高等代數(shù)機算講稿

1、.1 矩陣的基本運算1. 矩陣賦值方法；2. 矩陣加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置和乘法運算；3. 矩陣冪運算及逆運算；4. 矩陣元素群運算；5. 演算矩陣的運算規(guī)則。例1.1 用MATLAB軟件生成以下矩陣：（1）（2）（3）（4）解：（1）在MATLAB命令窗口輸入：A=9,3,2;6,5,6;6,6,0 或：A=9 3 2;6 5 6;6 6 0 或：A=9 3 2 6 5 6 6 6 0結(jié)果都為：A = 9 3 2 6 5 6 6 6 0（2）輸入：B=eye(3) 結(jié)果為：B = 1 0 0 0 1 0 0 0 1（3）輸入：C = zeros(2)結(jié)果為：C = 0 0 0 0（4）輸入：D =

2、ones(4)結(jié)果為：D = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1例1.2 隨機生成兩個3階方陣A和B，分別計算：（1）AB；（2）AB；（3）5A；（4）AB；（5）解：輸入：A=round(rand(3)*10) B=round(rand(3)*10)結(jié)果為：A = 10 2 3 5 10 9 9 3 7B = 1 2 3 0 3 5 9 7 1（1）輸入：AB結(jié)果為：ans = 11 4 6 5 13 1418 10 8其中“ans”表示這次運算的結(jié)果。（2）輸入：AB結(jié)果為：ans = 9 0 0 5 7 4 0 -4 6（3）輸入：5*A結(jié)果為：ans =

3、50 10 15 25 50 45 45 15 35（4）輸入：A*B結(jié)果為：ans = 37 47 43 86 103 74 72 76 49（5）輸入A結(jié)果為ans = 10 5 9 2 10 3 3 9 7例1.3 已知矩陣，分別計算：（1）；（2）解：輸入：A=1,2,3;0,1,0;2,1,7結(jié)果為：A = 1 2 3 0 1 0 2 1 7（1）輸入：A5結(jié)果為：ans = 3409 2698 11715 0 1 0 7810 6177 26839（2）輸入：inv(A)或輸入A-1結(jié)果都為：ans = 7 -11 -3 0 1 0-2 3 1例1.4已知矩陣，且滿足，計算矩陣和。

4、解：方法一：利用求逆矩陣的方法，輸入：A=6,9,5;0,5,2;2,9,1B=6,6,2;1,0,4;2,8,1P=B*inv(A)Q=inv(A)*B方法二：利用MATLAB軟件特有的矩陣“左除”和“右除”運算，輸入：A=6,9,5;0,5,2;2,9,1B=6,6,2;1,0,4;2,8,1P=B/A % 矩陣右除Q=AB % 矩陣左除兩種方法的運算結(jié)果都為：A = 6 9 5 0 5 2 2 9 1B = 6 6 2 1 0 4 2 8 1P = 0.8043 -1.3043 0.5870 0.5761 1.1739 -1.2283 0.0435 -0.0435 0.8696Q = 0

5、.6087 1.4565 -1.2065 0.0435 0.7826 0.2174 0.3913 -1.9565 1.4565例1.5 已知矩陣，分別按以下要求進行矩陣元素的群運算：（1）把矩陣A和矩陣B所有對應元素相乘，得到9個乘積，計算由這9個數(shù)所構(gòu)成的同形矩陣C。（2）對矩陣A中的所有元素進行平方運算，得到矩陣D，求該矩陣。解：Matlab軟件提供了矩陣元素群運算的功能，輸入：A=5,0,3;6,2,0;7,0,1B=2,1,3;3,0,6;4,5,-2結(jié)果為：A = 5 0 3 6 2 0 7 0 1B = 2 1 3 3 0 6 4 5 -2（1）輸入：C=A.*B 結(jié)果為：C =

6、10 0 9 18 0 0 28 0 -2（2）輸入：D=A.2 結(jié)果為：D = 25 0 9 36 4 0 49 0 1例1.6 生成符號矩陣，.解 可用命令A= sym（'a b c;b c a;c a b '）或syms a b c A = a b c;b c a;c a bB=sym(1 2 3;3 sqrt(2) 0;2 -1 1/3)命令來實現(xiàn)，其中sqrt為平方根函數(shù).結(jié)果如下：A = a, b, c b, c, a c, a, bB = 1, 2, 3 3, sqrt(2), 0 2, -1, 1/32 行列式與方程組的求解1. 求行列式的命令；2. 求矩陣秩的

