三角問(wèn)題增解問(wèn)題題庫(kù)

1、三角問(wèn)題增解問(wèn)題題庫(kù)一、注意對(duì)已知條件的充分利用3«4-1 .右sin, cos，則_：i的終邊在第象限2 525OfOfCLTT CL解析：根據(jù)sin 0, cos 0,所以一的終邊在第二象限，即2k2k二二，k：= Z ；但2 222 2.：>43 愿：；：2-3a小疋cos:cos 一所 以 2k2k 二二，k二 Z，得2542423兀4k二4 k 二 2ok'：,Z2所以，:的終邊在第四象限點(diǎn)評(píng)：因?yàn)橐皇且粋€(gè)具體的角，完全可以借助cos 的具體的值，落實(shí)到更小的范圍內(nèi)的。2 22.已知:為銳角，tan = 1 ,sin 1,求+2的值。7104頁(yè)解析：由 sin

2、 -110得跡訐.tan，；, tan231 - tan2 ：4tan( _：i +2 :)=-1，所以： +2 一：=二或44但是因?yàn)椋?，二）21，又 tan x =<17sin 10 <100< 1.0 二件 2:4，所以:+-=。4433.已知很三（二，）,:(0-)，tan :蘭，求2'解： sin ： = -1010ji<6ji7:5:*亠2卩=44.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A, B,（I）求B的大??；（n）求cos A - sin C的取值范圍.C的對(duì)邊分別為a, b, c , a=2bsi nA .解析：1(I)由a =2bsi nA，根據(jù)正弦

3、定理得si nA=2si nBsinA，所以sin B，由 ABC為2銳角三角形得B =-6ji(n) cos A sin C 二 cos A sin 二- 一 一 A o=cos A s in A = cos A 1 cos A 3 sin A=, 3 s in iA 6丿 2 2由 ABC 為銳角三角形知，0 ： A , 0 ： B , 0 ： C ：,2 2 2兀TI所以，A ：。3二 二 1 ."二3：:A 3 ： 6，所以 2sin A 匸3今由此有舟八3血Aji所以，cosA+sinC的取值范圍為",3 .2 24 55.在=ABC 中，sin B ， cos

4、A ，求 cosC 的值。5 13,5124解1:在 ABC中由cos A 得sinA=,sinA= sin B =-,根據(jù)正弦定理,1313135a b，根據(jù)二角形大邊對(duì)大角，得A B，因?yàn)锳為銳角，所以，B為銳角,3cosB =.cosC 二cos180 -(A B)二-cos(A B)co sAc o B s i nAs i iB5313（一5）12 4+ x13 533 亠 63154833 卡63或65656565解2:在ABC中，由cosA=§ 4得A - 132只能舍掉，即cosB =? - cosC =5sin A -56.在 ABC 中,cosB65513，3 ，右

5、 cos B =351< -2所以2 二B 3得出矛盾,則cosC的值16o653錯(cuò)解T sin A二5又 co心 13，512小 sin B = .因?yàn)?cosC1356 十 16或6565A、B均為銳角且 A : B .事實(shí)上，因?yàn)?cos A B - -cosAcosB sin Asin B，從而 cosC辨析 上述錯(cuò)解的根本原因是忽略了條件中的隱含信息:cosB = 5，所以B為銳角，易知sin A : sin B -1312，由正弦定理可得b a，故B A，所以A只能134是銳角，從而cos A，所求的結(jié)果只有一種，即5cos657.在=ABC 中，A、Q*1仃B為銳角，角A、

6、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且cs2A二一，si nB ，510求A B的值.辨析因?yàn)锳、B為銳角，由sin B 10 < ，故10 2B.又因?yàn)閟in A 545子，所以A盲,，故A.另外，因?yàn)锳、B為銳角，所以0 ： A B ：二，6頁(yè)若此時(shí)選擇計(jì)算cos A B ,根據(jù)三角函數(shù)符號(hào)，那么就不需要討論A B的范圍了，即cos A B = cos Acos B - sin Asin B，故 A B =-24、加強(qiáng)對(duì)已知條件中隱含條件的挖掘1 在.ABC 中，3si nA 4cosB=6, 3cosA 4si nB=1，則/ C6解析：由3s"A 4cos6平方相加得3co

7、sA+4si nB =1s i nA B5 兀若C則A B =6 6n5兀AC C=3661 i；1 -3cos A 二 4sin B 0 . cosA ：-<-3 21點(diǎn)評(píng)：此題條件cosA ：隱蔽在條件3cos A - 4sin B =1，而3n Ato6 B =則沒(méi)有限制條件，3原因可能是常數(shù) 6不足以受到cosB的符號(hào)的干擾。如果不能看出這一點(diǎn)，那么在探索cosA時(shí)，可以充分利用sin B 0 ,從已知條件中嘗試，可能一次找不準(zhǔn)，比如3sin A 4cos B = 6 ,3sin A =6 -4cos B 0恒成立。本題如果沒(méi)有對(duì)隱含條件的預(yù)感和敏銳的觀察力，而極易錯(cuò)選為C，這是

