角(基礎(chǔ))知識講解

1、角（基礎(chǔ)）知識講解學(xué)習(xí)目標】1掌握角的概念及角的表示方法，并能進行角 度的互換；2.借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比 較方法；3會利用角平分線的意義進行有關(guān)表示或計算；4.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會進行有 關(guān)計算；5.掌握互為余角和互為補角的概念及性質(zhì)，會 用余角、補角及性質(zhì)進行有關(guān)計算；6了解方位角的概念，并會用方位角解決簡單 的實際問題【要點梳理】【高清課堂：角397364角的概念】要點一、角的概念1 角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形 叫做角，這個公共端點是角的頂點， 這兩條射線 是角的兩條邊如角（基礎(chǔ)）知識講解圖1所示，角的頂點是點O， 邊是射線OA、O

2、BABO始邊A圖(2) 定義二： 一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形 成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi) 部如圖2所示，射線OA繞它的端點0旋轉(zhuǎn) 到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置0A是角的始邊，終止位置0B是角的終邊.要點詮釋：(1) 兩條射線有公共端點， 即角的頂點； 角的 邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān).(2) 平角與周角：如圖1所示射線0A繞點0旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置0B和起始位置0A成一條直 線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋 轉(zhuǎn)，0B和0A重合時，所形成的角叫做周角._ - -nOAA(B)平角周埔圖I圖22.角的表示法：角的幾何付號用 / 表示,角的表示法通常

3、有以下四種:圖JR示方法圖示-；記法適用范圍(1)用三個丸 寫字母表示LAOBAA BOA任伺情況都適 用，表示頂點的 字曄寫在中可(2用一個大 寫字母表示/zo以某一點為頂點 的角只有一個 時，可以用頂點 表示角O(3)用阿拉 伯?dāng)?shù)字表示/2.1任何情況都適用4)用希臘字 母展示Z.Q任何情況都適用要點詮釋：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近 角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫 希臘字母.3.角的畫法(1) 用三角板可以畫出30、45、60、90 等特殊角.(2) 用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角.(3) 利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角.要點二、角的比較與運算1.角度制及其換

4、算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平 均分成360等份，每一份就是1的角，1的古 為1分，記作1,1的丄為1秒，記作60“T”.這種以度、分、秒為單位的角的度量制， 叫做角度制1周角=360,1平角=180,1=60,1=60.要點詮釋： 在進行有關(guān)度分秒的計算時,要按級進行, 即分別按度、分、秒計算,不夠減,不夠除的要 借位,從高一位借的單位要化為低位的單位后再 進行運算, 在相乘或相加時,當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于等 于60時要向高一位進位2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相 類似,方法有兩種方法1：度量比較法先用量角器量出角的度 數(shù),然后比較它們的大小方法2：疊合比較法把其中的一個角移到

5、另 一個角上作比較如比較/AOB和/AOB的大?。喝缦?圖，由圖（1）可得/AOBZAOB.3.角的和、差關(guān)系如圖所示，/AOB是/1與/2的和，記作:ZAOB= /1 +Z2;/1是/AOB與/2的差, 記作：/1=ZAOB-Z2.要點詮釋：（1）用量角器量角和畫角的一般步驟：對中（角 的頂點與量角器的中心對齊）；重合（一邊與刻 度尺上的零度線重合）；讀數(shù)（讀出另一邊所在 線的度數(shù)）.（2）利用三角板除了可以做出30、45、60、90外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15,75,105，120，135，150，165 的 角.4.角平分線從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的 兩個角的射線，

6、叫做這個角的平分線.如圖所示，OC是ZAOB的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2/BOC,要點詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其 思維框架與線段中點的思維框架一樣.要點三、余角和補角1.定義：一般地，如果兩個角的和等于90（直 角），就說這兩個角互為余角， 即其中一個角是 另一個角的余角.類似地，如果兩個角的和等于180（平角）, 就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個 角的補角.2.性質(zhì)： （1）同角（等角）的余角相等.（2）同角（等角）的補角相等.要點詮釋：（1）互余互補指的是兩個角的數(shù)量關(guān)系，互余、 互補的兩個角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位 置無關(guān).（2）般地，銳角a的余角可以

