軌跡問題的探究性學(xué)習(xí)

1、軌跡問題的探究性學(xué)習(xí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中，關(guān)于軌跡的討論，主要冇兩類：嘰何軌跡”-是指由一個(gè)幾何結(jié)構(gòu)中的動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的軌跡圖形?！狈匠痰能壽E”一是指由代數(shù)方程ax,y) = 0的解集g=p=(x,y)|f(x) =o,xgd所構(gòu)成的 圖像。構(gòu)成兒何軌跡的要素有3:兒何結(jié)構(gòu)，主動(dòng)點(diǎn)，軌跡點(diǎn)，而軌跡點(diǎn)是受兒何結(jié)構(gòu)約束的。構(gòu)成方程軌跡的要素有2:定義域d和方程= 兒何軌跡的的學(xué)習(xí)是初三的課程，方程軌跡的學(xué)習(xí)是高二的課程，當(dāng)中包括了用方程來描述 幾何軌跡的問題-求幾何軌跡的方程。研究兒何軌跡的方法是：1. 根據(jù)給定的條件，設(shè)計(jì)并作出相關(guān)的兒何結(jié)構(gòu)；2. 作出軌跡圖形。由于初中課程的限制，結(jié)果并不要求推導(dǎo)軌跡方程

2、，重要的是設(shè)計(jì)并作出相關(guān)的幾何結(jié) 構(gòu)。研究方程軌跡的方法是：1. 根據(jù)給定的條件，由公式或其他方法，建立能表達(dá)該條件的數(shù)學(xué)方程=0和定義 域d；2. 解方程、描點(diǎn)，得到軌跡的圖像。高屮課程的重點(diǎn)是建立方程。建立方程要靠數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法和演譯推理，最好還是 用人腦紙筆作業(yè)。解方程和作圖主要是一些大量的重覆而繁瑣的工作，宜借助電腦完成。如果研究的是幾何軌跡的方程，則首先要作出相關(guān)的幾何結(jié)構(gòu)，作出幾何軌跡，這冇助 于建立方程的思考，并對所得方程進(jìn)行檢驗(yàn)-方程軌跡與幾何軌跡是否重合。 無論是作幾何結(jié)構(gòu)或函數(shù)圖像都要借助工具，下而問題將在dm_lab環(huán)境中進(jìn)行探究。一. 幾何軌跡的探究幾何軌跡的探究著

3、重在幾何結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。下而以”平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離z“和、差、積、商"為定值的點(diǎn)的軌跡”為例。1 .平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡操作參考圖例說明方法11用.作兩點(diǎn)fi和f2；2. 用。以f為心作圓f,半徑 r> |fif2|;3. 用在圓周上取一點(diǎn)a;4. 用一作線段af1?af2;5. 用+作af2中垂線bc交 afi 于 c;6. 選藍(lán)色，用廠跟蹤點(diǎn)c;7. 用點(diǎn)一下a點(diǎn)，建立自動(dòng) 動(dòng)畫。8. 暫存1. 這樣的幾何結(jié) 構(gòu)需要證明其滿 足給定的條件。易證:cf1+cf2 = cf|+ca = r=定值。2. 可用包縮放圓 的半徑，改變定 值。1用作兩點(diǎn)f|和f2；2.

4、用-作線段ab,使得: |ab| > |f,f2|3. 用在ab上取一點(diǎn)c;4. 用一作線段ac和cb;5. 用g）作以f為心,ac為半徑 的圓fi；6. 用g）作以f2為心,cb為半徑 的圓f2;7. 用沢作兩圓交點(diǎn)pi和p2；8. 藍(lán)色,用廠跟蹤點(diǎn)pbp2；9. 用點(diǎn)一下c點(diǎn)，建立自動(dòng) 動(dòng)畫。c1.這樣的幾何結(jié) 構(gòu)顯然有p1f1+pf2 =ac+cb = ab=定值。2.移動(dòng)a或b可 改變該定值。10. 暫存2.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之差為定值的點(diǎn)的軌跡作 操例 圖 考 參明 說方法1動(dòng) 自 令立 im建 * 二 圖,?焉 的fla 5圓，下 和小f2i一 ”縮f1點(diǎn)jo 出窺<!

