考點(diǎn)15 三角恒等變換-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)（文）考點(diǎn)一遍過

1、考點(diǎn)15 三角恒等變換1和與差的三角函數(shù)公式（1）會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.（2）能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.（3）能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶）.一、兩角和與差的三角函數(shù)公式1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2二倍角公式（1）：（2）：（3）：3公式的常用變形（1）；（2）降冪公式：；（3）升冪公式：；（4）輔助角

2、公式：，其中，二、簡(jiǎn)單的三角恒等變換1半角公式（1）（2）（3）【注】此公式不用死記硬背，可由二倍角公式推導(dǎo)而來，如下圖：2公式的常見變形（和差化積、積化和差公式）（1）積化和差公式：；.（2）和差化積公式：；.考向一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)1化簡(jiǎn)原則（1）一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，正確使用公式；（2）二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；（3）三看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升冪”等2化簡(jiǎn)要求（1）使三角函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)名稱的種類最少；（2）式子中的分母盡量不含根號(hào).3化簡(jiǎn)方法（1）切化弦；（2）

3、異名化同名；（3）異角化同角；（4）降冪或升冪典例1 化簡(jiǎn)：sin+cos-12sin2+-sin.【解析】原式=sin+cos-122cos2+2sin2+-2=sin+cos-cos+sin=sin+-=sin.【方法技巧】（1）三角化簡(jiǎn)的常用方法：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化（2）三角化簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)：三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值（3）在化簡(jiǎn)時(shí)要注意角的取值范圍.1化簡(jiǎn)abcd考向二 三角函數(shù)的求值問題1給角求值給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)非特殊角

4、與特殊角之間總有一定的關(guān)系解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，從而得解.2給值求值已知三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路：（1）先化簡(jiǎn)所求式子（2）觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)（3）將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值3給值求角通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，有以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)（2）已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好.4常見的角的變換（1）已知角表示未知角例如：，.（2）互余與互

5、補(bǔ)關(guān)系例如：，.（3）非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角例如：15°=45°30°，75°=45°30°.典例2 求下列各式的值：（1）cos+cos-2sincos;（2）sin 138°-cos 12°+sin 54°.【解析】（1）cos+cos-2sincos=coscos=2coscoscos=coscos=0.（2）sin 138°-cos 12°+sin 54°=sin 42°-cos 12°+sin 54°=sin 42°-sin 7

6、8°+sin 54°=-2cos 60°sin 18°+sin 54°=sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°=.【名師點(diǎn)睛】“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，觀察發(fā)現(xiàn)題中的角與特殊角都有著一定的關(guān)系，如和或差為特殊角，必要時(shí)運(yùn)用誘導(dǎo)公式.2a1b2c3d4典例3 已知tan()=，tan =，且，(0,)，則2=abcd或【答案】c【解析】因?yàn)閠an 2()=，所以tan(2)=tan2()+=1.又tan =tan()+=，又(0,)，所以0<<.又<&

7、lt;，所以<2<0，所以2=.故選c【名師點(diǎn)睛】在解決給值求角問題時(shí)，不僅要注意已經(jīng)明確給出的有關(guān)角的范圍，還要結(jié)合有關(guān)角的三角函數(shù)值盡可能地縮小角的范圍.3已知，則abcd典例4 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以ox軸為始邊作角，角+4的終邊經(jīng)過點(diǎn)p(-2,1).（1）求cos的值；（2）求cos(56-2)的值.【解析】（1）由于角+4的終邊經(jīng)過點(diǎn)p(-2,1)，所以cos(+4)=-255，sin(+4)=55.cos=cos(+4-4)=cos(+4)cos4+sin(+4)sin4=-1010.（2）sin=sin(+4-4)=sin(+4)cos4-cos(+4)sin4

8、=31010.則sin2=2sincos= -35，cos2=cos2- sin2=-45，故cos(56-2)=cos56cos2+sin56sin2=43-310.【名師點(diǎn)睛】解給值求值型問題的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出待求值,注意根據(jù)角的象限確定符號(hào). 這類求值問題關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角，合理拆、配角.4已知，且，則abcd考向三 三角恒等變換的綜合應(yīng)用1與三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題（1）利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成y=asin(x)t或y=acos(x)t的形式（2）利用公式

9、求周期（3）根據(jù)自變量的范圍確定x的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時(shí)，根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn)，也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值（4）根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=asin(x)t或y=acos(x)t的單調(diào)區(qū)間2與向量相結(jié)合的綜合問題三角恒等變換與向量的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，一般以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，并結(jié)合簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算，往往是兩向量平行或垂直的計(jì)算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1x2y1y2，abx1y2=x2y1，abx1x2y1y2=0，把向量形式化為坐標(biāo)運(yùn)算后，接下來的運(yùn)算仍然是三角函