7、命令；3. 求矩陣的最簡行矩陣的命令；4. 滿秩線性方程組的各種方法；5. 符號變量的應用；6. 驗證與行列式相關(guān)的公式和定理。例2.1 已知非齊次線性方程組：，要求用下列方法求解該方程組。（1）求逆矩陣法；（2）矩陣左除法；（3）初等行變換；（4）克萊姆法則。 解：（1）把非齊次線性方程組寫為矩陣形式：，則，直接在MATLAB的命令窗口輸入： A=6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10; b=80;59;90;22;85; x=inv(A)*b %或：x=A-1*b計算結(jié)果為：x = 9.0000 3.0000

8、2.0000 1.0000 2.0000（2）矩陣的乘法不遵守乘法交換律，Matlab軟件定義了矩陣左除和矩陣右除運算，針對方程組的矩陣形式，可用左除法等式兩端同時左除A，得到：“”，即針對矩陣方程，可用右除法，等式兩端同時右除A，即在MATLAB命令窗口中輸入： A=6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10; b=80;59;90;22;85; x=Ab % 符號“”即為左除運算，注意它的方向。結(jié)果為：x = 9.0000 3.0000 2.0000 1.00002.0000（3）用初等行變換，把方程組的增廣矩陣變

9、換為最簡行階梯形式，從而得到方程組的解。在MATLAB命令窗口中輸入：A=6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10; b=80;59;90;22;85; U=rref(A,b)運算結(jié)果為：U = 1 0 0 0 0 9 0 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2（4）根據(jù)克萊姆法則，有：，其中是方程組的系數(shù)行列式，是用常數(shù)列向量b代替系數(shù)行列式的第i列所得到的行列式。用Matlab的M文件編輯器，編寫la01.m文件如下：% 用克萊姆法則求解方程組clear % 清

10、除變量n=input('方程個數(shù)n') % 請用戶輸入方程個數(shù)A=input('系數(shù)矩陣A=') % 請用戶輸入方程組的系數(shù)矩陣b=input('常數(shù)列向量b=') % 請用戶輸入常數(shù)列向量if (size(A)=n,n) | (size(b)=n,1) % 判斷矩陣A和向量b輸入格式是否正確disp('輸入不正確,要求A是n階方陣，b是n維列向量') % disp：顯示字符串elseif det(A)=0 % 判斷系數(shù)行列式是否為零 disp('系數(shù)行列式為零，不能用克萊姆法則解此方程。')else for i=

11、1:n % 計算x1,x2,.xn B=A; % 構(gòu)造與A相等的矩陣B B(:,i)=b; % 用列向量b替代矩陣B中的第i列 x(i)=det(B)/det(A); % 根據(jù)克萊姆法則計算x1,x2,.xn end x=x' % 以列向量形式顯示方程組的解end在MATLAB命令窗口中輸入：la01得到以下人機對話結(jié)果：方程個數(shù)n5n = 5系數(shù)矩陣A=6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10A = 6 2 3 4 5 2 -3 7 10 13 3 5 11 -16 21 2 -7 7 7 2 7 3 -5

12、 3 10常數(shù)列向量b=80;59;90;22;85b = 80 59 90 22 85x = 9 3 2 1 2例2.2求矩陣的逆，要求用以下方法：（1）矩陣左除和右除運算；（2）初等行變換；（3）利用伴隨矩陣求逆的公式。解：在MATLAB的M文件編輯器中，編寫程序la02.m：% 逆矩陣各種求法：clearA=-7,-2,-6,4,6;1,3,-6,3,11;3,-11,9,5,-2;-3,0,-2,9,-3;7,30,-18,11,4;% 1.命令法：An1=inv(A)% 2.冪運算法：An2=A-1% 3.右除法：An3=eye(5)/A % eye(5)為5階單位矩陣% 4.左除法

13、：An4=Aeye(5)% 5.初等行變換法：B=rref(A,eye(5); % 對矩陣A , I 進行初等行變換% B為矩陣A的最簡行階梯矩陣if(rank(B(:,1:5)=5) % 判斷最簡行階梯矩陣B的前5列是否為單位陣An5=B(:,6:10) % 取出矩陣的后5列，并顯示elsedisp('A不可逆');end% 6.伴隨矩陣求逆法：for i=1:5 % 構(gòu)造伴隨矩陣的5×5個元素 for j=1:5 T=A; % 把矩陣A賦給矩陣T T(i,:)=; % 刪去矩陣T的第i行 T(:,j)=; % 刪去矩陣T的第j列 % 此時，|T| 為矩陣A元素ai

