橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型

1、橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型 題型分析 ·高考展望 橢圓問題在高考中占有比較重要的地位，并且占的分值也較多.分析歷年的高考試題，在填空題、 解答題中都涉及到橢圓的題，所以我們對橢圓知識(shí)必須系統(tǒng)的掌握 .對各種題型，基本的解題方法也要有一定的了解.?？碱}型精析題型一利用橢圓的幾何性質(zhì)解題x 軸上的橢圓 x221，F(xiàn)，A 分例 1如圖，焦點(diǎn)在 y 1 的離心率 e4b22 別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P 是橢圓上任意一點(diǎn)，求 PF ·PA的最大值和最小值 .點(diǎn)評 熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解決此類問題的根本，利用離心率和橢圓的范圍可以求解范圍問題、最值問題，利用a、b、 c 之間

2、的關(guān)系和橢圓的對稱性可構(gòu)造方程.x2y23變式訓(xùn)練 1 (2014 ·課標(biāo)全國 )已知點(diǎn) A(0， 2)，橢圓 E： 22 1(a>b>0) 的離心率為，ab2F 是橢圓 E 的右焦點(diǎn)，直線AF 的斜率為 2 3， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) .3(1) 求 E 的方程；(2) 設(shè)過點(diǎn) A 的動(dòng)直線l 與 E 相交于 P， Q 兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ 的面積最大時(shí)，求l 的方程 .題型二直線與橢圓相交問題例 2(2015 ·山東 )在平面直角坐標(biāo)系x2y23xOy 中，已知橢圓 C：22 1(a b 0)的離心率為，ab2左，右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.以 F1 為圓心、以3 為半徑

3、的圓與以F2 為圓心、以1 為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C 上 .(1) 求橢圓 C 的方程；x2y2(2) 設(shè)橢圓 E：4a2 4b2 1，P 為橢圓 C 上任意一點(diǎn)， 過點(diǎn) P 的直線 y kx m 交橢圓 E 于 A， B 兩點(diǎn)，射線 PO 交橢圓 E 于點(diǎn) Q.OQ( )求 OP 的值；( )求 ABQ 面積的最大值 .點(diǎn)評解決直線與橢圓相交問題的一般思路：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由判別式范圍或根與系數(shù)的關(guān)系解決.求范圍或最值問題，也可考慮求“交點(diǎn) ” ，由“交點(diǎn) ” 在橢圓內(nèi) (外 )，得出不等式，解不等式.變式訓(xùn)練 2 (2014 ·四川 )已知橢圓

4、 C： x2 y2 1 (a>b>0)的焦距為 4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與22ab長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形 .(1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè) F 為橢圓 C 的左焦點(diǎn)， T 為直線 x 3 上任意一點(diǎn)，過F 作 TF 的垂線交橢圓C 于點(diǎn)TFP， Q.證明 OT 平分線段 PQ(其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) )；當(dāng) PQ最小時(shí)，求點(diǎn) T 的坐標(biāo) .題型三利用 “ 點(diǎn)差法，設(shè)而不求思想”解題x2例 3已知橢圓2 y2 1，求斜率為2 的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程 .點(diǎn)評 當(dāng)涉及平行弦的中點(diǎn)軌跡， 過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡， 過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程時(shí)，用 “ 點(diǎn)差法 ” 來求解 .變式

5、訓(xùn)練 3(2015 ·揚(yáng)州模擬 ) 已知橢圓 x2 y2 1(a>b>0) 的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4)，離心率 e5，a2 b25直線 l 交橢圓于M， N 兩點(diǎn) .(1) 若直線 l 的方程為 y x 4，求弦 MN 的長 .(2) 如果 BMN 的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F ，求直線 l 方程的一般式.高考題型精練1.(20151，E 的右焦點(diǎn)與拋物線 C：課·標(biāo)全國 改編 )已知橢圓 E 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)， 離心率為 2y2 8x 的焦點(diǎn)重合， A，B 是 C 的準(zhǔn)線與 E 的兩個(gè)交點(diǎn)，則AB _.222.(2014大·綱全國改編 )已知橢圓 C：

