內(nèi)扭轉(zhuǎn)變形的內(nèi)力：力： 扭矩。扭矩。v 扭矩扭矩 ：即nn截面處的內(nèi)力偶矩。第二節(jié) 動力傳遞與扭矩扭矩的正負(fù)號規(guī)定：采用右手螺旋法則。指向截面外側(cè)為正指向截面內(nèi)側(cè)為負(fù)第二節(jié) 動力傳遞與扭矩 o扭矩圖扭矩圖 ：表

3、示扭矩沿軸線變化情況：表示扭矩沿軸線變化情況的圖線的圖線 。o 例題1 圖示傳動軸,轉(zhuǎn)速n=500r/min，輪B 為主動輪，輸入功率PB=10kW ，輪A與輪C均為從動輪，輸出功率PA=4kW， PC=6kW 。試計算軸的扭矩，并畫扭矩圖。解（1）扭力偶矩計算m4N.7650049549nP9549MAAmN500109549nP9549MBB191m4.6N50069549nP9549MCC11（2）扭矩計算設(shè)AB與BC段的扭矩為正，并分別用T1和T2表示，則m4N.76MTA1m4.6N-MTC211（3）畫扭矩圖根據(jù)上述分析，畫扭矩圖，扭矩的最大絕對值為m4.6NTT2max11Tx7

4、6.4Nm114.6Nm 例題例題 一傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速 ；主動輪輸入的功率P1= 500 kW，三個從動輪輸出的功率分別為：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。試作軸的扭矩圖。 minr300n解解：1. 計算作用在各輪上的外力偶矩mkN9 .15mN 109 .15mN)3005001055. 9(331MmkN78. 4mN1078. 4mN)3001501055. 9(3332 MMmkN37. 6mN1037. 6mN)3002001055. 9(334M2. 計算各段的扭矩BC段內(nèi)：mkN78. 421MTAD段內(nèi)：mkN37. 643 MTCA段內(nèi)：m

5、kN9.56322MMT(負(fù))注意這個扭矩是假定為負(fù)的3. 作扭矩圖 由扭矩圖可見，傳動軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi)，其值為9.56 kNm。 第二節(jié) 動力傳遞與扭矩思考：如果將從動輪D與C的位置對調(diào)，試作該傳動軸的扭矩圖。這樣的布置是否合理？15.94.786.37 4.78第三節(jié) 切應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律 q 薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力 從圓管上切取一微體abcd，微體既無軸向正應(yīng)變，也無橫向正應(yīng)變，只是相鄰橫截面ab與cd之間發(fā)生相對錯動，即僅產(chǎn)生剪切變形；而且，沿圓周方向所有微體的剪切變形均相同。 第三節(jié) 切應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律o 由此可見，在圓管橫截面的各點處，

6、僅存在垂直于半徑方向的切應(yīng)力，如圖示，它們沿圓周大小不變，而且由于管壁很薄，沿壁厚也可近似認(rèn)為均勻分布 。第三節(jié) 切應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律q 薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力o 設(shè)圓管的平均半徑為Ro，壁厚為，微剪力對軸線O的力矩為Ro Rod 。橫截面的扭矩T即為： 2o202oR2dRT薄壁圓管扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力為： 2oR2T當(dāng) 時，該公式足夠精確。/10Ro第三節(jié) 切應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律q 純剪切與切應(yīng)力互等定理：純剪切與切應(yīng)力互等定理： 切應(yīng)力互等定理：切應(yīng)力互等定理：在微體的兩個相互垂直在微體的兩個相互垂直的截面上，切應(yīng)力總是同時存在，且大小的截面上，切應(yīng)力總是同時存在，且

7、大小相等，方向則共同指向或共同背離兩截面相等，方向則共同指向或共同背離兩截面的交線的交線。 在微體的左、右兩個側(cè)面上，力偶之矩為 dydx。 頂面與底面的兩個力所構(gòu)成的力偶之矩為dxdy。 微體平衡，則 = 。 純剪切純剪切：如上述微體的四個側(cè)面上，僅存在切應(yīng)力而無正應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)。 第三節(jié) 切應(yīng)力互等定理與剪切虎克定律q 剪切虎克定律剪切虎克定律 ： G G 在切應(yīng)力作用下，微體發(fā)生切應(yīng)變。 薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)試驗表明：當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限p時，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即即 。引入比例系數(shù) G，則G 。G切變模量（剪切彈性模量），單位為Gpa，其值隨材料而異，由實

