高中數(shù)學(xué)選修(理科)常用公式

1、高中（理科）數(shù)學(xué)選修部分常用公式（全國(guó)卷版） 一、常用邏輯用語(yǔ)1四種命題：（1）原命題：若 p 則 q （3）否命題：若 Øp 則 Øq（2）逆命題： 若 q 則 p （4）逆否命題：若 Øq 則 Øp（互為逆否關(guān)系的兩個(gè)命題同真假：原命題與逆否命題，逆命題與否命題同真假） 2如果 p Þ q ，那么 p 是 q 的充分條件， q 是 p 的必要條件注意：（1）小范圍 Þ 大范圍，大范圍 Þ 小范圍，（2）“ p 的充分不必要條件是 q ” Û “ q 是 p 的充分不必要條件”3復(fù)合命題p Ùq、p &

2、#218;q、Øp的真假性（Øp即命題的否定）：（1）當(dāng)p和q為一真一假時(shí)，p Ùq為假，p Úq為真； （2）p和Øp的真假性相反4全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題. 若p： "x Î M , q ( x )成立，則Øp ： $x ÎM , Øq ( x ) 0 0成立二、圓錐曲線(xiàn) 1橢圓定義動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn) F , F 的距離之和為 2a （ F F <2a 1 2 1 2即： MF +MF =2a ，（ c <a ） 1 2），圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x 2 y 2+ =1a 2 b 2( a >b

3、 >0)y 2 x 2+ =1a 2 b 2( a >b >0)范圍-a £x £a ， -b £y £b-b £x £b，-a £y £a長(zhǎng)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)2a2b焦點(diǎn)、焦距( ±c,0)、2c(0, ±c)、2c頂點(diǎn)( ±a,0)，(0, ±b)( ±b,0)，(0, ±a)離心率e =ca（0 <e <1）準(zhǔn)線(xiàn)x =±a 2cy =±a 2c焦半徑MF =a +ex ， MF =a -ex 1 0 2 0M

4、F =a +ey ， MF =a -ey 1 0 2 0DMF F1 2面積公式SDMF F1 2=b2tana2（其中a =ÐF MF 1 2）通徑的長(zhǎng)2雙曲線(xiàn)2ba21 / 8c1 21 2 1 2定義動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)即：F , F 的距離之差的絕對(duì)值為 2 a 1 2MF -MF =2 a （ c >a ） 1 2（F F >2a 1 2）圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x 2 y 2- =1a 2 b 2y 2 x 2- =1a 2 b 2范圍x £-a或x ³a，y ÎRx Î R，y £-a或y ³a實(shí)軸長(zhǎng)虛軸長(zhǎng)2 a2b

5、焦點(diǎn)、焦距( ±c,0)、2c(0, ±c)、2c頂點(diǎn)漸近線(xiàn)( ±a,0)by =± xa(0, ±a)ay =± xb離心率e =ca（e >1）準(zhǔn)線(xiàn)x =±a 2cy =±a 2c焦半徑MF =ex +a ， MF =ex -a1 0 2 0MF =ey +a ， MF =ey -a1 0 2 0DMF F1 2面積公式SDMF F1 2=b 2atan2（其中a =ÐF MF 1 2）通徑的長(zhǎng)2ba2小秘密焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為b；雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到兩漸近線(xiàn)的距離之積為æab ö

6、ç ÷è ø2注意：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)公式：（和韋達(dá)定理結(jié)合使用）AB = 1 +k2×x -x = 1 +k 1 22× ( x +x ) 1 22-4 x x1 2快速公式：AB = 1+k2DAAB = 1 +1 1×y -y = 1 + × ( y +y ) 2 -4 y y k 2 k 2快速公式：AB = 1+1 Dk2 A（其中A是指消去y或x后得到一元二次方程中的二次項(xiàng)系數(shù)）3拋物線(xiàn)2 / 8p-00000n n -1a定義動(dòng)點(diǎn) P 到定點(diǎn) F 的距離等于到定直線(xiàn) l 的距離 即： PF =

