桿的模型研究及受力情況分析

1、桿的模型應用及受力情況分析彭兆光江蘇省蘇州市笫一中學215006中學物理研究問題的思想方法，雖然在 課木中沒冇明確指出，但它已經(jīng)滲透到各部 分內容的敘述中，只要留心就會發(fā)現(xiàn)這樣的 事實，物理學研究問題時，往往先從大量的 事實中，抽象出它們的化身理想化模型（如描述物體的有：質點、點電荷等；描 述運動的有：勻變速點線運動、勻速圓周運 動、簡諧振動等：描述過程的有：彈性碰撞、 等溫變化、等幅振蕩等；描述狀態(tài)的有i熱 學小的平衡狀態(tài)、電學屮的靜電平衡等；描 述器件的有：如單擺、理想電表、理想變壓 器等），再對模型進行研究，得出有關 的定義、概念、規(guī)律等知識，最后用這些規(guī) 律性的知識去解決問題，這就是屮

2、學物理研 究問題的基本方法。即從實際問題分析總紈御 a模型嚇御；a規(guī)律嘶決a實際問 題。因此，在解決實際問題時，能否全而的 掌握已經(jīng)學過的模型（條件、范圍、意義等）, 是否能從問題所設定的情境中恰當?shù)卮_認 模型、正確地建立模型、熟練地應川模型是 解決問題的關鍵。物理學中桿是很常見的。由于桿在實際 中往往起到傳遞力和力矩的作用，它受到的 可能是壓力、拉力，有時可能是切力。其方 向町能沿桿的方向，也可能和桿有一定的夾 角。正是因為這樣，實際中在沒有明確給出 桿的質雖的情況下，我們通常將桿簡化為： 沒有質雖:，不考慮粗細及形變的輕質細桿， 即輕質細桿模型。但實際問題是復雜的，在 有些情況卜-只能將桿

3、簡化為：沒有質量、沒 有形變，但必須考慮粗細的輕質粗桿，即輕 質粗桿模型。對桿的這兩種模型來說，無論桿受力怎 樣，運動狀態(tài)如何，總有：其合力為零；力 矩的代數(shù)和為零，這是分析輕質桿受力問題 的依據(jù)。現(xiàn)舉例分析兩種模型的應用。例1 小車上有輕質桿支架，b端固 定一質量為m的小球，adc端為餃鏈，d 為ab的中點，cb兩點在同一水平線上， 如圖1所示，則1）當小車靜止時,球和cd桿對' ab桿的作用力各多大？ 2）當小車以 加速度a向左運動時，球和cd桿對ab的作用力又怎樣？分析：1）當小午 靜止時，系統(tǒng)平衡，耍 分析小球和cd桿對ab 桿的作用力，必須先分析小球和cd桿的受力情況。 以小

4、球為研究対象：受力 如圖la,這時有f=mg, 即小球給ab桿的作用力 大小為mg,方向豎直向下。 以cd桿為研究對象：c端 和d端各受一個力作用（cd為輕質細桿，不計桿 的重力）而平衡，這兩個力 一定合力為零，介力矩為零。 受力如圖lb,其方向定沿 cd連線，大小相等，方向 相反，與cd的形狀無關。 因此ab桿受力如圖lc, 以a為軸，由xm=0得：f） absin a圖1圖lcni adsin(180°-2a )=0所以 ni 4 = mg/cos « 2）當小車以加速度a 向左運動時，以小球為 研究對象，這時桿給小 球的作用力既有豎直分 量和mg平衡；乂有水 平分量產

5、生加速度a,如圖id,冇 f2=mtg b =a/g cd桿的受力 故對ab桿,受力如圖le 為軸，由xm=0得：f2 'absin（ a 一 9 ）-n2 adsin （ 180° 一2 a ） =0所以 n? =m（gtga -a）/sin a可見，當a<gtg a 時，gtg 0 <gtg a 則 b < a , cd桿中有壓力沿時旨向c, ab桿的b端 i。'不沿桿。當a=gtga時，0 = a , cd桿中無力， ab桿b端f?'沿ab桿。當a>gtg a時，0>a, cd桿中有拉力, 沿cd方向，ab桿b端心'