14、j的余子式 AA(j,i)=(-1)(i+j)*det(T); % 算出aij的代數(shù)余子式% 并放入矩陣AA的第j行、第i列% 當循環(huán)結(jié)束，矩陣AA即為A的伴隨矩陣 endendif det(A)=0An6=AA/det(A)elsedisp('A不可逆');end運算程序la02，前四個方法計算結(jié)果相同： 1.0e+004 * -1.5895 1.3448 -1.0646 1.6206 -0.6308 1.6298 -1.3789 1.0916 -1.6617 0.6468 2.5392 -2.1483 1.7007 -2.5889 1.0077 0.3631 -0.3072

15、 0.2432 -0.3702 0.1441 0.9860 -0.8342 0.6604 -1.0053 0.3913后兩個方法計算結(jié)果相同： -15895 13448 -10646 16206 -6308 16298 -13789 10916 -16617 6468 25392 -21483 17007 -25889 10077 3631 -3072 2432 -3702 1441 9860 -8342 6604 -10053 3913從計算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，前四個方法得到的是實數(shù)矩陣，而后兩個方法得到的是整數(shù)矩陣。如果在Matlab環(huán)境下，鍵入：format long然后再重新運行該程序，會發(fā)

16、現(xiàn)前四個方法的運算結(jié)果存在誤差，這是計算機做數(shù)值運算時，存在舍入誤差的原因。為了進一步觀察計算機做數(shù)值運算所產(chǎn)生的誤差，現(xiàn)在用上述六種方法來計算矩陣的逆，A=1,2,3;10,10,10;11,12,13前四種方法得到以下類似結(jié)果：Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.135044e-018.ans = 1.0e+015 * -4.5036 -4.5036 4.5036 9.0072 9.0072 -9.0072 -4.5036 -4.5036 4.5

17、036顯然此結(jié)果是不正確的，因為A不可逆。例2.3 解方程：。解：Matlab軟件定義了“符號變量”的概念。在MATLAB的M文件編輯器中，應用“符號變量”編寫程序la03.m：% 求解符號行列式方程clear all % 清除各種變量syms x % 定義x為符號變量A=3,2,1,1;3,2,2-x2,1;5,1,3,2;7-x2,1,3,2 % 給矩陣A賦值D=det(A) % 計算含符號變量矩陣A的行列式Df=factor(D) % 對行列式D進行因式分解 % 從因式分解的結(jié)果，可以看出方程的解X=solve(D) % 求方程“D0”的解在MATLAB的命令窗口輸入：la03運行結(jié)果為

18、：A = 3, 2, 1, 1 3, 2, 2-x2, 1 5, 1, 3, 2 7-x2, 1, 3, 2D =-6+9*x2-3*x4f =-3*(x-1)*(x+1)*(x2-2)X = 1 -1 2(1/2) -2(1/2)例2.4 請用Matlab軟件驗證行列式按行（列）展開公式：解：在MATLAB的M文件編輯器中，編寫程序la04.m：% 驗證行列式按行（列）展開公式clearA=round(10*randn(5); % 構(gòu)造5階隨機數(shù)方陣D=det(A); % 計算矩陣A的行列式% 矩陣A按第一行元素展開：s=a11*A11+a12*A12+a15*A15s=0;for i=1:

19、5 T=A; T(1,:)=; % 刪去陣矩第1行 T(:,i)=; % 刪去矩陣第i列 % 此時，|T| 為矩陣A元素a1i的余子式 s=s+A(1,i)*(-1)(1+i)*det(T);ende=D-s % 驗算D與s是否相等在MATLAB的命令窗口中輸入：la04計算結(jié)果為：e = 0在MATLAB的M文件編輯器中，編寫程序la05.m：% 計算5階方陣A的第一行元素與第三行元素對應的代數(shù)余子式乘積之和：% s=a11*A31+a12*A32+a15*A35clearA=round(10*randn(5); % 構(gòu)造5階隨機數(shù)方陣s=0;for i=1:5 T=A; T(3,:)=;