8、驗測定。 第四節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力q 最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 由式 可知，在R 即圓截面邊緣各點處，切應(yīng)力最大，其值為 pITpppmaxWTRITITR式中Wp為抗扭截面系數(shù)，Wp=Ip/R單位為m3或mm3?？梢?，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與扭矩成正比，與抗，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力與扭矩成正比，與抗扭截面系數(shù)成反比。扭截面系數(shù)成反比。 平面假設(shè)平面假設(shè)：變形后，橫截面仍保持為平面，其形狀、變形后，橫截面仍保持為平面，其形狀、大小與間距均不變，而且，半徑仍為直線大小與間距均不變，而且，半徑仍為直線。第五節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強度條件 q 扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力 v 扭轉(zhuǎn)試驗表明：

9、塑性材料試樣受扭時，先發(fā)生屈服，在試樣表面的橫向與縱向出現(xiàn)滑移線，如果再繼續(xù)增大扭力偶矩，試樣最后沿橫截面被剪斷； 脆性材料試樣受扭時，變形始終很小，最后在與軸線成450傾角的螺旋面發(fā)生斷裂。 上述實驗結(jié)果說明，圓軸受扭時，其破壞的標(biāo)志圓軸受扭時，其破壞的標(biāo)志仍然是塑性屈服與脆性斷裂仍然是塑性屈服與脆性斷裂。 扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力：試樣扭轉(zhuǎn)屈服時橫截面上的最大切應(yīng)力，稱為扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力。 扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力：扭轉(zhuǎn)屈服應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)強度極限統(tǒng)稱為扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力，并用u表示。 塑性材料 脆性材料第五節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強度條件 ()Mx Ip圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的最大切應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的最大切

10、應(yīng)力當(dāng)當(dāng) max 時，時， max max=MxWpWp= maxIpWp 扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)第五節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強度條件o 強度條件： maxPmaxWT PmaxmaxWT對于等截面圓軸 ：第五節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強度條件Ipd 432Wp=d 316IpD 432( 1- 4 )Wp=D 316( 1- 4 )=d / D對于實心圓截面對于實心圓截面對于圓環(huán)截面對于圓環(huán)截面o 例例1 已知傳動軸的轉(zhuǎn)速n=8.3s-1，主動輪輸入功率P1=368kW，從動輪2、3分別輸出功率為P2=147kW，P3=221kW， =70MPa， =10/m，G=80GPa。試按強度條件求AB段的直徑

11、d1；BC段的直徑d2；若兩段采用同一直徑d，試確定d的大小。 mNnPM7057603 . 83689550955011解 (1)求外力偶矩 mNnPM2819603 . 81479550955022mNnPM4238603 . 82219550955033 (2)求扭矩 d1d2123M2M1M3ABCmN2819MT21mN4238MT32 (3)按強度條件求直徑 ：mN2819MT21mN4238MT3216dW3p maxPmaxWT 131T16d mm59m059. 0107014. 3281916T16d36311又所以同理 mm86m860 . 0107014. 342381

12、6T16d36322若兩段采用同一直徑，則取mm68d d1d2123M2M1M3ABCo 例題 已知解放牌汽車主傳動軸傳遞的最大扭矩T=1930Nm，傳動軸用外徑D=89mm、壁厚=2.5mm的鋼管做成。材料為20鋼，其許用切應(yīng)力=70MPa。校核此軸的強度。若在同樣強度條件下，將空心軸改成實心軸，試確定其直徑，并比較二者的重量。 o 解：（1）計算抗扭截面系數(shù) 944. 0895 . 22892DDDd（注意單位）35344343109 . 2109 . 2944. 01892 . 012 . 0mmmDWPo （2）強度校核 MPaMPaPaWTp707 .66107 .66109 .

13、2193065max滿足強度條件o （3）確定實心軸直徑，并比較其重量3max2 . 0實dTWTPmmmTd53053. 0107 .662 . 019302 . 063max實308. 0280986553848944222222實實空實空ddDAAGG空心軸比實心軸省材料空心軸比實心軸省材料例例2 下圖所示階梯形圓截面軸，在橫截面A、B與C處承受扭力偶作用，試校核軸的強度。已知MA=150N.m，MB=50N.m，MC=100N.m，許用切應(yīng)力90MPa。解：（1）問題分析繪制扭矩圖，由圖知AB與BC段的扭矩分別為T1=150N.m T2=100N.m（2）強度校核MPa88.80Pa1

14、0088. 8024. 0018. 01024. 0)mN150(16Dd1DT167434113111max,MPa7 .86Pa1067. 8022. 0018. 01022. 0)mN100(16Dd1DT167434223222max,max,1與max,2均小于許用切應(yīng)力，說明軸滿足強度條件。例例3 某傳動軸，軸內(nèi)的最大扭矩T=1.5kN.m，若許用切應(yīng)力50MPa，試按下列兩種方案確定軸的橫截面尺寸，并比較其重量。 （1）實心圓截面軸； （2）空心圓截面軸，其內(nèi)、外徑的比值di/d0=0.9。解： （1）確定實心軸的直徑 pWT而16dW3p故 m0535. 01050105 .

