專題復習三計算求解題

1、專題復習（三）計算求解題運算能力是一項數(shù)學的基本技能，數(shù)式運算是最基本的數(shù)學基礎，也是代數(shù)部分的基礎因此，在河北省的中 考試卷中，在解答題部分對代數(shù)的基本運算給予了考查主要目的是考查學生最基本的運算能力，雖然歷年來考查 的題目難度不大，但仍有部分考生丟分，說明運算能力的培養(yǎng)仍需重視因此，我們要把運算的基本功練扎實，尤 其要明確每一步的算理和算法.1. （2019唐山樂亭縣一模）對于任意實數(shù)a, b，定義關于“ ？”的一種運算如下：a?b= 2a b.例如：5?2 = 2X 5 2 = 8, ( 3)?4 = 2X ( 3) 4 = 10.(1) 若 3?x= 2 011，求 x 的值；若x?3

2、v 5,求x的取值范圍.解：根據(jù)題意，得2X 3 x = 2 011,解得 x= 2 017.根據(jù)題意，得2x 3V 5,解得XV 4.2. （2019 保定二模）已知 2+1= 22x 3, 3+ 3= 32x 3, 4 +15 = 42x 魯，若 8+ 琴=8冬 ga, b 為正整數(shù)），求 a+ b 的值.解：觀察各個等式的特征，發(fā)現(xiàn)第1個等式：(1 + 1) + (1 + 1) 2 1= (1 + 1) X (1 + 1) 2 1,第2個等式：2 + 1 2 2 +1(2 + 1) + (2 + 1) 2 1= (2 + 1) X (2 + 1) 2 1,第3個等式：3 +123 +1(

3、3 + 1) + ( 3 +1) 2 1= (3 + 1)2X (3 + 1 ) 2 1,，依此類推，得第k個等式：k +12k +1(k +1) + (k +1) 2 1= (k +1) X (k + 1) 2 1.8 8當 k=7 時，8+63= 82x 63,故 a=8, b=63，所以 a+ b= 8+ 63= 71.3. （2019邯鄲一模）如圖，數(shù)軸上的點A , B, C, D, E表示連續(xù)的五個整數(shù)，對應的數(shù)分別為a, b, c, d, e.（1）若 a + e= 0,直接寫出代數(shù)式b+ c+ d的值為0;（2）若a +b = 7,先化簡，再求值：a 1 . a +1.a+ 2

4、'a+ 2 a 4八若a+ b + c+ d + e= 5,數(shù)軸上的點 M表示的實數(shù)為 m,且滿足 MA + ME > 12,則m的范圍是 m< 5或m>7 . 解： a, b, c, d, e 為連續(xù)整數(shù)，二 b= a+ 1.T a+ b= 7,. a+ a+ 1 = 7,解得 a= 3.原式=a+ 2-(a+2)( a 2)=a 2=a1.當a= 3時，原式=3 23 14. （2019唐山路南區(qū)一模）在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a,點B為原點，點C表示的數(shù)為c,且已知a, c滿足|a+ 1|2+ (c 7)2= 0.(1) a=- 1, c= 7;若AC的中點為M,則

5、點M表示的數(shù)為3;(3)若A , C兩點同時以每秒1個單位長度的速度向左運動，求第幾秒時，恰好有BA = BC?解：設第t秒時，恰好有BA = BC ,貝 U 1 + t= 7 t.t= 3.第3秒時，恰好有BA = BC.5. (2019唐山路南區(qū)一模)有n個方程：x2+ 2x 8= 0; x2+ 2 X 2x 8X 22= 0;；x2+ 2nx 8n2 = 0小靜同學解第 1 個方程 x2+ 2x 8= 0 的步驟為：“ x2 + 2x = 8;x2 + 2x + 1 = 8+ 1;(x+ 1)2 = 9:x + 1= ±3:x = 1±3; x1= 4, x2= 2.

