高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：9.6 幾何概型 Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育第六節(jié)幾何概型幾何概型(1)了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率(2)了解幾何概型的意義知識點幾何概型1幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型2幾何概型的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(2)等可能性：每個試驗結(jié)果的發(fā)生具有等可能性3幾何概型的概率公式p(a).易誤提醒易混淆幾何概型與古典概型，兩者共同點是試驗中每個結(jié)果的發(fā)生是等可能的，不同之處是幾何概型的試驗結(jié)果的個數(shù)是無限的，古典概型中試驗結(jié)果的個數(shù)是有限的自測練習(xí)1有一根長為1米的細繩，隨機將細繩

2、剪斷，則使兩截的長度都大于米的概率為()a. b.c. d.解析：如圖，將細繩八等分，c，d分別是第一個和最后一個等分點，則在線段cd的任意位置剪斷，得到的兩截細繩長度都大于米(c、d兩點除外)由幾何概型的計算公式可得，兩截的長度都大于米的概率為p.答案：a2在區(qū)間2,3上隨機選取一個數(shù)x，則x1的概率為()a. b.c. d.解析：區(qū)間2,3的長度為5，區(qū)間2,1的長度為3，因此p(x1)，選b.答案：b3如圖所示，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為_解析：設(shè)陰影區(qū)域的面積為s，則，s.答案：考點一與長度(角度

3、)有關(guān)的幾何概型|1(2016·韶關(guān)調(diào)研)在區(qū)間0,2之間隨機抽取一個數(shù)x，則x滿足2x10的概率為()a. b. c. d.解析：區(qū)間0,2看作總長度為2，區(qū)間0,2中滿足2x10的只有，長度為，p.答案：a2(2015·高考重慶卷)在區(qū)間0,5上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個負根的概率為_解析：設(shè)方程x22px3p20的兩個根分別為x1，x2，由題意，得結(jié)合0p5，解得<p1或2<p5，所以所求概率p.答案：3.如圖所示，在直角坐標系內(nèi)，射線ot落在30°角的終邊上，任作一條射線oa，則射線oa落在yot內(nèi)的概率為_解析：如題圖

4、，因為射線oa在坐標系內(nèi)是等可能分布的，所以oa落在yot內(nèi)的概率為.答案：(1)與長度有關(guān)的幾何概型：如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為p(a).(2)與角度有關(guān)的幾何概型：當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段考點二與體積相關(guān)的幾何概型|在棱長為2的正方體abcd­a1b1c1d1中，點o為底面abcd的中心，在正方體abcd­a1b1c1d1內(nèi)隨機取一點p，則點p到點o的距離大于1的概率為_解析由題意，在正方體abcd­a1b1c1d1內(nèi)

5、任取一點，滿足幾何概型，記“點p到點o的距離大于1”為事件a，則事件a發(fā)生時，點p位于以o為球心，以1為半徑的半球外又v正方體abcd­a1b1c1d1238，v半球··13，所求事件概率p(a)1.答案1對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求在400毫升自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為()a0.008b0.004c0.002 d0.005解析：大腸桿菌在400毫升自來水中的位置是任意的，且結(jié)果有無限個，屬于幾何概型設(shè)取

6、出2毫升水樣有大腸桿菌為事件a，則事件a構(gòu)成的區(qū)域體積是2毫升，全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是400毫升，則p(a)0.005.答案：d考點三與面積有關(guān)的幾何概型|與面積有關(guān)的幾何概型是近幾年高考的熱點之一歸納起來常見的命題角度有：1與三角形、矩形、圓等平面圖形面積有關(guān)的問題2與線性規(guī)劃交匯命題的問題3與定積分交匯命題的問題探究一與三角形、矩形、圓等平面圖形面積有關(guān)的問題1(2015·湖北八校二聯(lián))記集合a(x，y)|x2y24和集合b(x，y)|xy20，x0，y0表示的平面區(qū)域分別為1和2，若在區(qū)域1內(nèi)任取一點m(x，y)，則點m落在區(qū)域2的概率為_解析：作圓o：x2y24，區(qū)域1

7、就是圓o內(nèi)部(含邊界)，其面積為4，區(qū)域2就是圖中aob內(nèi)部(含邊界)，其面積為2，因此所求概率為.答案：探究二與線性規(guī)劃交匯命題的問題2(2015·高考湖北卷)在區(qū)間0,1上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“xy”的概率，p2為事件“|xy|”的概率，p3為事件“xy”的概率，則()ap1<p2<p3bp2<p3<p1cp3<p1<p2 dp3<p2<p1解析：x，y0,1，事件“xy”表示的區(qū)域如圖(1)中陰影部分s1，事件“|xy|”表示的區(qū)域如圖(2)中陰影部分s2，事件“xy”表示的區(qū)域如圖(3)中陰影部分s3.由圖知，陰影部

8、分的面積s2<s3<s1，正方形的面積為1×11.根據(jù)幾何概型的概率計算公式，可得p2<p3<p1.答案：b探究三與定積分交匯命題的問題3(2015·高考福建卷)如圖，點a的坐標為(1,0)，點c的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)x2.若在矩形abcd內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于_解析：依題意知點d的坐標為(1,4) ，所以矩形abcd的面積s1×44，陰影部分的面積s陰影4x2dx4x34，根據(jù)幾何概型的概率計算公式得，所求的概率p.答案：求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，

9、必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解22.混淆長度型與面積型幾何概型致誤【典例】在長度為1的線段上任取兩點，將線段分成三段，則這三條線段能構(gòu)成三角形的概率為_解析設(shè)x、y表示三段長度中的任意兩個因為是長度，所以應(yīng)用0<x<1,0<y<1,0<xy<1，即(x，y)對應(yīng)著坐標系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)為頂點的三角形內(nèi)的點，如圖所示要形成三角形，由構(gòu)成三角形的條件知所以x<，y<，且xy>，故圖中陰影部分符合構(gòu)成三角形的條件因為陰影部分的三角形的面積占大三角形面積的，故這三條線