20、% 刪去矩陣第3行 T(:,i)=; % 刪去矩陣第i列 % 此時，|T| 為矩陣A元素a3i的余子式 s=s+A(1,i)*(-1)(3+i)*det(T);ends % 驗算s是否為0在MATLAB命令窗口中輸入：la05計算結(jié)果為：s = 0例2.5 求，的逆矩陣.解 format rat %用有理格式輸出A=1 2 3; 2 2 1; 3 4 3;AN=inv(A) 或 AN=A(-1)B=hilb(3)BN= B（-1）或BN= inv(A) 或BN=invhilb(B) % invhilb為求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)顯示結(jié)果如下：AN = 1 3 -2 -3/2 -3 5/2 1 1

21、 -1 BN = 9 -36 30 -36 192 -180 30 -180 180 由于希爾伯特矩陣的條件數(shù)很大,不同的算法求其逆的精度有所不同,可以上機比較幾種求矩陣逆的函數(shù)的差別.例2.5 計算行列式的值.解 在MATLAB編輯器中建立M文件：syms a b c d A=1 1 1 1;a b c d;a2 b2 c2 d2;a4 b4 c4 d4;d1=det(A)d2=simple(d1) %用 simple函數(shù)化簡表達式d1pretty(d2) %用pretty函數(shù)使表達式d2符合人們的書寫習慣.則結(jié)果顯示為：d1 =b*c2*d4-b*d2*c4-b2*c*d4+b2*d*c4

22、+b4*c*d2-b4*d*c2-a*c2*d4+a*d2*c4+a*b2*d4-a*b2*c4-a*b4*d2+a*b4*c2+a2*c*d4-a2*d*c4-a2*b*d4+a2*b*c4+a2*b4*d-a2*b4*c-a4*c*d2+a4*d*c2+a4*b*d2-a4*b*c2-a4*b2*d+a4*b2*cd2 =(-d+c)*(b-d)*(b-c)*(-d+a)*(a-c)*(a-b)*(a+c+d+b) (-d + c) (b - d) (b - c) (-d + a) (a - c) (a - b) (a + c + d + b)函數(shù) rank格式 k = rank (A)

23、%求矩陣A的秩k = rank (A,tol) %tol為給定誤差下計算矩陣的秩例2.6求向量組，的秩，并判斷其線性相關(guān)性.解 A=1 -2 2 3;-2 4 -1 3;-1 2 0 3;0 6 2 3;2 -6 3 4;k=rank(A)結(jié)果為k = 3由于秩為3小于向量組所含向量個數(shù)，因此向量組線性相關(guān).3 向量組的相關(guān)性及方程組的通解1. 分析向量組線性相關(guān)性的方法； 2. 求解線性方程組通解的各種方法；例3.1求非齊次線性方程組的通解。解：在MATLAB命令窗口，輸入以下命令：A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19; %

24、輸入系數(shù)矩陣Ab=-2;7;-23;43; % 輸入常數(shù)列向量bR,s=rref(A,b) % 把增廣矩陣的最簡行階梯矩陣賦給R % 而R的所有基準元素在矩陣中的列號構(gòu)成了行向量s計算結(jié)果為：R = 1 2 0 2 9 3 0 0 1 0 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0s = 1 3程序la06.m給出非齊次方程組的通解。% 求非齊次線性方程組的通解clear A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19; % 輸入系數(shù)矩陣Ab=-2;7;-23;43; % 輸入常數(shù)列向量bR,s=rref(A,b); % 把增

25、廣矩陣的最簡行階梯矩陣賦給R % 而R的所有基準元素在矩陣中的列號構(gòu)成了行向量sm,n=size(A); % 矩陣A的行數(shù)、列數(shù)賦給了變量m、nx0=zeros(n,1); % 將特解x0初始化為N維零列向量r=length(s); % 矩陣A的秩賦給變量rx0(s,:)=R(1:r,end); % 將矩陣R的最后一列按基準元素的位置給特解x0賦值disp('非齊次線性方程組的特解為：')x0 % 顯示特解x0disp('對應齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為：')x=null(A,'r') % 得到齊次線性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系x，求A的零空間，Ax=

26、0在MATLAB命令窗口中輸入：la06運算結(jié)果為：非齊次線性方程組的特解為：x0 = 3 0 8 0 0對應齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為：x = -2 -2 -9 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 1則方程組的通解為：齊次線性方程組的特解還可以用Matlab的矩陣左除運算來求得，直接在MATLAB命令窗口輸入以下命令：A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19;b=-2;7;-23;43; x0=Ab % 用矩陣左除運算求得方程組特解x0x=null(A,'r') % 得到齊次線性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系x運