7、PP¢，（F 到 l 的距離為 p ）標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2 px ( p >0)y2=-2px ( p >0)x2=2 py ( p >0)x2=-2py ( p >0)圖形范圍x ³0x £0y ³0 y £0對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)p( ,0)2(-p2,0)p(0, )2(0, )2準(zhǔn)線(xiàn)方程x =-p2x =p2y =-p2y =p2離心率e =1焦半徑pPF = +x2pPF = -x2pPF = +y2pPF = -y2焦點(diǎn)弦公式AB =p +( x +x ) AB =p -( x +x ) AB =p +( y +

8、y ) AB =p -( y +y )1 2 1 2 1 2 1 2三個(gè)圓：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切；以AF、BF為直徑的圓都與坐標(biāo)軸相切.角平分線(xiàn)：設(shè) M 為準(zhǔn)線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則 x 軸（或 y 軸）是 ÐAMB 的角平分線(xiàn)焦點(diǎn)弦的秘密AF =p p 2 p ， BF = ， AB =1 -cos a 1 +cos a sin 2 a，S =DAOBp 22sin1 1 2， + =a AF BF p（其中 a 為直線(xiàn) AB 的傾斜角） 三、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1. 概念：f ( x )在x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商） f ¢(x ) =y0¢x =x=limDx&

9、#174;0DyDx=limDx®0f ( x +Dx) -f ( x ) 0 0Dx.瞬時(shí)速度v =s¢(t).瞬時(shí)加速度a =v¢(t).（注意這個(gè)物理意義）2. 函 數(shù) y = f ( x) 在 點(diǎn) x 處 的 導(dǎo) 數(shù) 是 曲 線(xiàn)0f ¢(x ) ，相應(yīng)的切線(xiàn)方程是 y - f ( x ) = f 0 0y = f ( x ) 在 ¢(x )( x -x )0 0P ( x , f ( x ) 0 0.處 的 切 線(xiàn) 的 斜 率3. 幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）C ¢=0（C為常數(shù)）.（2）( x )¢=nx.（3）(si

10、n x)¢=cos x.（4）(cos x)¢=-sinx.（5）(ln x)¢=1 1 ； (log x )¢=x x ln a. （6）( e x )¢=ex；( a x )¢=ax ln a.最好記住這三條常用的公式：1 1 ( )¢=-x x2( x )¢=11 x( x ln x)¢=1+ln x4. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：（1）Cf ( x)¢=Cf ¢(x)（2） f ( x) ±g ( x)¢=f ¢(x) ±g ¢(x)（3

11、） f ( x ) ×g( x )¢=f ¢(x) g ( x) + f ( x ) g ¢(x)（4）f ( x) f ¢(x) g ( x ) -f ( x ) g ¢(x) ¢=g ( x) g ( x)25. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：若y = f (u ), u =g( x )，則 y ¢=f x¢(u) g¢(x)3 / 8nmr6. 函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)y = f ( x)在某個(gè)區(qū)間( a , b)可導(dǎo)，若f¢(x) >0 ，則 y = f ( x)在( a, b )上單

12、調(diào)遞增；若f¢(x) <0 ，則 y = f ( x) 在 ( a , b)上單調(diào)遞減逆命題：若f ( x)在( a , b)上是增函數(shù)，則f '( x ) ³0；在( a , b)上是減函數(shù)，則f '( x ) £0.7. 求函數(shù)y = f ( x)極值的方法與步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)f¢(x)； （2）求方程f¢(x) =0的根；（3）畫(huà)出x、f¢(x)、f ( x)的分布表格，并判斷極大值、極小值四、推理與證明1. 推理（1）合情推理：包含歸納推理（由特殊到一般的推理）和類(lèi)比推理（由特殊到特殊的推理）. （2）演

13、繹推理：三段論（大前提、小前提和結(jié)論），由一般到特殊的推理.（3）合情推理得到的結(jié)論不一定正確，需要證明.演繹推理得到的結(jié)論一定正確（大前提和小前提正確的情況下）.2. 證明（1）直接證明：綜合法（條件 Þ 結(jié)論）與分析法（結(jié)論 Þ 條件（恒成立）（2）間接證明：反證法（反設(shè)Þ矛盾Þ推翻反設(shè)）（3）數(shù)學(xué)歸納法： 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（n Î N0*）時(shí)結(jié)論成立. 假設(shè)當(dāng)n =k（k Î N*，且k ³n0）時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng)n =k +1時(shí)結(jié)論也成立.由可知，對(duì)任意n ³n0，且n Î N*時(shí)，結(jié)論都成

