分?jǐn)?shù)除法單元設(shè)計(jì)

1、六年級(jí)上冊(cè)第三單元“分?jǐn)?shù)除法”教材介紹   一、教學(xué)內(nèi)容1倒數(shù)的認(rèn)識(shí)。2分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算。3問題解決。二、教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生理解倒數(shù)的意義，掌握求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法。2使學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)除法的意義，理解并掌握分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，會(huì)進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法計(jì)算。3使學(xué)生會(huì)解決一些和分?jǐn)?shù)除法相關(guān)的實(shí)際問題。4使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體會(huì)并掌握模型、方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。三、主要變化與具體編排（一）主要變化除了把“倒數(shù)”從“分?jǐn)?shù)乘法”單元移過來和把“比”的內(nèi)容另設(shè)單元以外，本單元還有兩個(gè)較大的變化。1刪去“分?jǐn)?shù)除法意義”的相關(guān)例題?？紤]到學(xué)生對(duì)整數(shù)乘、除法之間的關(guān)系已經(jīng)非常熟悉，修訂后的教材不再單

2、獨(dú)設(shè)置有關(guān)“分?jǐn)?shù)除法意義”的例題，只在相關(guān)練習(xí)中進(jìn)一步鞏固分?jǐn)?shù)乘、除法之間的關(guān)系。2增加兩類“問題解決”。第一類是和倍、差倍問題（兩個(gè)量之間的“倍數(shù)關(guān)系”是以“幾分之幾”的形式出現(xiàn)的）。在這類問題中，有兩個(gè)未知量，這兩個(gè)未知量之間的數(shù)量關(guān)系也有兩個(gè)。例如，第41頁例6中，兩個(gè)未知量分別是“上半場得分”和“下半場得分”，兩個(gè)數(shù)量關(guān)系分別是“上半場和下半場共得42分”和“下半場得分是上半場的一半”。解決時(shí)，可以設(shè)其中一個(gè)未知量為x，利用其中的一個(gè)數(shù)量關(guān)系，用代數(shù)式表示出另一個(gè)未知量，再利用另一個(gè)數(shù)量關(guān)系列出方程。設(shè)的未知數(shù)不同，列代數(shù)式和列方程所依據(jù)的數(shù)量關(guān)系不同，列出的方程也完全不同。例如，本例

3、就可以列出如下一些方程。設(shè)其中一個(gè)未知量為x如果設(shè)上半場：x分如果設(shè)下半場：x分用代數(shù)式表示出另一個(gè)量下半場：(42-x)分（依據(jù)“全場得42分”）下半場：x分 （依據(jù)“下半場得分是上半場的一半”）上半場：(42-x)分（依據(jù)“全場得42分”）上半場：2x分（依據(jù)“下半場得分是上半場的一半”，即“上半場得分是下半場的2倍”）列出方程42-x=x或 x=2(42-x)(依據(jù)“下半場得分是上半場的一半”或“上半場得分是下半場的2倍”)x+x=42 （依據(jù)“全場得42分”）x=(42-x) 或42-x=2x(依據(jù)“下半場得分是上半場的一半”或“上半場得分是下半

4、場的2倍”)2x+x=42（依據(jù)“全場得42分”）雖然這些方程之間可以通過變形互相轉(zhuǎn)化，但其背后的思考角度是各不相同的。教學(xué)時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生說一說解決問題的完整過程，并通過不同解法的交流，養(yǎng)成多角度地思考問題的習(xí)慣。第二類是可用抽象的“1”來解決的實(shí)際問題。教材利用修路這一“工程問題”來引入，使學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解答問題的過程。例如，學(xué)生會(huì)認(rèn)為題中缺少解題的信息，此時(shí)，教師追問：缺少什么信息呢？學(xué)生會(huì)回答：不知道公路長多少千米。這樣就很自然地引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)公路總長為某個(gè)具體的長度，把新問題轉(zhuǎn)化為舊問題，加以解決。通過學(xué)生之間的交流，發(fā)現(xiàn)雖然假設(shè)的公路具體長度不同，得到的結(jié)果卻是相同

5、的，使學(xué)生產(chǎn)生探究原因的欲望。通過分析，發(fā)現(xiàn)不管公路總長是多少，兩隊(duì)每天修的長度分別占總長度的和是不變的，這也是能得到相同結(jié)果的內(nèi)在原因。此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步抽象，可用“1”來表示公路總長。教學(xué)此例時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)。第一，這里不是要系統(tǒng)地教學(xué)各類“工程問題”，教學(xué)時(shí)不要對(duì)“工程問題”多變式、深挖掘、廣訓(xùn)練。第二，不必要求學(xué)生死記硬背“工作總量÷工作效率=工作時(shí)間”等數(shù)量關(guān)系，只要會(huì)用具體的語言描述出來就可以，如“公路的總長÷每天修的長度=需要修的天數(shù)”。第三，最重要的不是讓學(xué)生記住結(jié)論，尤其不要把列出“1÷（+）”這一最簡形式的算式作為教學(xué)的終極目標(biāo)，形成“解題套路