5、# 取用r用動(dòng)暫 l 23.41- 惻定 =r放變11=縮改 icffio可半。 b定 2的值方法2度 動(dòng) zk 自 的 立 b ，建 劉bad昭點(diǎn) 的善if為c n2./<ifb 下 和點(diǎn)bi<a 一 ” bab改點(diǎn)。 出動(dòng)ci-存 取移仗用用動(dòng)暫 l z3.4.5.a - £b一一 可 頂可改拖 b31上 1*>乍。 a b.a裂叭n力 - 或&o像臥如動(dòng)紅 blalffi圖有竝咬篩 -c軌果辭網(wǎng)動(dòng)帥 a-lo紐該 口tji口 工" ic值移變女附消手c 定2.改3.點(diǎn)取為動(dòng) 注符合條件的兒何結(jié)構(gòu)不是唯一的，這里只是其中的兩例，更多的方法可以讓

6、學(xué)生去探 究和討論，這有助于提高學(xué)生幾何知識(shí)的運(yùn)用和數(shù)學(xué)的思維能力，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng) 的培育。3. 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡參考圖例方法11用 i作兩點(diǎn)f和f2；2. 用-作線段ab,使得： |ab|>|f|f2|3. 用在ab上取一點(diǎn)c;4. 用i連結(jié)ac;5. 測量ac長度，得變量a；6. 在參數(shù)監(jiān)察欄輸入:d = 37. 在參數(shù)監(jiān)察欄輸入:b=d/a8. 用=作線段de=b;9. 用®作以fi為心,de為半徑 的圓 fi,ri=de;10. 用g）作以f2為心,ac為半 徑的圓f2, r2=ac；11用x作兩圓交點(diǎn)p和p2；12. 紅色,用跟蹤點(diǎn)pbp2；

7、13. 用，點(diǎn)一下c點(diǎn)建立自動(dòng) 動(dòng)畫。cbd e，測量項(xiàng)目acfs點(diǎn)間的距離f1f2兩點(diǎn)間的距離測量値 xy1y2| a = 2 47ccclc = 3.16r r r i-e1r|r2 = deac=ab=d=定值。2.修改d的值，例 如改d=5,可改變 該定值。是敷監(jiān)袈斶（請怖&箕式id=3b=d/a|動(dòng)態(tài)參數(shù)軌跡條件區(qū)丫2）4.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之商（比）為定值的點(diǎn)的軌跡操作參考圖例說明方 法11. 用作兩點(diǎn)fi和f2；2. 用一作線段ab；3. 用ab上取一點(diǎn)c;4. 用i連結(jié)ac;5. 用g）作以fl為心,ac為半徑 的圓 fi,ri=ac;6. 用°作以f2為心,

8、ab為半徑 的圓 f2, r2=ab；7. 用x作兩圓交點(diǎn)pi和p2；8. 紅色，用廠跟蹤點(diǎn)pbp2;9. 用鼠標(biāo)慢慢拖動(dòng)b點(diǎn)移動(dòng)。acb *1. c是線段ab的內(nèi) 分點(diǎn)，當(dāng)a或b移 動(dòng)時(shí)，c的分比不 變。即 ac:ab= 值。r1：r2=ac:ab=定 值。2. 移動(dòng)c的位置， 可改變該定值。注以上是一些兒何軌跡的例，這些軌跡都是由特定的兒何結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的。設(shè)計(jì)這些兒何結(jié) 構(gòu)，要根據(jù)給定的條件，再運(yùn)用幾何知識(shí)或有關(guān)幾何定理，很考究心思。產(chǎn)生同樣軌跡 的幾何結(jié)構(gòu)不是唯一的，這里冇廣闊的創(chuàng)意空間?？梢猿蔀樾〗M討論或創(chuàng)意活動(dòng)的課題。 幾何軌跡一般是按排在初三課程的后期，多數(shù)幾何內(nèi)容學(xué)過z后進(jìn)行，因此也