14、立.五、計(jì)數(shù)原理1. 排列數(shù)：Amn=n (n -1)(n -2) L ( n -m +1) =n! ( n -m )!2. 組合數(shù)：C m =nn(n -1)(n -2) L ( n -m +1) n!=m ! m !(n -m )!3. 組合數(shù)的性質(zhì)：（1）Cmn=Cn -mn；（2）Cmm +1=Cmn+Cm -1n（3）（4）C 0 +C 1 +C 2 n n nnC m = C m -1n -1+L +C n =2 n ； C 1 +C 3 +C 5 +L =Cn n n n； C 1 +2C 2 +3C 3 +L +nC n =n ×2n-1n n n n0 +C 2 +

15、C 4 n n n+L =2n -1（5）Crr+Crr +1+Crr +2+L +Crn=Cr +1n +1；4. 二項(xiàng)式定理：( a +b )n=C0nan+C1na n -1b +L +C rna n -r br+L +Cnnbn（1）展開(kāi)式中的通項(xiàng)（第 r +1 項(xiàng)）：Tr +1=Crna n -r br（2）二項(xiàng)式系數(shù)： C （ r =1,2, L , n ），n若 n 為偶數(shù)，則展開(kāi)式的中間一項(xiàng)Tn+12若 n 為奇數(shù)，則展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)Tn +12（3）二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和的二項(xiàng)式系數(shù)最大；與 T 的二項(xiàng)式系數(shù)最大； n +1+12二項(xiàng)式系數(shù)和：2n各項(xiàng)系數(shù)和的計(jì)算方法：令(

16、 a +b )n中的變量等于 11 例如：(2 + )x4的二項(xiàng)式系數(shù)和為24=16，各項(xiàng)系數(shù)和為1(2 + )14 =34=81（令x =1）六、概率1. 古典概型與幾何概型4 / 82（1）古典概型的概率P ( A) =mn，基本事件有限，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相同.m 表示事件 A 包含的基本事件數(shù)， n 表示所有基本事件數(shù).（2）幾何概型的概率P ( A) =mAm，基本事件無(wú)限，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相同.mA表示事件A發(fā)生區(qū)域的幾何度量，m表示總區(qū)域的幾何度量（如長(zhǎng)度、面積、體積）2. 互斥事件與對(duì)立事件（1）概念理解：互斥事件A I B =Æ； 對(duì)立事件A I B

17、=Æ且 P( A) +P( B) =1.（2）關(guān)系：對(duì)立的兩個(gè)事件一定互斥，互斥的兩個(gè)事件不一定對(duì)立.（3）概率加法公式：若事件A與B互斥，則P ( A U B ) =P ( A) +P ( B ).3. 相互獨(dú)立事件A, B及其同時(shí)發(fā)生的概率：P( AB ) =P ( A) P( B).4. 條件概率：設(shè)A與B為兩個(gè)事件，且P ( A) >0，則P ( B | A) =P ( AB )P ( A)，其中P( B | A)表示事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率.5. 離散型隨機(jī)變量及其分布列（1）分布列性質(zhì)：p ³0i，nåp =p +p +L +p

18、 =1 i 1 2 n.i =1（2）隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（均值）：EX =nåx p =x p +x p +L +x pi i 1 1 2 2 nn.i =1（3）隨機(jī)變量 X 的方差：DX =nå( x -EX ) i2p =( x -EX ) i 12p +(x -EX ) 1 22p +L +( x -EX ) 2 n2pn.i=1（4）隨機(jī)變量 X 的均值與方差的性質(zhì)：E ( aX +b ) =aEX +b ； D ( aX +b ) =a 2 DX.（5）二項(xiàng)分布（獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)）：X B ( n, p ) ， EX =np ， DX =np (1-p)在n次試驗(yàn)