6、”，而是要讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程，掌握問題解決的技能和策略。 例如，假設(shè)的方法是解決此類問題的重要策略，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的有效方法。如果學(xué)生認(rèn)為把公路總長假設(shè)成一個(gè)具體的量來解決更易于理解，要允許學(xué)生繼續(xù)采用這種一般性的解題思路。把公路總長假設(shè)成“1”（而不是1 km），需要學(xué)生具有更抽象的數(shù)學(xué)思維。第四，要結(jié)合問題解決，使學(xué)生體會(huì)和運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想和方法，積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在此例的教學(xué)中，要注意體現(xiàn)變中有不變的思想、抽象的思想、模型的思想。為了讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)模型化的思想，教材特意在練習(xí)中編排了運(yùn)輸問題、行程問題、泄洪問題、種樹問題，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)：雖然這些問題的現(xiàn)實(shí)背景各不

7、相同，但其背后的數(shù)量關(guān)系是相同的。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)透過紛繁蕪雜的現(xiàn)實(shí)情境的表象，找出體現(xiàn)數(shù)量之間本質(zhì)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。（二）  具體編排1倒數(shù)的認(rèn)識(shí)（1）例1。教材編排了幾組乘積為1的乘法算式，使學(xué)生通過計(jì)算、觀察、討論等活動(dòng)，歸納出它們的共同規(guī)律，引出倒數(shù)的定義，并用實(shí)例突出“互為倒數(shù)”的含義。然后引導(dǎo)學(xué)生思考互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)有什么特點(diǎn)；如果兩個(gè)數(shù)都是分?jǐn)?shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的分子、分母交換位置；如果一個(gè)是整數(shù)，那么另一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是1，分母就是該整數(shù)，為例1的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。例1教學(xué)求倒數(shù)的方法。教材先安排找倒數(shù)的活動(dòng)，初步體驗(yàn)找倒數(shù)的方法：調(diào)換分子、分母的位置。在總結(jié)

8、求倒數(shù)的方法時(shí)，要分三種情況：求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)；求整數(shù)的倒數(shù)；1和0的倒數(shù)的問題。對(duì)于1和0的倒數(shù)問題，因?yàn)?×1=1，所以1的倒數(shù)是1；因?yàn)?與任何數(shù)相乘都不可能是1，所以0沒有倒數(shù)。2. 分?jǐn)?shù)除法（1）例1。例1以折紙活動(dòng)為載體，利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理。教材分兩個(gè)層次編排：先解決分?jǐn)?shù)的分子能被整數(shù)整除的特殊情況；再引出分子不能被整數(shù)整除的情況。第一個(gè)問題是分子能被整數(shù)整除的情況，有兩種思考方法，方法一是利用整數(shù)除法的意義，將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法理解并計(jì)算；方法二是利用分?jǐn)?shù)的意義，將問題轉(zhuǎn)化為求的來理解和計(jì)算。 在此基礎(chǔ)上提出第二個(gè)問題，凸顯方法一

9、的局限性和方法二的一般適用性。教材體現(xiàn)了讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的探索過程，進(jìn)而理解把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求其中的1份，就是求這個(gè)數(shù)的幾分之一是多少，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。（2）例2。例2研究一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算，包括整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)兩種情況。在解決“誰走得快些”這一實(shí)際問題的過程中，自然地列出兩個(gè)算式，列式的依據(jù)是“路程÷時(shí)間速度”的數(shù)量關(guān)系，和以前所不同的是路程、時(shí)間由整數(shù)換成了分?jǐn)?shù)。由于學(xué)生對(duì)這一數(shù)量關(guān)系比較熟悉，所以列出分?jǐn)?shù)除法算式不會(huì)感到困難，有利于把教學(xué)重點(diǎn)集中于計(jì)算方法的探索與理解。理解“2÷”的算理是本例的重點(diǎn)。教材采用畫線段圖的直觀方式呈現(xiàn)推算的思路

10、：由于1小時(shí)里有3個(gè)小時(shí)，所以可以先求出小時(shí)走了多少千米，即先求出小時(shí)走的2km的一半（即）。由于有了直觀圖的支持，降低了學(xué)生對(duì)2××3中每一部分含義的理解難度，順利完成從“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)”到“乘上這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”的轉(zhuǎn)化。通過求小紅平均每小時(shí)走多少路程引出分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的算式。由于有了整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理的鋪墊，教材在這兒沒有呈現(xiàn)線段圖，而是通過提問“為什么寫成×”，引導(dǎo)學(xué)生通過遷移類推，自行闡述算理。 以提問的方式，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)分?jǐn)?shù)除法的一般算法，使學(xué)生看到，不管被除數(shù)是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)，不管除數(shù)是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)，只要除數(shù)不為0，都可以轉(zhuǎn)化成乘上除數(shù)的倒數(shù)來計(jì)算。