6、的反向延長線在zabc 內。例2.如圖2所示，質量均為m的小球故將fa分解為豎直分®fay = mg-n,水平 分量fax = f，則：fa= j/? +（嘩 一 ny =10 a/5 n方向與水平成tga=l/2同理，球受到ad桿d端的力過d、eabcd分別用輕質桿相連，ab = cd = 2l, ac、 bd、0e為細繩，且ac=bd=l, e為ab的中點，試求：bd剪斷瞬時，0e繩內的張力？分析：因為桿為輕質桿, 每個小球及桿的受力如圖 2a,下桿不受力（否則不能 滿足合力為冬， 合力矩為零）， 而 aia2a3定 相等（因為ac 間繩不可伸長 ae=be） 由此可得方程:mg

7、+t 1 一n | = man2mg=ma mgt | =ma n1l=n2l 解得：n i =n2 =4mg/3 所以 t=ni +n2 = 8mg/333=man）ac圖2 “n2兩點，受力如圖3b。 fd方向與水平成45。角。 仔細分析球的受力情 況就會發(fā)現(xiàn)存在嚴重的 問體，球受力不滿足平 衡條件。對球無論fd的 大小怎樣，要豎直方向 平衡，則水平方向不平n圖3b衡；要水平方向平衡，則豎直方向不半衡。vi cvmgmga?例3、質量為m=6kg半徑為r的球b, 固定在少半徑等長的輕桿ad的一端，另一 端可繞a轉動,球擱在放置于水平地血的物體c上，此桿水平，如圖3,球與物休間的動摩擦因數(shù)卩

8、=0.4,將物體從球下勻速向右 抽出，則桿的兩端受到的力如何？ （g=10m/s2）分析：桿球受 力情況如圖3a,桿 球受力可轉化為 三個共點力,fa必過a、e兩點，桿球受力情況如圖3a, 以為a轉動軸尸人 m = 0得方程：x mg2r=n2r+fr f= |1n解得：n=50n 所以,f=20nnvmg圖3a為什么會出現(xiàn)這樣的結果呢？原因是這種 情況下把桿看成理想的細桿，與球接觸處為 一個點，即把桿看成輕質細桿模型是錯誤 的。假如桿與球接觸處真為一個點，拉動c物體時桿受合力矩不為零，必然轉動，d處 必被折斷。所以這種情況桿與球接觸處應為 一個面，當拉動c時，桿與球z間有兩個力 fdi、fd

9、2,且這兩個力要產牛一個扭轉力矩, 即這種情況下桿的粗細不能忽略。桿球受力 如圖3c,建立正確的桿的模型以示，所存在 的問體都迎刃而解了。mg圖3c例4、一根長為2l,質量不計的硬桿,桿的中點和右端各固定一個質量為m的小球a、b,桿可帶著兩小球亦豎宜面內繞o點轉動，若桿從水平位置靜止釋放，當桿下落到豎直位置時，q 如圖4所示，求 兩小球z間的桿 ab對a、b小球 做的功？并分析 ab桿的受力悄況？ j分析：a、b兩球在下擺的過程中系統(tǒng)機 械能守恒。因為是輕質喚桿連接，所以任意 時刻兩球繞0轉動的角速度相等，故a、b 兩球在豎直位置時速度關系為：vb=co 2l = 2co l=2 va以過o點

10、的水平面為零勢面，由系統(tǒng)機械能 守怛得：一m v： + m mglmg2l =0 解得:桿対a球做的功等于a球的機械能增量，1 7 2即 wa = m vj mgl= mgl52即樸對a球做負功一mgl。桿對b球做的功等于b球的機械能增1 ° 2量，即wb= mvy mg2l= mgl52即桿對b球做正功一mgl?？梢姉U對a、b兩球做功的代數(shù)和為零。來說，桿給它的力fbi、fb2的切向分量與速 度方向相同，故做正功；其徑向分量和重力 的徑向分量共同提供b球做圓周運動的向心 力。對桿ab來說,a端受到fa、fa2作用, b 端受到 fblfb2' 作用，其+fai' = fbl' 、 fa2 = fb2 ，血力偶fai 、 fbl , fa2'、fb2的力矩大小相等，轉動方向相反, 這樣對桿合力為零，合力矩也為零，滿足平 衡條件。fa|綜上所述，在分析輕桿的受力時，要根 據(jù)實際情況，正確應用桿的模型，才能得出 正確的結論，才能解開有些問題的癥結。既然桿ab對a、b球都做功，那么桿 的受力情況怎樣呢？這又牽涉到桿的模型 問題，若取輕質細桿模型，則受力如圖4a圖4a這種情況對a、b 兩球受力看不出 問題，但對ab 桿受力則很容易 看出f；和f方的 合力矩不為零， 不滿足力矩平衡條件。果真這樣的話，oab 將被折彎，不在一肓線