19、中恰好成功k次的概率P ( X =k ) =Cknp k (1-p )n -k，k =0,1,L , n注意： X 表示試驗(yàn)成功的次數(shù)（6）超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品數(shù)，則P( X =k ) =C k C n -k M N -MC nN，其中n £N , M £N6. 正態(tài)分布：X N (m,s2)，其中 m 表示總體平均值， s 表示標(biāo)準(zhǔn)差（1）正態(tài)總體函數(shù)f (x)=12 pse( x -m) -2s2，x Î(-¥,+¥)在正態(tài)分布中，當(dāng) m =0 ， s =1 時(shí)，叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X N (

20、0,1).函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于 x =m對(duì)稱(chēng)，f ( x) >0 ， f(x)max=12 ps函數(shù)f (x)的圖象與x軸圍成的總面積為 1， P ( X £m) = P ( X >m) =0.5 s越大，函數(shù)f (x)的圖象越“矮肥”；s越小，函數(shù)f (x)的圖象越“高瘦”（2）幾個(gè)重要的概率： 七、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1. 數(shù)系：N * Í N Í Z Í Q Í R Í C2. 復(fù)數(shù)的概念：形如a +bi ( a, b ÎR )的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，i 2 =-1，a與b分別叫做復(fù)數(shù)a +b

21、i的實(shí)部和虛部.5 / 8n nnn2( )nn222003. 復(fù)數(shù)a +bi =c +di的充要條件是 a =c 且 b =d . 特例 a +bi =0 Û a =b =0.4. 對(duì)于復(fù)數(shù) a +bi ，當(dāng) b =0 時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng) a =0 且 b ¹0 時(shí)，它是純虛數(shù).uuur5. 復(fù)數(shù)的模：向量 OZ 的模，叫做復(fù)數(shù)z =a +bi的模，即z = a +bi =a2+b2.6. 復(fù)數(shù)所在象限的確定：z =a +bi對(duì)應(yīng)點(diǎn)( a, b )，判斷點(diǎn)( a , b)所在的象限.7. 共軛復(fù)數(shù)：z =a +bi的共軛復(fù)數(shù)為z =a -bi.8. 復(fù)數(shù)加、減法法則：(a

22、+bi ) ± ( c +di )= ( a ±c ) +(b ±d )i.9. 復(fù)數(shù)乘、除法法則：(a +bi )( c +di )= ( ac -bd ) +(bc +ad )i.八、統(tǒng)計(jì)案例1. 回歸直線(xiàn)方程為 y =bx +a 用最小二乘法求得的線(xiàn)性回歸方程系數(shù)公式：b =å( x -x )( y -y ) åx y -nx yi i i ii =1 = i =1å( x -x ) 2 åx 2 -nxi i，a =y -bx（y =bx +a必過(guò)樣本中心點(diǎn) x , y ）i =12. 殘差公式：e =y -yi i

23、 ii =1；衡量模型擬合效果的一個(gè)指標(biāo)：相關(guān)指數(shù)R 2 =1 -å(y -y ) 2 i ii =1å(y -y ) 2ii =1殘差平方和nå(y -y i i)2越小， R 2 （0 £R2£1）越接近于 1，回歸效果越好.i =1R2與 r的區(qū)別： R 2 為相關(guān)指數(shù)， r 為相關(guān)系數(shù)， r <0 時(shí)為負(fù)相關(guān)， r >0 時(shí)為正相關(guān)，-1£r £1 ， r 越接近于 1，變量間的相關(guān)性就越強(qiáng).3. 獨(dú)立性檢驗(yàn)的解題步驟：（1） 寫(xiě)出列聯(lián)表；（2） 據(jù)公式代數(shù)求解 K 的值；（3） 根據(jù)觀測(cè)值K 查表，如果