11、并啟發(fā)學(xué)生用自己的方式表示這一算法。（3）例3。本例以學(xué)生熟悉的生活情境為素材引出分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算。分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序問題已在“分?jǐn)?shù)乘數(shù)”單元解決了，學(xué)生在此學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算，既是分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的綜合應(yīng)用，也為后面學(xué)習(xí)利用分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算解決實(shí)際問題打下基礎(chǔ)。教材提供了兩種不同的解決方法，體現(xiàn)了不同的分析思路。先分步列式，再列綜合算式解答。對(duì)于不帶括號(hào)的分?jǐn)?shù)乘除法混合運(yùn)算，既可以從左至右按步驟計(jì)算，也可以直接轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)連乘后同時(shí)約分計(jì)算。（4）例4。本例是讓學(xué)生解決簡單的“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”的實(shí)際問題。這類問題是分?jǐn)?shù)乘法中“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的逆向問題。教材通過問題解決的三大

12、步驟讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程。其中，“閱讀與理解”讓學(xué)生自行分析題意，弄清楚條件和問題，選取有效信息。在這里，成人體內(nèi)水分與體重的關(guān)系是一個(gè)多余條件，需要學(xué)生加以辨別。這類問題如果用算術(shù)方法解，較難理解，學(xué)生往往難以判斷誰是單位“1”，數(shù)量關(guān)系也較復(fù)雜。因此，教材根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，利用已有知識(shí)畫線段圖，找到數(shù)量關(guān)系，列出方程，并解出方程。這樣思考問題的思路與相應(yīng)的分?jǐn)?shù)乘法問題完全一致，只是參與列式的是未知數(shù)而已。“回顧與反思”部分中檢驗(yàn)結(jié)果的合理性是相應(yīng)乘法數(shù)量關(guān)系的二次應(yīng)用。同時(shí)，對(duì)有效信息的選取的反思，以及對(duì)列方程方法價(jià)值的體會(huì)，也是反思的重點(diǎn)。（5）例5。本例是“求比一個(gè)數(shù)多（或少）

13、幾分之幾的數(shù)是多少”的逆向問題，是以例4為基礎(chǔ)，把條件稍作改變，形成稍復(fù)雜的問題。用算術(shù)方法解決這樣的實(shí)際問題，不僅需要逆向思考，還要把“比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾”，轉(zhuǎn)化為“是一個(gè)數(shù)的幾分之幾”，比較抽象，思維難度大。用方程方法解決，可以列出形如的方程，也可以列出形如的方程，前者仍然要經(jīng)歷從“多（少）幾分之幾”到“是幾分之幾”的轉(zhuǎn)化，后者只要根據(jù)一個(gè)數(shù)加（減）增加部分等于增加（減少）后的數(shù)，就能列出方程。 這樣的等量關(guān)系，學(xué)生容易理解。因此，教材選擇符合學(xué)生順向思維的思路，給出多樣化的解題方法。為了幫助學(xué)生思考，教材提示“先畫線段圖看看”，并給出了完整的圖示，為學(xué)生分析、理解等量關(guān)系

14、提供直觀支柱。然后得出不同的等量關(guān)系，并據(jù)此列方程解答?；仡櫯c反思的目的在于反思問題解決的過程是否合理，檢驗(yàn)解答是否正確，方法可以多樣化。（6）例6。本例中包括兩個(gè)未知量，題中給出了這兩個(gè)未知量之間的兩種關(guān)系，要求學(xué)生根據(jù)這樣的關(guān)系列方程解答。由于這兩種關(guān)系中，一種是兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系，另一種是兩個(gè)量之間的和或差的關(guān)系，因此，這樣的問題過去被稱為“和倍問題”“差倍問題”。教材以籃球比賽上、下場得分為素材，引出含有兩個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問題。這樣的問題如果用算術(shù)方法解決，需要逆向思考，比較抽象，思維難度大，容易出錯(cuò)，列方程來解決更符合順向思維。教材給出了兩種解法，區(qū)別在于先設(shè)哪個(gè)量為未知數(shù)，然后利用兩個(gè)量的數(shù)量關(guān)系，用代數(shù)式表示出另一個(gè)量。除了教材上的示例以外，還有其他的列方程方法。（7）例7。本例是一類特殊的實(shí)際問題，使學(xué)生通過嘗試、分析，找到本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決問題。本例采用的素材是“工程問題”，但并不是要求學(xué)生解決形形色色的“工程問題”，而是要借此讓學(xué)生經(jīng)歷利用自主探究解決問題的過程，掌握用假設(shè)、驗(yàn)證等方法解決問題的基本策略，讓學(xué)生體會(huì)模型思想。例題的呈現(xiàn)順應(yīng)學(xué)生的思維過程?！伴喿x與理解”部分在引導(dǎo)學(xué)生從題目中獲取已知條件和問題的同時(shí)，在學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)解題時(shí)很自然地產(chǎn)生疑問：道路的總長未知，怎么辦？接下來就在