9、可以作為 對前面知識(shí)的拓展應(yīng)用。例如：運(yùn)用i員i幕定理，設(shè)計(jì)一個(gè)能產(chǎn)生”到兩點(diǎn)距離z積為常量”的點(diǎn)的軌跡。學(xué)生首先要冋憶圓幕定理講的是什么。圓幕定理包括三條定理，其中之一叫相交弦定理。如下圖：圓0上兩弦ab和de相交于c點(diǎn)，貝ijec cd = ac cbo如果a、b、c不動(dòng)，讓d點(diǎn)繞圓周一圈，則有eccd = accb=常量。而ec和cd 卻是變量。如果以ec和cd為半徑作兩個(gè)圓，兩圓不要離的太遠(yuǎn)，讓它們能相交，貝恢點(diǎn)到兩圓 心的距離z積就是一個(gè)常量。那么，交點(diǎn)的軌跡滿足題口條件，就是所求。操作參考圖例說明11. 用作圓0；2. 用一作弦ab, a、b在圓周 上；3. 用在ab±取

10、一點(diǎn)c；4. 用一作cd, d在圓周上；5. 用x作cd與圓0交點(diǎn)e；6. 用i連結(jié)ec；7. 用作兩點(diǎn)fi和f2；&用g)作以f|為心,ec為半徑 的圓 fi,ri=ec;9. 用°作以f2為心,cd為半 徑的圓f2, r2=cd;10. 用x作兩岡交點(diǎn)pl和p2；11. 紅色，用廠跟蹤點(diǎn)pbp2；12. 用，點(diǎn)一下d點(diǎn)，建立自 動(dòng)動(dòng)畫。d1. r|r2 = eccd=accb=定值。2. 移動(dòng)c的位置， 可改變該定值。3. 完成后再玩一 玩：用點(diǎn)一下c 點(diǎn)，出現(xiàn)的是一條 怎樣的軌跡？二. 兩數(shù)軌跡的探究所謂函數(shù)的軌跡，就是方程的曲線，主要是解方程描點(diǎn)。這交給電腦去做好了，

11、探究的 空間只是參數(shù)對圖像的影響。這是高中課程的內(nèi)容。下面以”平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之“和、差、積、商"為定值的點(diǎn)的軌跡”為例。1.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡操作參考圖例說明方 法11. 開啟座標(biāo)格線，作座標(biāo)軸，顯示 刻度。2. 從工具打開函數(shù)作圖;3. 用 1作兩點(diǎn)f和f2；4. 測量點(diǎn)f|的x、y座標(biāo)得變量a 和b；5. 測量點(diǎn)f2的x、y座標(biāo)得變量c 和d；6測量點(diǎn)r到f2的距離,得變量 e；7.在函數(shù)輸入欄輸入： hf=>sqrt(x-a)a24-(y-b)a2)+sqrt(x c)a2+(y-d)a2) = k&設(shè)k為參數(shù)，要初值 > 變量e；j

12、（x_q）2 +（尹_疔 +j（兀 _ c）2 + （y _ d）2 = k2. 差、積、商的作圖方法幾乎完全相同，只是輸入函數(shù)不同而以，這里從略。下面只給出 圖例。要注意的是參數(shù)k要冇適當(dāng)?shù)姆秶?，不是任意的k值都有圖像。原因留給學(xué)生去思考。商(比)hf=>abs(sqrt(x-a)a2+(y-b)a2)-sqrt (x-c)a2+(y-d)a2)=k參數(shù)k的初終值都要小于變量cohf=>sqrt(x-a)a2+(y-b)a2)*sqrt(x- c)a2+(y-d)a2)=k受dm_lab精度的限制，參數(shù)k的初值贏好>=2。hf=>sqrt(x-a)a2+(y-b)a2

13、)/sqrt (x-c)a2+(y-d)a2)=k 參數(shù)k可取(0,5)試試。o丄 ii 用用用用 l z / 4口 a向x軸作垂線，垂足為b,沿oa方a三. 求幾何軌跡的方程解析兒何學(xué)習(xí)屮較困難的要數(shù)求軌跡的參數(shù)方程了，題目一般是沒有附圖的，圖形要學(xué)生自 己畫圖，圖形畫不好不但使解題無從著手，而凡還可能形成誤導(dǎo)。獲得答案后，也難以驗(yàn)證。 此處給出3例，可作為解題和驗(yàn)證的參考。例1.如圖，圓0(0,0)的半徑r = 5, a是岡周上一點(diǎn), 向截取oc = ab,求c點(diǎn)軌跡方程。作圖,作圓6以(0,0)為心，5為半徑；,在圓周上取一點(diǎn)a；,作ab丄x軸；,沿oa截取oc=ab；5.選擇顏色，用4