6、x2 y2 1(a>b>0) 的左、右焦點(diǎn)分別為F1、 F2，離心率ab為 3，過 F2143，則 C 的方程為 _.3的直線 l 交 C 于 A、B 兩點(diǎn) .若 AF B 的周長為3.(2014福·建改編 )設(shè) P，Q 分別為圓 x2( y6) 2 2 和橢圓 x2 y2 1 上的點(diǎn)，則 P，Q 兩點(diǎn)10間的最大距離是_.4.若橢圓和雙曲線具有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，離心率分別為e1，e2，P 是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足 PF1 PF2 ，則1212的值為 _.e1e222 5.橢圓 C： x2 y2 1 (a>b>0) 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1， F2，M 為橢

7、圓上一點(diǎn)，且MF 1 ·MF 2的最大值ab的取值范圍是 c2,2c2，其中 c 是橢圓的半焦距， 則橢圓的離心率取值范圍是_.x2y26.(2014 遼·寧 )已知橢圓C：94 1，點(diǎn) M 與 C 的焦點(diǎn)不重合 .若 M 關(guān)于 C 的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為 A， B，線段 MN 的中點(diǎn)在 C 上，則 AN BN _.7.(2014 江·西 )過點(diǎn) M(1,1) 作斜率為 1的直線與橢圓22C：x2 y2 1(a>b>0)相交于 A，B 兩點(diǎn)，2ab若 M 是線段 AB 的中點(diǎn)，則橢圓C 的離心率等于 _.28.(2014 安·徽 )設(shè) F 1，

8、 F2 分別是橢圓 E：x2 y2 1(0<b<1)的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1 的直線交橢b圓 E 于 A， B 兩點(diǎn) .若 AF1 3F1B， AF 2 x 軸，則橢圓 E 的方程為 _.9.(2014 江·蘇 )如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中， F ，F(xiàn)x2分別是橢圓 a212y2B 的坐標(biāo)為 (0， b)，連接 BF 2 并b2 1(a>b>0) 的左，右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)延長交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn) A 作 x 軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié)1F C.4 1(1) 若點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 3，3 ，且 BF2 2，求橢圓的方程；(2) 若 F1C AB，求橢圓離心率e 的

9、值 .10.(2015 重·慶 )如圖，橢圓x2y2F1，a221(a b 0)的左，右焦點(diǎn)分別為bF2，過 F 2 的直線交橢圓于P、 Q 兩點(diǎn)，且PQ PF1 .(1) 若 PF1 2 2， PF 2 2 2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若 PF1 PQ，求橢圓的離心率 e.x2y211.(2015 陜·西 )已知橢圓E： a2 b2 1(ab 0)的半焦距為c，原點(diǎn) O 到經(jīng)過兩點(diǎn) (c,0)， (0，1b)的直線的距離為2c.(1) 求橢圓 E 的離心率；(2) 如圖， AB 是圓 M：(x 2)2 (y 1)2 5的一條直徑， 若橢圓 E 經(jīng)過2A， B 兩點(diǎn)，求橢

10、圓E 的方程 .x2y262，0).斜率為12.(2015 泰·州模擬 )已知橢圓 G：2 2 1(a>b>0) 的離心率為，右焦點(diǎn)為 (2ab31 的直線 l 與橢圓 G 交于 A， B 兩點(diǎn)，以AB 為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(3,2).(1) 求橢圓 G 的方程；(2) 求 PAB 的面積 .答案精析第 29 練橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型?？碱}型典例剖析例 1解設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x0， y0).由題意知a 2， e c 1， c 1， b2a2 c2 3. a 222xy所求橢圓方程為1.43 2 x0 2，3 y03.又 F( 1,0)， A(2,0)，

11、PF ( 1 x0， y0)，PA (2 x0， y0 )， 221212.PF ·PA x0 x0 2 y0x0 x01 (x0 2)44 當(dāng) x0 2 時(shí)， PF·PA取得最小值0， 當(dāng) x0 2 時(shí)， PF ·PA取得最大值 4.變式訓(xùn)練 1 解(1) 設(shè) F(c,0)，由條件知，2 23，得 c 3.c3又 ca 23，所以 a 2， b2 a2c2 1.故 E 的方程為x2 y2 1.4(2) 當(dāng) l x 軸時(shí)不合題意，故設(shè) l： y kx 2，P(x1 ，y1)， Q(x2， y2)，將 y kx 2 代入 x2 y2 1 得 4(1 4k2 )x2