27、算結(jié)果為：Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 4.3099e-014.x0 = 0 0 7.3333 0 0.3333x = -2 -2 -9 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 1方程組的通解為：例3.2 已知向量組，求出它的最大無關(guān)組，并用該最大無關(guān)組來線性表示其它向量。解：用筆計算的過程為：編寫Matlab程序la07.m：% 找向量組的最大無關(guān)組，并用它線性表示其它向量cleara1=1;1;0;2;2; % 輸入5個列向量a2=3;4;0;8;3;a3=2;3;0;6;1;a4=9;3;2;1;2;a5=6;-2;2;-9;2;A

28、=a1,a2,a3,a4,a5; % 由5個列向量構(gòu)造矩陣AR,s=rref(A); % 把矩陣A的最簡行階梯矩陣賦給了R % 而R的所有基準元素在矩陣中的列號構(gòu)成了行向量s % 向量s中的元素即為最大無關(guān)組向量的下標r=length(s); % 最大無關(guān)組所含向量個數(shù)賦給rfprintf('最大線性無關(guān)組為：') % 輸出字符串for i=1:r fprintf('a%d ',s(i) % 分別輸出最大無關(guān)組的向量a1，endfor i=1:r % 從矩陣A中取出最大無關(guān)組賦給A0 A0(:,i)=A(:,s(i);endA0 % 顯示最大無關(guān)組矩陣A0s0=

29、1,2,3,4,5; % 構(gòu)造行向量s0for i=1:r s0(s(i)=0; % s(i)是最大無關(guān)組的列號end % 若s0的某元素不為0，表示該元素為矩陣A中% 除最大無關(guān)組以外其它列向量的列號s0=find(s0); % 刪除s0中的零元素 % 此時s0中元素為其它向量的列號for i=1:5-r % 用最大無關(guān)組來線性表示其它向量fprintf('a%d=',s0(i)for j=1:r fprintf('%3d*a%d+ ',R(j,s0(i),s(j); end fprintf('bb n'); % 去掉最后一個”+”end在MA

30、TLAB命令窗口中輸入：la07運行結(jié)果為：最大線性無關(guān)組為：a1 a2 a4 A0 = 1 3 9 1 4 3 0 0 2 2 8 1 2 3 2a3= -1*a1+ 1*a2+ 0*a4 a5= 3*a1+ -2*a2+ 1*a4例3.22 求矩陣A的列向量組的一個最大無關(guān)組，并用最大無關(guān)組表示其余向量，其中.解 format ratA=1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4;B=rref(A)運行結(jié)果得B = 1 0 1/3 0 16/9 0 1 2/3 0 -1/9 0 0 0 1 -1/3 0 0 0 0 0 記矩陣A的五個列向量依次

31、為，則 ， 是列向量組的一個最大無關(guān)組.且有，.例3.3 已知齊次線性方程組：，當k取何值時方程組有非零解？在有非零解的情況下，求出其基礎(chǔ)解系。解：在MATLAB的M文件編輯器中，編寫程序la08.m% 計算帶符號變量的齊次線性方程組的解clearsyms k % 定義符號變量kA=1-2*k,3,3,3;3,2-k,3,3;3,3,2-k,3;3,3,3,11-k; % 給系數(shù)矩陣賦值D=det(A); % 算出系數(shù)矩陣的行列式Dkk=solve(D); % 解方程“D0”，得到解kk，即k值for i=1:4 AA=subs(A,k,kk(i); % 分別把k值代入系數(shù)矩陣A中fprint

32、f('當k=');disp(kk(i); % 顯示k的取值fprintf('基礎(chǔ)解系為：n');disp(null(AA) % 計算齊次線性方程組“Ax=0”的基礎(chǔ)解系end在MATLAB命令窗口中輸入：la08運算結(jié)果為：當k=7/2基礎(chǔ)解系為： 1 2 2 -2當k=14基礎(chǔ)解系為： 1 2 2 5當k=-1基礎(chǔ)解系為： -1, -1 1, 0 0, 1 0, 0當k=-1基礎(chǔ)解系為： -1, -1 1, 0 0, 1 0, 04 特征向量與二次型1. 對向量組正交化； 2. 求方陣特征值和特征向量；3. 分析方陣是否可對角化；4. 化二次型為標準型； 5.