6、"(1) 小靜的解法是從第幾步開始出現(xiàn)錯誤的？(2) 用配方法解第n個方程x2 + 2nx 8n2= 0.(用含n的式子表示方程的根)解：(1).(2) x2 + 2nx = 8n2,x2 + 2nx + n2 = 8n2+ n2, (x + n)2= 9n2. x+ n= 3n 或 x+ n= 3n.8(a+ b)5 4(a+ b)4+ ( a b)3 -2(a+ b)3. x1 = 2n, x2= 4n.6. (2019河北一模)數(shù)學課上，老師出了一道題：化簡:小明同學馬上舉手，下面是小明的解題過程：8(a + b)5 4(a+ b)4+ ( a b)3 -2(a + b)3=8

7、(a + b)5 4(a+ b)4+ (a+ b)3 -8(a+ b)3=(a+ b)2 2(a+ b) + &小亮也舉起了手，說小明的解題過程不對，并指了出來老師肯定了小亮的回答你知道小明錯在哪兒嗎？請 指出來，并寫出正確解答.解：第一處錯誤是(a b)3= (a+ b)3;第二處錯誤是2(a+ b)3= 8(a+ b)3.正確解答如下：8(a + b)5 4(a+ b)4+ ( a b)3 -2(a + b)3=8(a + b)5 4(a+ b)4 (a+ b)3 -2(a + b)3(a+t)(a2+ A)(a4+ 弓府 + 古但2=4(a+ b)2 2(a+ b) 17. (2

8、019河北二模)在學習了分式的乘除法之后，老師給出了這樣一道題，計算:2 11)，同學們都感到無從下手，小明將a2 1變形為a(a；),然后用平方差公式很輕松地得出結(jié)論.知道他是怎么做a的嗎?8丄1 +a8)11o解：原式=a(a一)(a+ _)(a2 + aa=a(a4 7)(a4+ 抽+ J)=a(a8)(a8+1=a(a16 初171-T5 a ' + kw 5 2x,8-(2019邢臺二莫)已知關于X，y的不等式組b (x !)> X 1.2(1) 若該不等式組的解集為 3三X w 3，求k的值;(2)若該不等式組的解中整數(shù)只有1和2,求k的取值范圍.第12頁解:x +

9、kw 5 2x,4 (x 3 )> x 1，由，得xw k，由，得x>2,332不等式組的解集為2w xw 3,=3，解得 k= 4.5 k由題意，得2 w v 3,解得一4 v k w 1.9. (2019邯鄲一模)張老師在黑板上寫了三個算式，希望同學們認真觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，請你結(jié)合這些算式，解答列問題：請觀察以下等式： 32 12= 8 X 1 52 32= 8 X 2 72 52= 8 X 3(1) 請你再寫出另外兩個符合上述規(guī)律的算式；(2) 驗證規(guī)律：設兩個連續(xù)奇數(shù)為2n+ 1, 2n1(其中n為正整數(shù))，則它們的平方差是 8的倍數(shù)；(3) 拓展延伸：“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差

10、是8的倍數(shù)”，這個結(jié)論正確嗎？請說明理由.解：(1)92 72= 8X4, 112 92= 8X 5.2 2(2) (2n + 1) (2n 1) = (2n + 1 2n+ 1)(2n + 1 + 2n 1)= 8n,故兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).(3 )不正確.解法一：舉反例：42 22= 12.因為12不是8的倍數(shù)，故這個結(jié)論不正確.解法二：設這兩個偶數(shù)為2n和2n + 2,(2 n+ 2)2 (2n )2= (2n + 2 2n)(2n + 2+ 2n)= 8n+ 4,因為8n+ 4不是8的倍數(shù)，故這個結(jié)論不正確.10. (2019河北中考預測)如圖，點A , B, C是數(shù)軸上的三

11、點.(1) 求點A, B, C所對應的三個數(shù)的和；求這時三點(2) 若將點A向右平移5個單位長度，點B向左平移2個單位長度，點C向左平移10個單位長度， 所對應的三個數(shù)的和；(3) 若將A, B, C三點向左同時移動 m個單位長度，結(jié)果所對應的三個數(shù)的和等于2，求m的值.解：(1) 2+ 1 + 6= 5.(2) ( 2+ 5) + (1 2) + (6 10)= 3- 1 4=- 2.(3) 根據(jù)題意，得(2 m) + (1 m) + (6 m) = 2,解得 m= 1.x2+ bx + ac= 0的兩根為 禺，X2,則一元二次方11. (2019河北中考預測)發(fā)現(xiàn)：當b2 4ac>