10、段能構(gòu)成三角形的概率為.答案易誤點評不能正確理解題意，無法找出準確的幾何度量來計算概率防范措施解決幾何概型問題的易誤點：(1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型，導(dǎo)致錯誤(2)利用幾何概型的概率公式時，忽視驗證事件是否具有等可能性，導(dǎo)致錯誤跟蹤練習(xí)在等腰直角三角形abc中，d為斜邊ab上任意一點，則ad的長小于ac的長的概率為()a.b1c. d.解析：依題意得知，所求的概率等于，選c.答案：ca組考點能力演練1已知點p，q為圓c：x2y225上的任意兩點，且|pq|<6，若pq中點組成的區(qū)域為m，在圓c內(nèi)任取一點，則該點落在區(qū)域m上的概率為()a.b.c. d.解析：pq中點組成的

11、區(qū)域m如圖陰影部分所示，那么在c內(nèi)部任取一點落在m內(nèi)的概率為，故選b.答案：b2已知正三棱錐s ­abc的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點p，使得vp ­abc<vs ­abc的概率是()a. b.c. d.解析：當(dāng)點p到底面abc的距離小于時，vp ­abc<vs ­abc.由幾何概型知，所求概率為p13.答案：a3(2016·石家莊一模)在區(qū)間0,1上任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之和小于的概率是()a. b.c. d.解析：設(shè)這兩個數(shù)分別是x，y，則總的基本事件構(gòu)成的區(qū)域是確定的平面區(qū)域，所求事件包含的基本事件構(gòu)成

12、的區(qū)域是確定的平面區(qū)域，如圖所示，陰影部分的面積是1×2，所以這兩個數(shù)之和小于的概率是.答案：c4.如圖，長方形的四個頂點為o(0,0)，a(4,0)，b(4,2)，c(0,2)，曲線y 經(jīng)過點b.小軍同學(xué)在學(xué)做電子線路板時有一電子元件隨機落入長方形oabc中，則該電子元件落在圖中陰影區(qū)域的概率是()a. b.c. d.解析：圖中陰影部分是事件a發(fā)生的區(qū)域，其面積s陰dxx，s長方形4×28，所求概率p.故選c.答案：c5在面積為s的abc內(nèi)部任取一點p，則pbc的面積大于的概率為()a. b.c. d.解析：設(shè)ab、ac上分別有點d、e滿足adab且aeac，則adeab

13、c，debc且debc.點a到de的距離等于點a到bc的距離的，de到bc的距離等于abc高的.當(dāng)動點p在ade內(nèi)時，p到bc的距離大于de到bc的距離，當(dāng)p在ade內(nèi)部運動時，pbc的面積大于，所求概率為2，故選d.答案：d6已知線段ac16 cm，先截取ab4 cm作為長方體的高，再將線段bc任意分成兩段作為長方體的長和寬，則長方體的體積超過128 cm3的概率為_解析：依題意，設(shè)長方體的長為x cm，則相應(yīng)的寬為(12x) cm，由4x(12x)>128得x212x32<0,4<x<8，因此所求的概率等于.答案：7一只昆蟲在邊長分別為5,12,13的三角形區(qū)域內(nèi)隨

14、機爬行，則其到三角形頂點的距離小于2的地方的概率為_解析：本題考查幾何概率的計算如圖所示，該三角形為直角三角形，其面積為×5×1230，陰影部分的面積為××222，所以其概率為.答案：8(2015·廣州調(diào)研)在邊長為2的正方形abcd內(nèi)部任取一點m，則滿足amb>90°的概率為_解析：如圖，如果m點位于以ab為直徑的半圓內(nèi)部，則amb>90°，否則，m點位于半圓上及空白部分，則amb90°，所以amb>90°的概率p.答案：9若在區(qū)間5,5內(nèi)任取一個實數(shù)a，求使直線xya0與圓(x1)2

15、(y2)22有公共點的概率解：若直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離d ，解得1a3.又a5,5，故所求概率為.10(2016·濟南調(diào)研)已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x1,0,1,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2)若x1,2，y1,1，求向量a，b的夾角是鈍角的概率解：(1)設(shè)“ab”為事件a，由ab，得x2y.基本事件空間為(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含12個基本事件；其中a(0,0)，(2,1)，包含2個基本事件則p(a)，即向量ab的概率

16、為.(2)設(shè)“a，b的夾角是鈍角”為事件b，由a，b的夾角是鈍角，可得a·b<0，即2xy<0，且x2y.基本事件空間為，b，則由圖可知，p(b)，即向量a，b的夾角是鈍角的概率是.b組高考題型專練1(2015·高考山東卷)在區(qū)間0,2上隨機地取一個數(shù)x，則事件“1log1”發(fā)生的概率為()a. b. c. d.解析：由1log1得log 2loglog ，所以x2，解得0x，故事件“1log1”發(fā)生的概率為.故選a.答案：a2(2015·高考福建卷)如圖，矩形abcd中，點a在x軸上，點b的坐標為(1,0)，且點c與點d在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形abcd內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于()a. b. c. d.解析：依題意得，點c的坐標為(1,2)，所以點d的坐標為(2,2)，所以矩形abcd的面積s矩形abcd3×26，陰影部分的面積s陰影×3×1，根據(jù)幾何概型的概率求解公式，得所求的概率p，故選b.答案：b3(2015·高考陜西卷)設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yr)，若|z|1，則yx的概率為()a. b. c. d.解