15、116T16d3633根據(jù)強度條件取 d=54mm（注意取法）取 do=76mm，di=68mm（注意）（3）重量比較由于空心及實心圓軸的長度及材料均相同，所以，二者的重量比等于其橫截面面積之比，即395. 0054. 0068. 0076. 0d44dd22222i20上述數(shù)據(jù)充分說明，空心軸比實心軸輕。即空心軸省材料。(2)確定空心軸的內(nèi)、外徑 m0763. 010509 . 01105 . 1161T16d364334o則其內(nèi)徑為: di=0.9do=0.90.0763=0.0687m例題例例 題題4 4：P7.5kW,n=100r/min,許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力40MPa, 空心圓軸的內(nèi)

16、外徑之比空心圓軸的內(nèi)外徑之比 = 0.5。: 實心軸的直徑實心軸的直徑d1和空心軸的外徑和空心軸的外徑D2。例題解：解：PMx=T=9549n7.5= 9549 100=716.2 N.m max=Wp116 MxMx= d13=40 MPa=0.045 m=45 mmd1=16 716. 2 40 1063例題例例 題題4 4 max=40 MPaWp2Mx16 Mx= D23(1- 4)d 2 =0.5D2=23 mmA1A2=d12D22(1- 2)=1.28=0.045 m=45 mmD2 =16 716.2 (1- 0.5 4) 40 1063第六節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件 圓軸扭轉(zhuǎn)

17、變形圓軸扭轉(zhuǎn)變形 ：軸的扭轉(zhuǎn)變形，用橫截面間繞軸線的相對角位移即扭轉(zhuǎn)角表示。 相距l(xiāng)的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角為 PGIl T上式表明，扭轉(zhuǎn)角與扭矩T、軸長l成正比，與GIP成反比。 扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度：乘積GIP稱為圓軸截面的扭轉(zhuǎn)剛度，或簡稱為扭轉(zhuǎn)剛度。 第六節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件o 圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件 ： 0maxP180GIT單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角 。 對于一般傳動軸， 為0.50m10m；對于精密儀器及儀表的軸， 根據(jù)規(guī)范確定。 第六節(jié) 圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件3216 . 0/dd例題 傳動軸ABC，MA=300kNm，MB=200kNm，MC=500kNm，lAB=a，lBC=2a，已知兩段

18、軸的最大剪應(yīng)力相等，求：（1）直徑比d1/d2；（2）扭轉(zhuǎn)角比AB/BC。 6 . 021BCABo 例例5 一傳動軸如圖所示,其轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動輪輸入功率P1=367kW；三個從動輪的輸出功率分別為P2=110kW，P3=110kW，P4=147kW。已知=40MPa , =0.30/m，G=80GPa。試設(shè)計軸的直徑d。 mN46793001479549nP9549M44123N1N2N3dABCN4D43412P4P1P2P3ABCDmN116823007369549nP9549M11解 (1)求外力偶矩 mN35010301019549nP9549M22mN3501MM2

19、3 (2)求扭矩 mN4679MT41mN7002MMT322mN3501MT33 最大扭矩為 mN7002TT2max (3)求直徑 16dW3p maxPmaxWT T16d3按強度條件： mm96m096. 0104014. 3700216T16d363又所以按剛度條件： GT18032d4mN7002TT2max 0maxP180GIT又32dI4pmm114m114. 03 . 01080327002180d492解得 ：比較強度條件和剛度條件，取14mm1d 例6 圖示圓截面軸AC，承受扭力偶矩MA、MB及MC作用。試計算該軸的總扭轉(zhuǎn)角AC（即截面C對截面A的相對轉(zhuǎn)角），并校核軸的剛度。已知MA=180N.m，MB=320N.m，MC=140N.m，Ip=3.0105mm4，l=2m，G=80GPa，=0.50/m。解