8、該類問(wèn)題常見(jiàn)的錯(cuò)誤，值得注意。2.一:-:二，且 sin 二 +cos 二=2求tan t的值。解析：將sin -cos:10兩邊平方得sin2 :cos2：=_ 1 -sin224. tan :十曲=-3 或-1。由二>0,可知 | sin | | cos|，即 | tan | 1 從而5si n2a32點(diǎn)評(píng)：本題給出的條件不足以排除tan的增根，還需要進(jìn)一步縮小角的范圍。這個(gè)限制條2件就隱臧在另一個(gè)已知條件.10二3sin +cos ：=中，由此得到條件| tan | 1，即，這是該524且 sin .：:+cos： =105tan、=-3。問(wèn)題正確求解的關(guān)鍵。113.已知銳角 ?,

9、 -，且 sin-sin - =-1 ,cos-cos - =,求 tan（-）的值。22解析：將題設(shè)兩式兩邊平方相加得2-2cosG - ）= -COSC - J - 3 ,244.1.n兀nJI 71n ： , ：(0, )： - ：(, ) Sin(：)2 2 2一口，故 tan( )74sin 用-sin : =- 1 <0 得 sin : <sin :,而、；，I (0,)。從而2 21 已知 sin x sin y 二3求t = sin y 一 cos2 x的最大值。二 ,-,7三(一,0)，故 tan(：-：)=-231 / 1y ，得 sin y sin x，由 s

10、in 332-sin x 乞 1，即sin x 乞 13解：由 sin x sin1-1 -3.t J-sin x-cos2x=sin2x-six-233121y sin x 及 -1 _ sin y _ 1，得 3-2時(shí)，t3三、因忽視變形式子對(duì)變量范圍的制約而致錯(cuò)1已知sin xcos y ,則cosxsin y的取值范圍是(1 1-丄，丄2 2當(dāng) sin x 二max彰C、D、- 1,1解析1: sin xcosycosxsin y由 sin x - y 1-1,1 得 一 1 一丄 一 t _ 1，2解得12乞t乞3，結(jié)合_32 2解析,故應(yīng)選A .22:設(shè) cosxsin y = t

11、，貝V sin xcosy cosxsin y =-，故 sin 2xsin 2y = 2t，又因?yàn)?211sin2xsin2y = 2t 蘭1，解得一一蘭t 蘭一，故選 A .221點(diǎn)評(píng)：本題可能僅僅將si nxco sy 與co sxs i ny2=t相加得si nx y)1，而片面地得到1-1勻 。這種失誤21 si xc o y ,c o xs i2條件的充分條件。的根源就在于解題過(guò)程沒(méi)有堅(jiān)持等價(jià)-t這兩個(gè)條件與sin(x y)t不是充要條件,轉(zhuǎn)化的原則， 因?yàn)閟in(x y)斗2.已知 sin x cosx 二,二，則tan x的值等于61，等式兩端平方得: 5sin2 x cos2

12、 x 2sin x cosx 1 即:25解析：由 sin x cosx2tan x 2tan x 11 tan2 x_ 125，10頁(yè)整理得：12 tan 2 x + 25 tan x + 12 = 0 .3 4解之得：tanx或ta nx.注意到4 3124sin x cosx 0 , sinx cosx0 ,525.333 一 4所以sin x與 cosx異號(hào)。f JI、JI當(dāng) x ,0， tan x tan( )I 6丿6f龐當(dāng)x，二3已知 代B,C是三角形 ABC三內(nèi)角，向量忌-1/3 ,nicos代sin A，且m n 1 (I)求角A ;-，所以不符合條件;34,sinx . 0

13、, cosx : 0 ，貝y |sin x|>|cosx|, | tanx| .1. tan x =3()若解析：(1 si n2Bcos B -sin B4 4I)： m n =1-3，求 tan B -1,、" 3 i cosA,sin A = 1即、3sin A -cosA 二 12 in A 逅-cos A11=1,sin | A_Z =1 2'2>I 6丿2ji兀5兀JiJi0 c A 5,-<A< A-=6666 6ji A=-3(n)由題知 1_- -3，整理得 sin2 B - sin B cos B - 2cos2 B = 0cos

14、B -sin B cosBO tan2 B-tanB-2=0 tan B = 2 或 tan B - -1而 tan B - -1 使 cos2 Bsin2 B = 0，舍去 tan B = 2 tan C =tan 侶 A B - -tan A B =tan A tan B1 -tan Atan B2.31-38 5. 31122點(diǎn)評(píng)：本題解題過(guò)程中，根據(jù)sin B-si nBcosB-2cos B=0解得tan B=2或tan B - -1，出現(xiàn)了兩個(gè)解，但是其轉(zhuǎn)化過(guò)程是經(jīng)過(guò)了一步去分母，所以這里的變形可能不等價(jià)，因此需要檢驗(yàn)增根，其中tanB - -1就是增根。四把好解題最后一道關(guān)1.若：，： (0,), cos( )- , sin()=-丄，則 cos(、； ')的值等于2 2 2 2 2解析：(一一，)，"=(-,)，-sin( ) = -,cos( ) =, cosf )24 222 42 v272'2 2= cos(> -二)一(