14、跟蹤c的軌跡； 操作：拖動(dòng)a點(diǎn)移動(dòng)，畫出點(diǎn)c的軌跡。解：(1) oa = 5(cos<9, sin 0)(2) |oc| = |ab| = 5|sin&|(3) oc = 5 | sin & | (cos sin 0)軌跡方程："5|sin&|cos& = 5 | sin | - sin驗(yàn)證1. 在函數(shù)輸入欄輸入 tf=>x=5*abs(sin(t)*cos(t),尸5*abs(sin(t)*sin(t),(按enter)2 2例2.過橢|員|二+乩=1上一點(diǎn)p(-8, 0)作直線交橢圓于q點(diǎn)，求pq中點(diǎn)的軌跡。 6436作圖1. 用q,作

15、橢圓6其屮a = 8, b = 6；2. 用，在x軸上作一點(diǎn)p (-8, 0)；3. 用i,作線段pq, q在橢圓上；4. 用i,作pq中點(diǎn)m；5. 選擇顏色，用口跟蹤c的軌跡；解：橢圓的參數(shù)方程：<1 x = 8 cos 0 y = 6 sin 6操作：拖動(dòng)a點(diǎn)移動(dòng)，畫出點(diǎn)c的軌跡。由已知p = (-8, 0),設(shè)pq屮點(diǎn)為m(x,y)=竺里由q在橢圓上=>q = (8 cos幺6sin0),、“ (一8 + 8cos& 0 + 6sin&) z二二m = , =(-4 +4 cos 6,3 sin 0)k 22)m點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程：m：l?osj-4,消去參數(shù)g

16、 =血空+疋=u = 3sin169驗(yàn)證：在函數(shù)輸入欄輸入 tf=> x=4*cos(t)-4, y=3*sin(t),按enter 思考：如果m是pq的2/3分點(diǎn)，則軌跡及方程又如何？ 例3.已知：1. 原點(diǎn)o(0,0),圓o半徑為4,2. 點(diǎn)a在x軸上:a(5,0)3. 點(diǎn)b在圓周上，4. cd為ab中垂線，cd長為4 求:d點(diǎn)的軌跡方程作圖1. 用g),作圓o,以(0,0)為心，4為半徑;2. 用，在x軸上作一點(diǎn)a (5,0)；3用i,作線段ab, b在圓0上；4. 用i,作ab中點(diǎn)c；5. 用丄，作ck丄ab,6用i自由線段，利用網(wǎng)格作一線段a = 4；7.用=xl_j,沿 ck

17、 截取 cd = a；&選擇顏色，用4跟蹤d的軌跡；操作：拖動(dòng)b點(diǎn)在圓周上滑動(dòng)一周，畫出點(diǎn)d的軌跡。解：(1) 寫出a、b、c各點(diǎn)座標(biāo)：a = (5,0)b =( 4cos0, 4sin0)c = (5 + 4 cos 0, 4 sin 0)(2) 寫出向量cb = 4 cos & 一 ' +, 2 sin 0 =-(-(5-4 cos 4 sin 0)k2丿2由 cd丄cb, |cd| = 4 得：cd =4(4 sin 0, 5-4 cos &)7(5-4 cos+(4 sin &)?(3) 寫出d點(diǎn)座標(biāo)-d點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程：由 od = oc +

18、cd：5 + 4cos&16sin&i2j(5-4cos&)2+(4sin&)2 c ° ,4(5-4 cos 6>)y = 2 sin 0 + /7(5-4 cos 0)2 + (4 sin 0)2驗(yàn)證1.在函 數(shù)輸入欄輸入 tf=> x=(5+4*cos(t)/2+16*sin(t)/sqrt(5-4*cos(t)a2+(4*sin(t)a2), y=2*sin(t)+4*(5-4*cos(t)/sqrt(5-4*cos(t)a2+(4*sin(t)a2),按enter拓展：本題，如果b點(diǎn)不在圓周上，而在函數(shù)y = sinx曲線上，求d點(diǎn)軌跡的參數(shù)