10、數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形等知識(shí)的運(yùn)用.3與解三角形相結(jié)合的綜合問題（1）利用正弦定理把邊的關(guān)系化成角，因?yàn)槿齻€(gè)角之和等于，可以根據(jù)此關(guān)系把未知量減少，再用三角恒等變換化簡(jiǎn)求解；（2）利用正、余弦定理把邊的關(guān)系化成角的關(guān)系再用三角恒等變換化簡(jiǎn)求解【注】此類題中的角是在三角形中，每個(gè)角范圍限制在(0，)內(nèi)，如果是銳角三角形，則需要限制各個(gè)角均在內(nèi)角的范圍在解題中至關(guān)重要，做題時(shí)要特別注意.典例5 已知函數(shù)f(x)=43sinxcosx+sin2x-3cos2x+1.（1）求函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心及最小正周期；（2）的外接圓直徑為33，角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c.若f(6)=23

11、a，且acosb+bsinb=c，求sinb的值.【解析】（1）.由，得最小正周期為.令，得，故對(duì)稱中心為（kz）.（2）f(6)=2=23a，a=3.asina=2r，2r=33，sina=33，acosb+bsinb=c，sinacosb+sin2b=sinc ，又a+b+c=，sinacosb+sin2b=sin(a+b)，即sinacosb+sin2b=sinacosb+cosasinb，即sin2b=cosasinb，b(0，)，sinb0，sinb=cosa，sinb>0，cosa>0，cosa=63.sinb=63.5已知，均為銳角，且.（1）求的值；（2）若，求的值

12、6在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求角的大??；（2）若，求的值.1cos31°cos1°+sin149°sin1°=abcd2化簡(jiǎn)2-sin22+cos4的結(jié)果是a3cos2b-3cos2c-cos2dsin23已知，則的值為abcd4已知方程的兩根分別為、，且、，則ab或c或d5已知tan+6=1，則tan-6=a2-3 b2+3c-2-3 d-2+36已知，且，則下列結(jié)論正確的是abcd7已知為銳角，為第二象限角，且cos-=12，sin+=12，則sin3-=a bc d8函數(shù)y=cos2x-sin2x圖象的一條對(duì)稱軸為a bc d9若角滿足，則a

13、bc或d10已知平面直角坐標(biāo)系下，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則 abc或d11設(shè)，則，的大小關(guān)系是abcd12已知，則_.13已知，則_14在斜三角形中，則_.15公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為.若，則_.16已知函數(shù)，若為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則_17平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是單位圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)， ，若，則=_18已知（1）求的值；（2）求的值19在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求的值；（2）求的值.20在平面直角坐標(biāo)系xoy中，銳角,的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o,始邊為x軸的正半軸，

14、終邊與單位圓o的交點(diǎn)分別為p,q已知點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為277，點(diǎn)q的縱坐標(biāo)為3314（1）求cos2的值；（2）求2-的值.21設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，(0，)，求的值；（2）若，(0，)，求的值22已知a=(1+cosx,-1),b=(3,sinx)(>0),函數(shù)f(x)=ab,函數(shù)f(x)的最小正周期為2(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;(2)設(shè)(0,2),且f()=3+65,求cos的值23已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值.1（2019年高考全國(guó)卷文數(shù)）tan255°=a2b2+c2d2+2（2018新課標(biāo)全國(guó)文科）若，則abcd3（2017新課標(biāo)全國(guó)文科）

15、已知，則=ab cd4（2017年高考山東卷文數(shù)）已知，則a b c d5（2019年高考全國(guó)卷文數(shù)）已知a（0，），2sin2=cos2+1，則sin=abcd6（2018新課標(biāo)全國(guó)文科）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，且，則abcd7（2018新課標(biāo)全國(guó)文科）已知，則_8（2017新課標(biāo)全國(guó)文科）已知，tan =2，則= .9（2017年高考江蘇卷）若則 10（2019年高考江蘇卷）已知，則的值是 .11（2019年高考浙江卷）設(shè)函數(shù).（1）已知函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）求函數(shù)的值域12（2018浙江）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)o重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的

16、終邊過點(diǎn)p（）（）求sin（+）的值；（）若角滿足sin（+）=，求cos的值13（2018江蘇）已知為銳角，（1）求的值；（2）求的值14（2018年高考天津卷文數(shù)）在中，內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別為a，b，c已知bsina=acos(b)（1）求角b的大小；（2）設(shè)a=2，c=3，求b和sin(2ab)的值變式拓展1【答案】a【解析】因?yàn)?，所以原?故選a2【答案】d【解析】.故選d.3【答案】d【解析】由于，所以，所以，.所以，所以.故選d 4【答案】a【解析】因?yàn)?，所以則.因?yàn)?，且，所以，所?故選a.5【解析】（1）由題意得：，解得：.（2），由，可得：，.6【解析】（1）由已知及正