12、16kx 12 0.當(dāng) 16(4k2 3)>0 ，即 k2>3時(shí)，48k±2 4k2 3x1,2.4k2 1從而 PQk21|x1 24k2 1· 4k2 3 x|4k2 1.又點(diǎn) O 到直線 PQ 的距離 d2，k2 11 4 4k2 3 所以 OPQ 的面積 S OPQ 2·d·PQ 4k2 1 .4k2 3 t，則 t>0， SOPQ 4t4設(shè)t2 44.t t4因?yàn)?t 4，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即 k ± 7時(shí)等號(hào)成立，2且滿足>0，所以，當(dāng) OPQ 的面積最大時(shí)l 的方程為 y 772 x 2 或 y 2 x 2.例

13、 2 解 (1)由題意知 2a 4，則 a 2，又 ca 23， a2 c2 b2，可得 b 1，所以橢圓 C 的方程為 x2 y2 1.4x2y2(2) 由 (1)知橢圓 E 的方程為 1641.OQ ，由題意知 Q( x( )設(shè) P( x0，y0 )， OP0， y0).2因?yàn)?x0 y02 1，42222000y02 1，又 x y 1，即 x16444所以 2，即 OQ 2.OP( )設(shè) A( x1，y1 )， B(x2， y2).將 y kx m 代入橢圓E 的方程，可得 (1 4k2)x2 8kmx4m2 16 0，由 0，可得 m2 416k2， 則有 x128km ， x1 2

14、4m2 16 x 14k2x 1 4k2 .所以 |x1 x2|4 16k2 4 m2.14k2因?yàn)橹本€ykx m 與 y 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0， m)，1所以 OAB 的面積 S 2|m|x1 x2|216k2 4 m2|m|2 16k2 4m2m21 4k21 4k2m2m2241 4k2 1 4k2.m2設(shè)2 t，1 4k將 y kx m 代入橢圓C 的方程，可得 (1 4k2)x2 8kmx4m2 40，由 0，可得 m2 14k2.由 可知 0 t 1，因此 S 24 t t 2 t2 4t ，故 S2 3，當(dāng)且僅當(dāng)t 1，即 m21 4k2 時(shí)取得最大值23.由( )知， ABQ 面

15、積為 3S，所以 ABQ 面積的最大值為63.a2 b2 2b，變式訓(xùn)練2(1) 解由已知可得2c2a2 b2 4，解得 a2 6， b2 2，所以橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2y2 1.62(2) 證明由 (1) 可得 F 的坐標(biāo)是 ( 2,0)，設(shè) T 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 3，m)，則直線 TF 的斜率 kTFm0 m.3 2當(dāng) m 0 時(shí)，直線 PQ 的斜率 k1，PQ m直線 PQ 的方程是 x my 2.當(dāng) m 0 時(shí)，直線 PQ 的方程是 x 2，也符合 x my 2 的形式 .x my 2，設(shè) P(x1， y1)，Q(x2， y2) ，將直線 PQ 的方程與橢圓C 的方程聯(lián)立，得 x2y2

16、6 21.消去 x，得 (m2 3)y24my 2 0，其判別式 16m2 8(m2 3)>0 ，4m， y1y22，所以 y1 y2 223m 3m 12x1 x2 m(y1 y2 )4 m2 3. 62m所以 PQ 的中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (m2 3，m2 3).m所以直線 OM 的斜率 kOM 3 .m又直線 OT 的斜率 kOT 3 ，所以點(diǎn) M 在直線 OT 上，因此OT 平分線段PQ.解由 可得 TFm2 1，PQx1 x2 2 y1 y2 2 m2 1 y1 y2 24y1 y2 m2 1 4m 24· 2 m2 3m2 324 m21 m2 3.TF1 m2 3