24、 K ³k ，就推斷兩變量有關(guān)系，犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)P （即0有1 -P 的把握推斷兩變量有關(guān)系）；否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) P 的前提下不能推 斷兩變量有關(guān)系P(K2k )k0.500.4550.400.7080.251.3230.152.0720.102.7060.053.8410.025 0.0105.024 6.6350.0057.8790.00110.828K2=n (ad -bc ) 2( a +b )( c +d )( a +c )(b +d ), n =a +b +c +d，（上表中的概率 P 是指犯錯(cuò)誤的概率）九、坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講1. 極坐標(biāo)系的公式：x =

25、rcos q, y =rsin q,r2 =x 2 +y 2 , tan q=yx( x ¹0).（ q 表示極點(diǎn) O 和曲線(xiàn)上的點(diǎn)的連線(xiàn)與極軸的正方向所成的角） 2. 參數(shù)方程：（1）圓( x -a )2 +( y -b ) 2 =r 2ì 的參數(shù)方程： íîx =a +r cos a y =b +r sin a（ a為參數(shù)）；（a表示圓心和曲線(xiàn)上的點(diǎn)的連線(xiàn)與x軸的正方向所成的角）6 / 8î000î2 2 22 2 21uuur1（2）橢圓x 2 y 2+ =1(a >b >0) a 2 b 2ìx =a c

26、os a 的參數(shù)方程： í （y =b sin aa為參數(shù)）；*（3）拋物線(xiàn)y 2 =2 pxì 的參數(shù)方程： íîx =2 pty =2 pt2（t為參數(shù)）；*（4）雙曲線(xiàn)x 2 y 2- =1a2 b2ì 的參數(shù)方程： íîx =a secy =b tanaa（q 為參數(shù)）.（sec a =1cosa）；ìx =x +t cos a（5）直線(xiàn) y -y =tan a ( x -x ) 的參數(shù)方程： í （ t 為參數(shù)）.y =y +t sin a0（ t 表示點(diǎn) P (x, y )到直線(xiàn)l 上的任意一

27、點(diǎn) M ( x, y ) 的有向距離）0 0圓心和曲線(xiàn)上的點(diǎn)的連線(xiàn)與 x 軸的正方向所成的角）3. 空間直角坐標(biāo)系：已知向量 a = ( x , y , z ) ， b = ( x , y , z )1 1 1 2 2 2x y z（1）空間向量的平行與垂直： a b Û 1 = 1 = 1 （ x , y , z ¹0x y z2 2 2）（2）空間向量的模、距離公式： a= （3）點(diǎn) ( x, y, z ) 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為x +y +z , AB = ( x -x ) 2 +( y -y ) 2 +( z -z ) 1 1 1 2 1 2 1 2 1( x, -

28、y, -z) ，關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為 ( -x, y, -z)2關(guān)于 z軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為( -x, -y, z )，關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為( -x, -y, -z)關(guān)于平面xOy對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為( x, y , -z)，關(guān)于平面yOz對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為( -x, y , z )，關(guān)于平面 xOz 對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為十、空間的角與空間的距離（向量法）：( x, -y, z )，設(shè)直線(xiàn) a 與 b 的方向向量分別為 a , b ，平面 a與 b 的法向量分別為n , n1 2（1）異面直線(xiàn) a 與 b 所成的角 q ：則cosq=a ×ba ×b，qÎ(0,p2（2） 直線(xiàn) a 與平面

29、 a所成的角 q ： sin q（3） 二面角a-l -b的平面角 q ： cos qa ×n= cos <a , n >= 1a ×n1n ×n= 1 2 ，qÎ0, p n ×n1 2，pqÎ0, 2注意：二面角的平面角需要根據(jù)實(shí)際圖形，判斷“銳角”還是“鈍角”P(pán)A ×n（4）點(diǎn) P 到平面 a的距離： d = ，其中 A Îan1十一、補(bǔ)充公式與定理1. 斜率 k 、比率 l 、離心率 e ， e =l-1l+1× 1 +k2（焦點(diǎn)在x軸上的所有圓錐曲線(xiàn)都成立，若焦點(diǎn)在y軸，則改為e =l-1 1× 1 +l+1 k 2）2. 斜率k k1 2為定值的兩個(gè)定理：7 / 8(MA MBPQ ON(PQ ON()2()()1( )2()( )0( )(ìx =y -300