33、 分析對稱陣是否正定；例4.1 設(shè)向量組：，求由這三個向量生成的子空間V的一個標準正交基。解：在MATLAB命令窗口輸入： a1=1;2;3;a2=-1;1;2;a3=5;1;0;A=a1,a2,a3P=orth(A) % 將矩陣A的列向量組正交規(guī)范化，% P的列構(gòu)成了空間V的一個標準正交基% P的列數(shù)反應了空間V的維數(shù)運算結(jié)果為：P = -0.9266 0.3359 -0.3116 -0.4343 -0.2105 -0.8358從矩陣P的列數(shù)可以看出，原向量組是線性相關(guān)的，它生成的空間是二維的。 MATLAB中將矩陣正交三角分解的函數(shù)為qr.命令 qr 格式 Q,R=qr(A) %將矩陣A分

34、解為正交Q與上三角矩陣R的乘積.命令 orth 格式 B=orth(A) %給出矩陣A列空間的一組標準正交基B%且滿足：B'*B = eye(rank(A).例4.12 將矩陣的列向量組正交規(guī)范化并把其正交三角分解.解：A=4 0 0; 0 3 1; 0 1 3;B=orth(A)Q,R=qr(A)則顯示結(jié)果為P = 1.0000 0 0 0 0.7071 -0.7071 0 0.7071 0.7071Q = 1.0000 0 0 0 -0.9487 -0.3162 0 -0.3162 0.9487R = 4.0000 0 0 0 -3.1623 -1.8974 0 0 2.5298例

35、4.2 求矩陣的特征值。解：在MATLAB的M文件編輯器中，編寫la09.m文件，它給出了三種求矩陣特征值的方法：% 矩陣特征值的求解方法clear A=2,-2,-20,-19;-2,16,-9,11;-8,4,-6,1;0,-8,-4,-7;%方法一：syms k % 定義符號變量kB=A-k*eye(length(A); % 構(gòu)造矩陣B=(A-kI）D=det(B); % 計算行列式：|A-kI|lamda1=solve(D) % 求|A-kI|=0的符號形式的解%方法二：p=poly(A); % 計算矩陣A的特征多項式 % 向量P的元素為該多項式的系數(shù)lamda2=roots(P) %

36、 求該多項式的零點，即特征值%方法三：lamda3=eig(A) % 直接求出矩陣A的特征值在MATLAB命令窗口中輸入：la09運算結(jié)果為：lamda1 = 12 -1/3*(19585+120*22674(1/2)(1/3)-385/3/(19585+120*22674(1/2)(1/3)-7/31/6*(19585+120*22674(1/2)(1/3)+385/6/(19585+120*22674(1/2)(1/3)-7/3+1/2*i*3(1/2)*(-1/3*(19585+120*22674(1/2)(1/3)+385/3/(19585+120*22674(1/2)(1/3)1/6

37、*(19585+120*22674(1/2)(1/3)+385/6/(19585+120*22674(1/2)(1/3)-7/3-1/2*i*3(1/2)*(-1/3*(19585+120*22674(1/2)(1/3)+385/3/(19585+120*22674(1/2)(1/3)lamda2 = -17.3347 12.0000 5.1673 + 6.3598i 5.1673 - 6.3598ilamda3 = -17.3347 5.1673 + 6.3598i 5.1673 - 6.3598i 12.0000 其中，方法一是根據(jù)筆算矩陣特征值的算法編寫而成，MATLAB給出了一個符號形

38、式的解，可以進一步把符號解轉(zhuǎn)化為數(shù)值解，輸入以下命令：lamda1=eval(lamda1)結(jié)果為：lamda1 = 12.0000 -17.3347 5.1673 - 6.3598i 5.1673 + 6.3598i例4.3 求下列矩陣A的特征值和特征向量，并判斷矩陣是否可以對角化，若能對角化，請找出可逆矩陣V，使。(1) ；（2）；（3）解：（1）在MATLAB命令窗口輸入：A=1,2,3;2,1,3;1,1,2;V,D=eig(A) % 矩陣D為矩陣A的特征值構(gòu)成的對角陣% 矩陣V的列向量為矩陣A與特征值D對應的特征向量運行結(jié)果為：V = -0.6396 -0.7071 -0.5774 -0.6396 0.7071 -