12、0時，若一元二次方程 程ax2 + bx + c= 0的兩根為x1, x2a a'驗證：(1) 解一元二次方程 x2 x 6 = 0,得 Xj = 2, X2= 3,解一元二次方程 2x2 x 3= 0,得 x=二,X2= 3,；X2與X1, X2的關系為 X1 =乍，X2 =爭；(2 )請證明上述發(fā)現(xiàn)正確.應用：我們知道，二次項系數(shù)為1的一元二次方程一般情況下比二次項系數(shù)不為1的一元二次方程好解，我們在解二次項系數(shù)不為 1的一元二次方程 ax2 + bx + c= 0時，就可以先解二次項系數(shù)為1的一元二次方程 x2+ bx + ac=0,再利用上述發(fā)現(xiàn)，確定原方程ax2+ bx+ c

13、= 0的解請利用這種方法解一元二次方程3x2 + 2x 8= 0.解：(2)當b2 4ac> 0時，由求根公式得：兀二次方程2 b± b2 4ac兀二次方程ax2 + bx + c= 0 的根為 x =b± b2 4ac2ab± b2 4ac 12 x2 + bx + ac= 0 的根為 x =所以，若一元二次方程x2+ bx +ac=0的兩根為X1,X2則一元二次方程ax2+bx + c= 0的兩根為7,:應用：解方程 X2 + 2x 24= 0,得 x1 = 4, x2= 6,所以方程3x2 + 2x 8= 0的兩根為x= 3, X2 = 2.12. (

14、2019河北二模)如圖，點A , B都在數(shù)軸上，O為原點.(1) 點B表示的數(shù)是=4;(2) 若點B以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，則2秒后點B表示的數(shù)是0;(3) 若點A, B分別以每秒1個單位長度、3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右運動，而點O不動，t秒后，A , B ,O三個點中有一個點是另外兩個點為端點的線段的中點，求t的值.解：當點 O是線段AB的中點時，OB = OA , 4 3t = 2 +1，解得t = 0.5; 當點B是線段OA的中點時，OA = 2OB , 2+ t= 2(3t 4),解得t= 2; 當點A是線段OB的中點時，OB = 2OA , 3t 4= 2(2 +

15、t)，解得t= 8.綜上所述，符合條件的 t的值是0.5, 2或8.13. (2019石家莊二模)如圖，在一條不完整的數(shù)軸上，從左向右有兩個點A , B，其中A點表示的數(shù)為 m, B點表 示的數(shù)為4,點C也為數(shù)軸上一點，且 AB = 2AC.(1) 若m為整數(shù)，求m的最大值；若C點表示的數(shù)為一2,求m的值.解：(1)由題意得mv 4,t m為整數(shù)， m的最大值是3.(2) v C點表示的數(shù)為一2, B點表示的數(shù)為4,點C在點B的左側(cè).當點C在線段 AB上時，T AB = 2AC , 4 m= 2( 2 m)，解得 m= 8;當點C在射線BA上時，T AB = 2AC , 4 m= 2(m+ 2

16、)，解得 m= 0.14. (2019保定競秀區(qū)模擬)已知，數(shù)軸上三個點 A , O, B.點O是原點，固定不動，點A和B可以移動，點 A表示的數(shù)為a，點B表示的數(shù)為b.若A，B移動到如圖所示位置，計算a+ b的值；(2) 在(1)的情況下，點B不動，點A向左移動3個單位長度，寫出點 A對應的數(shù)a,并計算b|a|;(3) 在(1)的情況下，點A不動，點B向右移動15.3個單位長度，此時 b比a大多少？請列式計算.解：(1)a+ b = 10+ 2= 8.(2) a= 10 3= 13,b |a= 2 | 13|= 11.(3) b = 2+ 15.3= 17.3,b a= 17.3 ( 10)

17、= 27.3.15. (2019冀卓二模)發(fā)現(xiàn)：五個連續(xù)的偶數(shù)中，存在前三個偶數(shù)的平方和等于后兩個偶數(shù)的平方和.(1) ( 4)2+ ( 2)2+ 02= 22+ (4)2;(2) 若還存在五個連續(xù)的偶數(shù)，前三個偶數(shù)的平方和可以等于后兩個偶數(shù)的平方和，設中間的偶數(shù)為n,求n.延伸：在三個連續(xù)的奇數(shù)中，判斷是否有前兩個奇數(shù)的平方和可以等于后一個奇數(shù)的平方.解：(2)(n 4)2 + (n 2)2+ n2= (n + 2)2+ (n + 4)2,解得n1 = 0, n2= 24,所以n為24.延伸：(2n 3)2+ (2n 1)2= (2n + 1)2.19解得n1 = , n2= 9，所以不存在