17、弦定理得，.（2），由余弦定理得，.由，為銳角，則，故.考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】b【解析】cos31°cos1°+sin149°sin1°=cos31°cos1°+sin31°sin1°=cos31°-1°=cos30°=32.故選b.2【答案】b【解析】由題得原式=1+cos22+cos4=3cos22，2<2<，cos2<0，則3cos22=-3cos2.故選b.3【答案】c【解析】由題意得：，.故選c.4【答案】d【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，又，.故選d.5【答案

18、】d【解析】.故選d6【答案】a【解析】由，得，即，即，由于，所以.故選a7【答案】b【解析】因?yàn)闉殇J角，為第二象限角，cos->0，sin+>0，所以-為第四象限角，+為第二象限角，因此sin-=-32，cos+=-32，所以sin2=sin-)+(+= -32×(-32)+12×12=1,因?yàn)闉殇J角，所以2= 2，sin3-=sin(2+-)=cos-=12.故選b8【答案】c【解析】由題意得y=cos2x-sin2x=2cos(2x+4)，令2x+4=k,kz，得x=-8+k2,kz，當(dāng)k=0時(shí)，故是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸故選c9【答案】d【解析】，.故選d

19、.10【答案】b【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，則，故選b.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值，以及誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.已知角終邊上一點(diǎn)，則.11【答案】d【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以.故選d12【答案】【解析】因?yàn)椋?，即，所以，故答案?13【答案】【解析】由題可得.14【答案】【解析】在 中， ，則 ， .故答案為.15【答案】【解析】因?yàn)椋?，所?故答案為.16【答案】【解析】由，化簡(jiǎn)可得，由，得,又，所以，故，此時(shí)：.17【答案】【解析】由題意知：，由，得，則 ，則，故答案為.18【解析】（1）.（2）.19【解

20、析】（1），. 由正弦定理，得. （2），. ，.20【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)p的橫坐標(biāo)為277，p在單位圓上，為銳角，所以cos277， 所以cos22cos2117 （2）因?yàn)辄c(diǎn)q的縱坐標(biāo)為3314，所以sin3314 又因?yàn)闉殇J角，所以cos1314 因?yàn)閏os277，且為銳角，所以sin217，因此sin22sincos437， 所以sin(2) 437×1314-17×3314=32 因?yàn)闉殇J角，所以02又cos20，所以022，又為銳角，所以222，所以23 21【解析】（1）為奇函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，滿足題意，.（2），又，.22【解析】(1)f(x)=ab=

21、3(1+cosx)-sinx=3-2sin(x-3),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為2,所以2=2,解得=1,所以f(x)=3-2sin(x-3)(2)由f()=3+65,得sin(-3)=-35,因?yàn)?0,2),所以-3(-3,6),所以cos(-3)=45,所以cos=cos-3+3=cos-3cos3-sin-3sin3 =45×12-(-35)×32=4+331023【解析】（1），令，即， 則，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2），故.直通高考1【答案】d【解析】=故選d.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運(yùn)算求解能力

22、首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計(jì)算，進(jìn)一步應(yīng)用兩角和的正切公式計(jì)算求解題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查2【答案】b【解析】cos2=1-2sin2=1-29=79，故選b.3【答案】a【解析】.所以選a.【名師點(diǎn)睛】應(yīng)用三角公式解決問題的三個(gè)變換角度：（1）變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.（2）變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.（3）變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用或變用公式”、“通分或約分”、“分解與組合”、

23、“配方與平方”等.4【答案】d【解析】由得.故選d.【名師點(diǎn)睛】（1）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征（2）三角函數(shù)式化簡(jiǎn)與求值要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn)5【答案】b【解析】，又，又，.故選b【名師點(diǎn)睛】本題是對(duì)三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦的正負(fù)，運(yùn)算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)很關(guān)鍵，切記不能憑感覺解答本題時(shí)，先利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，再利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案6

24、【答案】b【解析】根據(jù)條件，可知o,a,b三點(diǎn)共線，從而得到b=2a，因?yàn)閏os2=2cos2-1=2(1a2+1)2-1=23，解得a2=15，即a=55，所以a-b=a-2a=55.故選b.7【答案】32【解析】，解方程得tan=32.8【答案】【解析】由得，又，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?9【答案】【解析】故答案為【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值的三種類型（1）給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)（2）給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異一般有如下兩種思路：適當(dāng)變換已知式，進(jìn)而求得待求式的值；變換待求式，便于將已知式的值代入，從而達(dá)到解題的目的（3）給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，進(jìn)而確定角10【答案】【解析】由，得，解得，或.，當(dāng)時(shí)，上式當(dāng)時(shí)，上式=綜上，【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，滲透了邏