17、2所以 PQ24·m2 114 4144 3.24·m2 1 224×3m 14TF當(dāng)且僅當(dāng) m2 1m2 1，即 m±1 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)PQ取得最小值 .TF所以當(dāng) PQ最小時(shí)， T 點(diǎn)的坐標(biāo)是 (3,1)或 ( 3， 1).例 3解設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為M( x1， y1)， N(x2， y2)，MN 的中點(diǎn)為R(x， y)，2222則 x1 2y122 2， 2， x 2y兩式相減并整理可得，y1 y2 x1 x2 x ，x1 x22 y1 y22y將y1y2 2 代入式 ，x1 x2得所求的軌跡方程為x 4y 0(2<x<2).變式訓(xùn)

18、練 3解(1) 由已知得 b 4，且c5c21，a，即5a25 a2 b2 1，解得 a2 20，a2522xy橢圓的方程為1.2016則 4x2 5y2 80 與 y x 4 聯(lián)立，消去 y 得 9x2 40x 0， x10， x2 409，所求弦長 MN 1 12|x2 x1|4029 .(2) 如圖，橢圓右焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 (2,0)，設(shè)線段 MN 的中點(diǎn)為 Q(x0， y0)，由三角形重心的性質(zhì)知BF2FQ，又 B(0,4) ， (2， 4) 2(x0 2， y0)，故得 x0 3， y0 2，即得 Q 的坐標(biāo)為 (3， 2).設(shè) M(x1， y1)， N(x2， y2)，則 x1

19、x2 6， y1 y2 4，2222且 x1 y1 1， x2 y2 1，20162016 y以上兩式相減得x xx x2y2y y0，1211122016kMN y1 y2x1 x24·x1 x25 y1 y2 4×6 6，5 45故直線 MN 的方程為 y 26(x 3)，5即 6x 5y 28 0.常考題型精練1.6解析因?yàn)?e c1， y2 8x的焦點(diǎn)為 (2,0)，所以 c 2，a 4，故橢圓方程為x2 y2 1，a21612將 x 2 代入橢圓方程，解得y ±3，所以 AB 6.x2y22.132解析由 e3得 c 33 a 3 .又 AF1B 的周長

20、為4 3，由橢圓定義，得4a 43，得 a3，代入 得 c1， b2 a2c2 2，x2y2故 C 的方程為 3 21.3.62解析如圖所示，設(shè)以(0,6)為圓心，以r 為半徑的圓的方程為x2x2 (y 6)2 r2(r>0) ，與橢圓方程 y2 1 聯(lián)立得方程組，消掉 x2 得 9y2 12y r2 46 0.令 122 4× 9(r2 46) 0，解得 r2 50，即 r 52.由題意易知P， Q 兩點(diǎn)間的最大距離為r2 62.4.2解析由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長為2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，不妨令 P 在雙曲線的右支上 .由雙曲線的定義知|PF 1| |PF2 |2

21、m， 由橢圓的定義知|PF1| |PF 2| 2a， 又 PF1PF2， F1PF2 90°， |PF1|2 |PF 2|2 4c2， 式的平方加上 式的平方得|PF 1|2 |PF 2|2 2a2 2m2， 22由 得 a2m2 2c2，即 ac2mc2 2， 12 122. e1 e23 25. 3 ， 2解析 設(shè) M(x0， y0)，則 MF 1 ( c x0， y0)， MF 2 (c x0， y0)， MF 1·MF 2 x02 c22222x20b2222c2222.x0 a，a， 當(dāng) x0 ±a 時(shí)，y0 x0 c b1 2 12x0 c b 2 x

22、0 c baaaMF 1·MF 2有最大值 b2， c2b2 2c2， c2 a2 c2 2c2， 2c2 a2 3c2，1 c21， e3，22.3 a2326.12x2y2解析橢圓94 1 中， a3.如圖，設(shè) MN的中點(diǎn)為 D，則 DF 1 DF 2 2a6.D ， F1， F2 分別為 MN， AM， BM 的中點(diǎn)，BN 2DF 2，AN 2DF 1，AN BN 2(DF 1 DF 2 )12.27. 222x1 y1 1，解析設(shè) A(x1， y1)， B( x2， y2)，則a2b222x2 y2 1，a2b2 x1 x2 x1 x2 y1 y2y1 y2 0，a2b21y