7、表示為（90-a），個角a的補角可以表示為（180-a）.顯 然一個銳角的補角比它的余角大90。要點四、方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向 的角.例如，圖中射線OA的方向是北偏東60; 射線0B的方向是南偏西30.這里的“北偏 東60”和“南偏西30”表示方向的角，就 叫做方位角.要點詮釋：(1) 正東，正西，正南，正北4個方向不需要用 角度來表示；(2) 方位角必須以正北和正南方向作為“基準”， “北偏東60” 一般不說成“東偏北30”；(3) 在同一問題中觀察點可能不止一個，在不同 的觀測點都要畫出表示方向的“十字線”，確定其 觀察點的正東、正西、正南、正北的方向；(4) 圖中

8、的點0是觀測點， 所有方向線(射線)都 必須以0為端點.要點五、鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個大格， 把周角12等分、 每 個大格對應(yīng)30的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6,時針 每小時轉(zhuǎn)30,時針1分鐘轉(zhuǎn)0. 5,利用這些 關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題.【典型例題】類型一、角的概念及表示1.下列語句正確的是（）.A.兩條直線相交，組成的圖形叫做角.B.兩條具有公共端點的線段組成的圖形叫 做角.C.兩條具有公共端點的射線組成的圖形叫 做角.D.過同一點的兩條射線組成的圖形叫做角.【答案】C【解析】根據(jù)角的定義判斷【總結(jié)升華】角不能僅僅看作是有公共端點的兩 條射線，角的兩種描述中都隱含了組成角

9、的一個 重要元素，即兩條射線間的相對位置關(guān)系，這是 角與“有公共端點的兩條射線”的重要區(qū)別.舉一反三：【變式】判斷下列說法是否正確（1）兩條射線組成的圖形叫做角（）（2）平角是一條直線（）（3）周角是一條射線（）【答案】（1）x（2）x（3）x2.寫出圖中（1）能用一個字母表示的角；（2）以B為頂點的角；（3）圖中共有幾個角（小于180）.【答案與解析】解：（1）能用一個字母表示的角/A、/C.（2）以B為頂點的角/ABE、/ABC、/CBE.（3）圖中共有7個角.【總結(jié)升華】（1）頂點處只有一個角時，才可以 用一個字母表示；（2）一般數(shù)角時不包括平角和 大于平角的角.類型二、角度制的換算3.

10、 （ 1）把25. 72。用度、分、秒表示；（2）把451230化成度（精確到百分位）.【思路點撥】第（1）題中25. 72中含有兩部分25和0. 72，只要把0. 72化成分、秒即 可.第(2)題中，451230含有三部分45,12和30，其中45已經(jīng)是度，只要把12 和30化成度即可.【答案與解析】解：(1) 0. 72=0. 72X60=43. 2，0. 2=0. 2X60=12，所以25. 72=254312.(2)30=30605，佗55600.21所以45123045. 21.【總結(jié)升華】無論由高級單位向低級化還是由低級 單位向高級化，都必須逐級進行，“越級”化單 位容易出錯.舉一

11、反三：【變式】(1)把26. 29轉(zhuǎn)化為度、分、秒表示 的形式；(2)把332436轉(zhuǎn)化成度表示的形 式.【答案】解：(1) 26. 29=26+0. 29 =26+0. 29X60=26 +17. 4=26+仃+0.4X60 =2617+24=261724(2) 332436=33+24+36X丄=6033+24+0. 6=33+24. 6=33+24. 6X丄。=33. 41160丿提示：在角度的和、差運算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都 化成度或分、秒表示，然后再進行計算。類型三、角的比較與運算4.不用量角器，比較圖1和圖2中角的大 小.(用“”連接)【思路點撥】圖1中兩角/a、/B均為銳角, 因此，