18、.16.(2019河北模擬)把一個分式寫成兩個分式的和叫做把這個分式表示成部分分式.如何將131表示成部分分式?設分式M =芒+笫，將等式的右邊通分得:m (x+ 1)+ n (x 1)(x + 1)(x 1)(m+ n) x + m nx+ 1)( x 1)丄 1 3x (m+ n) x+ m n 如由 7 =?77,得'x 1( x + 1)( x 1 )m + n= 3,m n= 1,m = 1,解得in = 2,1 一 3x 1 2所以廠=xi+x+(1)把分式 (x 2)( x 5)表示成部分分式，即(x 2)( x 5)n1x 2 卜口，則 m= 31n= = ;34x 3

19、解：設分式(2x + 1)4x 3(x 2) 2x + 1 + x 2將等式的右邊通分得:m + n _ m ( x 2)+ n (2x + 1)(m + 2n) x 2m + n2x+ 1 x 2(2x + 1)( x 2)(2x+ 1)( x 2)'4x 3由由(2x + 1)( x 2)(m + 2n) x 2m+ n(2x+ 1)( x 2)，(2)請用上述方法將分式(2x + 1)(x 2) 表示成部分分式.得 m + 2n= 4，2m + n = 3,4x 3=2+1(2x + 1)( x 2) = 2x + 1 + x 2.17. (2019 河北模擬)現(xiàn)有一組有規(guī)律排列

20、的數(shù)：1 , 1, 2, 2,. 3, . 3, 1 , 1, 2，一 2, .3, .3,其中，1, 1, 2, 2, .3, _ 3這六個數(shù)按此規(guī)律重復出現(xiàn)，問：(1) 第50個數(shù)是什么數(shù)？(2) 把從第1個數(shù)開始的前2 017個數(shù)相加，結(jié)果是多少？(3) 從第1個數(shù)起，把連續(xù)若干個數(shù)的平方加起來，如果和為520,那么共有多少個數(shù)的平方相加？解：/ 50弋=82,：第50個數(shù)是1.(2) ：1 + ( 1) + 2 + ( .2) + ,3+ ( .3)= 0,2 017 6= 3361,把從第1個數(shù)開始的前2 017個數(shù)相加，結(jié)果是1.(3) v 123+ ( 1)2+ ( 2)2+ (

21、 2)2 + ( 3)2+ ( 3)2= 12 , 520+12= 434,12+ ( 1)2+ ( 2)2= 4,從第1個數(shù)起，把連續(xù)若干個數(shù)的平方加起來，如果和為520，那么共有43X 6+ 3= 261個數(shù)的平方相加.18. (2019石家莊裕華區(qū)一模)如圖，將連續(xù)的奇數(shù) 1, 3, 5, 7,按圖1中的方式排成一個數(shù)表，用一個十字框框 住5個數(shù)，這樣框出的任意 5個數(shù)(如圖2)分別用a, b, c, d, x表示.(1) 若 x = 17,則 a+ b+ c+ d = 68;(2) 移動十字框，用 x表示a+ b + c+ d= 4x;(3) 設M = a+ b+ c+ d+ x，判斷

22、M的值能否等于2 020 ,請說明理由.解：令 M = 4x + x= 5x = 2 020,2-020= 4045/ 404是偶數(shù)不是奇數(shù)，與題目x為奇數(shù)的要求矛盾. M不能為2 020.佃.(2019河北模擬)發(fā)現(xiàn)(1) 41 = 4 , 42= 16 , 4- a2= a1 q, a3= a2 q = (a1 q ) q = a1 q , a4= a3 q = (a1 q ) q = a1 q，由此可得: = 64 , 4代數(shù)式表示) = 256 , 4(3)若一等比數(shù)列的公比 q= 2，第2項是10,請求它的第1項與第4項.= 1 024 , 4解：第1項是5,第4項是40. = 4 096 ,