23、2212ybx xx x2·.ay y2121y1y21，122x xx1 x2 2， y1y2 2，2b1 a2 2b2.又 b2 a2 c2，c 2 a2 2(a2 c2 )， a2 2c2， a 2 .8.x23y2 12解析設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (x0， y0).2x2 y2 1，b F 1( 1 b2 ，0)， F 2( 1 b2， 0).AF 2 x 軸， A(1 b2， b2).AF 1 3F1B， AF1 3F1B，( 21 b2， b2) 3(x0 1 b2，y0).2 x0 53 1b2， y0 b3 .51b2，b2點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 33 .將B51 b2， b2

24、代入 x2 y2 1，33b22得 b2 .3橢圓 E 的方程為3x2 y2 1.29.解 設(shè)橢圓的焦距為2c，則 F 1( c,0)， F 2(c,0).(1) 因?yàn)?B(0， b)，所以 BF2 b2 c2 a.又 BF22，故 a 2.因?yàn)辄c(diǎn) C 4，1在橢圓上，33161所以 9292 1，解得 b2 1.ab故所求橢圓的方程為x2y21.2(2) 因?yàn)?B(0， b)， F 2(c,0)在直線 AB 上，所以直線 AB 的方程為 x y 1.c bx y 1，x1 2a22c2，x2 0，cba c解方程組x2y2得2b c2 a2a2 b2 1，y1 a2 c2，y b.所以點(diǎn) A

25、 的坐標(biāo)為2a2c，b c2a2.a2 c2a2 c2又 AC 垂直于 x 軸，由橢圓的對稱性，可得點(diǎn) C 的坐標(biāo)為2a2c，b a2 c2.a2 c2a2 c2b a2c2因?yàn)橹本€ F 1C 的斜率為a2 c2 0b a2 c2，2a2c3a2c c3a2 c2 c直線 AB 的斜率為 b，且 F 1C AB，cb a2 c2b 1.所以 3a2c c3 · c又 b2 a2 c2，整理得 a2 5c2.故 e2 1，因此 e 5.5510.解(1)由橢圓的定義，得2a PF1PF 2 (22) (22) 4，故 a 2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF 1 PF2，因此 2c F1

26、F222PF1PF2 2 222 222 3，即 c 3，從而 b a2c21.x2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4 y2 1.(2) 方法一如圖，設(shè)點(diǎn) P(x ， y )在橢圓上，且PF PF，則001222x0y02222 21， x0 y0 c ，aba求得 x0 ±a2 2b2，cb2y0 ±c .由 PF 1PQPF 2 得 x0 0，從而2a a2 2b2 c2b4PF 1 2 .cc 2(a2b2) 2a a2 2b2 (a a2 2b2)2.由橢圓的定義，PF 1 PF 2 2a，QF 1 QF 2 2a，從而由 PF1 PQ PF2 QF 2，有 QF 1 4a

27、2PF1.又由 PF1 PQ， PF1PQ，知 QF12PF1 ，因此， (22)PF 1 4a，即(2 2)(a a2 2b2) 4a，于是 (22)(12e2 1) 4，解得e14 1263.21 2 2方法二如圖，由橢圓的定義，得PF1 PF2 2a，QF 1 QF 2 2a.從而由 PF1 PQ PF2 QF2，有 QF1 4a 2PF1.又由 PF1 PQ， PF1PQ，知 QF12PF1 ，因此， 4a2PF 12PF1，得 PF 1 2(22)a，從而 PF2 2a PF 1 2a2(2 2)a2(2 1)a.2222由 PF 1PF 2，知 PF 1 PF2 F 1F2(2c)

28、，因此c22PF PF2ea12a22 221 2 962 6 3.11.解(1) 過點(diǎn) (c,0)， (0， b)的直線方程為bxcy bc 0，則原點(diǎn) O 到該直線的距離dbcbc，b2c2a由 d 12c，得 a 2b2 a2 c2，解得離心率 ac 23.(2) 方法一 由 (1) 知，橢圓 E 的方程為 x2 4y2 4b2. 依題意，圓心 M( 2,1)是線段 AB 的中點(diǎn)，且 AB 10.易知， AB 與 x 軸不垂直， 設(shè)其方程為y k(x 2) 1，代入 得 (1 4k2)x2 8k(2k 1)x 4(2k 1) 2 4b2 0，8k 2k 1設(shè) A(x1， y1)，B(x2， y2)，則 x1x21