12、在不能測量的情形下，我們可以將圖中的 /a向/B平移，讓/a與/B始邊重合，觀察 終邊的位置來比較角的大小.圖2中的三個角按 角的分類，/1為銳角，/2為直角，/3為鈍 角,因此按照各自的范圍就可以將它們的大小比 較出來.【答案與解析】解：（1）如圖所示，將/a平移使/a的始邊與Z B的始邊重合，發(fā)現(xiàn)/a落在/B內(nèi)部，因此Z B Z a .（2）由圖可知Z1是銳角，Z1v90,Z2是直 角，即Z2=90，Z3是鈍角，即90Z2Z1.【總結(jié)升華】本例給出的兩題是在不用量角器測 量角的情況下比較角的大小，一種方法是疊合比 較法，另外一種方法則是根據(jù)角的分類，由圖形 觀察角的不同分類，按照常見的銳角

13、V直角V鈍 角V平角V周角來比較大小.舉一反三：【變式】已知ZAOB（如圖所示）,畫一個角等于 這個角.【答案】作法：(1)以點0為圓心， 適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交0A、0B于點C、D;(2)畫一條射線0A，以點0為圓心，0C長為半徑畫弧I，交0A于點C(3)以點C為圓心，CD長為半徑畫弧， 交弧I于點D(4)過點D畫射線0B,則/A0B=/A0B.5如圖所示，已知0C平分/B0D，且/B0C=20,0B是/A0D的平分線，求/A0D的度數(shù).【答案與解析】解：因為0C平分/BOD，且/BOC=20, 所以/BOD=2/BOC=2X20=40.又0B是/AOD的平分線，所以/AOD=2/BOD=

14、2X40=80 【總結(jié)升華】應(yīng)用角的平分線的定義時根據(jù)兩 點：若0B是/AOC的平分線， 則/AOB=/B0C=扌ZAOC:/AOC=2/AOB=2/BOC，在解題時要學(xué)會靈活應(yīng)用.【高清課堂：角397364角的有關(guān)計算例3】 舉一反三：【變式】已知：如圖，0M是ZAOB勺平分線，ON是ZBOC勺平分線，ZAOC=80,求：ZMON.解：OM平分ZAOB ON平分ZCOBZMOB=ZAOBZBON=ZBOC.(角平分線的 定義)Z MONZMOBZBON=1ZAOB+ZBOC=(ZAOBZBOC)2 2 2、 =1/AOC=X80 =40 .2 2即/MON=40類型四、余角和補角【高清課堂：

15、角397364角的有關(guān)計算例16.已知角：的余角比角：的補角的1還少20，求角:的余角.【答案與解析解：由題意可得：角：的余角為（90八）,補角為（180 -：），于是得：90 - =1（180-：）-20，解得：=75390 - =90-75 =15答：角的余角為15 .【總結(jié)升華此題的關(guān)鍵是掌握互為余角、補角 的定義，然后根據(jù)題中的關(guān)鍵語句列出方程或代 數(shù)式，求出相應(yīng)角的度數(shù).類型五、方位角7. A看B的方向是北偏東30,那么B看A的方向是（）A.南偏東60B.南偏西60C.南偏東30D.南偏西30【答案D(1)【解析】依題意畫出示意圖由圖可知，圖中/1即表示從A看B的北偏東30,/2是從

16、B看A的方位角由此可確定從B看A是南偏西301北11北:/s余n: * r. A !東【總結(jié)升華】 從本例的分析與結(jié)果來看，從A看B與從B看A正好是一對對立的觀察過程， 其方向是一種“相反”的對應(yīng)關(guān)系方位角的確 定首先以什么點為基點（即人站在此處觀察）要 弄清楚，再由正南或正北到視線夾角測量出來. 舉一反三：【變式】小王從家出發(fā)向南偏東30的方向走了1000米到達小軍家，此時小王家在小軍家的_ 向.【答案】北偏西30 類型六、鐘表上有關(guān)夾角問題08.計算：4時15分時針與分針的夾角【答案與解析】解法一：如圖（1）,設(shè)4時15分時針與分針的 夾角為/a（注：夾角指小于180的角）, 時針轉(zhuǎn)過的角度為：30X4+0. 5X15, 分針轉(zhuǎn)過的角度為：6x15,所以/a=30X4+0. 5X15-6X15=37. 5解法二：如圖（1）,ZAOC=30 x1=30/BOC=0. 5X15=7. 5.所以ZAOB=37. 5.即4時15分時針與分針的夾角為37. 5【總結(jié)