通用版2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第23講正弦定理和余弦定理學(xué)案理新人教A版20190313367_20210103224753

1、第23講正弦定理和余弦定理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asina=2r(其中r是abc的外接圓的半徑) a2=, b2=, c2= 定理的變形a=2rsin a,b=,c=,abc=   cos a=, cos b=, cos c= 2.在abc中,已知a,b和a時,解的情況如下:a為銳角a為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsin absin a<a<baba>b解的個數(shù)    3.三角形面積公式(1)s=12ah(h表示邊a上的高);

2、(2)s=12bcsin a=12acsin b=12absin c;(3)s=12r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).常用結(jié)論1.三角形內(nèi)角和定理:在abc中,a+b+c=;變形:a+b2=2-c2.2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系:(1)sin(a+b)=sin c;(2)cos(a+b)=-cos c;(3)sin a+b2=cos c2;(4)cos a+b2=sin c2.3.三角形中的射影定理在abc中,a=bcos c+ccos b;b=acos c+ccos a;c=bcos a+acos b.題組一常識題1.教材改編 在abc中,b=45°,c=60°,

3、c=2,則最短邊的邊長等于. 2.教材改編 在abc中,已知a=5,b=23,c=30°,則c=. 3.教材改編 在abc中,已知a2-c2+b2=ab,則c等于. 4.教材改編 在abc中,已知a=32,b=23,cos c=13,則abc的面積為. 題組二常錯題索引:在abc中角與角的正弦的關(guān)系弄錯;利用正弦定理求角時解的個數(shù)弄錯;余弦定理、面積公式中邊與角的三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系弄錯;三角形中的三角函數(shù)關(guān)系弄錯.5.在abc中,若sin a=sin b,則a,b的關(guān)系為;若sin a>sin b,則a,b的關(guān)系為. 6.在ab

4、c中,若a=60°,a=43,b=42,則b等于. 7.在abc中,a=2,b=3,c=60°,則c=,abc的面積等于. 8.在abc中,a,b,c分別為內(nèi)角a,b,c所對的邊,若ccos a=b,則abc為三角形. 探究點一利用正弦、余弦定理解三角形例1 在abc中,內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,已知a=3,且b2+c2=3+bc.(1)求角a的大小;(2)求bsin c的最大值.   總結(jié)反思 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根據(jù)正弦定

5、理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程,通過解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化,解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系,也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系;(3)涉及最值問題時,常利用基本不等式或表示為三角形的某一內(nèi)角的三角函數(shù)形式求解.變式題 (1)在abc中,內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,已知a=23,c=22,1+tanatanb=2cb,則c=()a.6b.4c.4或34d.3(2)2018·衡水中學(xué)月考 已知abc滿足bc·ac=22,若c=34,sinasinb=12cos(a+b),則ab=. 

6、探究點二利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀例2 已知在abc中,內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin b·sin c=sin2a,則abc的形狀是()a.等腰三角形b.直角三角形c.等邊三角形d.等腰直角三角形   總結(jié)反思 判斷三角形的形狀主要從兩個角度考慮:(1)化邊:通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀;(2)化角:通過三角恒等變換,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷三角形的形狀,此時要注意應(yīng)用a+b+c=這個結(jié)論.變式題 在abc中,a,b,c分別為內(nèi)角a,b,c所對的邊,若tanatanb=a2

7、b2,則abc是()a.直角三角形b.等腰三角形c.等腰直角三角形d.直角三角形或等腰三角形探究點三與三角形面積有關(guān)的問題例3 2018·洛陽三模 在abc中,內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c且bsin b+(c-b)sin c=asin a.(1)求角a的大小;(2)若sin bsin c=38,且abc的面積為23,求a.    總結(jié)反思 (1)若已知一個角(角的大小或該角的正弦值、余弦值),一般結(jié)合題意求夾這個角的兩邊或兩邊之積,再代入公式求解;(2)若已知三邊,可先求一個角的余弦值,再求正弦值,最后代入公式得面積;(3)若求面積的最值,一般表

8、示為一個內(nèi)角的三角函數(shù),利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解,也可結(jié)合基本不等式求解.變式題 2018·黃岡中學(xué)月考 在abc中,內(nèi)角a,b,c的對邊分別為a,b,c,且滿足bc=1,a2-bc=(b-c)2.(1)求abc的面積;(2)若cos bcos c=14,求abc的周長.   第23講正弦定理和余弦定理考試說明 1.通過對任意三角形邊長和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理.2.能利用正弦定理和余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.【課前雙基鞏固】知識聚焦1.bsinbcsincb2+c2-2bccos ac2+a2-2accos ba2+b2-2abcos

9、 c2rsin b2rsin csin asin bsin cb2+c2-a22bca2+c2-b22caa2+b2-c22ab2.一解兩解一解一解對點演練1.263解析 易知a=75°,角b最小,所以邊b最短.由正弦定理bsinb=csinc,得bsin45°=2sin60°,解得b=263.2.7解析 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos c=52+(23)2-2×5×23cos 30°=7,所以c=7.3.60°解析 因為cos c=a2+b2-c22ab=12,所以c=60°.4.43解析 因為sin

10、 c=1-cos2c=223,所以abc的面積s=12absin c=43.5.a=ba>b解析 根據(jù)正弦定理知,在abc中有sin a=sin ba=ba=b,sin a>sin ba>ba>b.6.45°解析 由正弦定理知asina=bsinb,則sin b=bsinaa=42×3243=22.又a>b,所以a>b,所以b為銳角,故b=45°.7.7332解析 易知c=4+9-2×2×3×12=7,abc的面積等于12×2×3×32=332.8.直角解析 ccos

11、a=b,由正弦定理得sin ccos a=sin b=sin(a+c)=sin acos c+cos asin c,整理得sin acos c=0,sin a0,cos c=0,即c=90°,則abc為直角三角形. 【課堂考點探究】例1思路點撥 (1)由余弦定理可得出;(2)用正弦定理將bsin c表示為關(guān)于c的三角函數(shù),再結(jié)合c的取值范圍求最大值.解:(1)由a=3,b2+c2=3+bc,得b2+c2-a22bc=3+bc-a22bc=12,即cos a=12,又a(0,),a=3.(2)由正弦定理,得b=asinasin b=2sin b,bsin c=2sin csin b=2

12、sin csin23-c=2sin c12sinc+32cosc=sin2c+3sin ccos c=32sin 2c-12cos 2c+12=sin2c-6+12.0<c<23,-6<2c-6<76,當(dāng)sin2c-6=1,即c=3時,bsin c取得最大值32.變式題(1)b(2)10解析 (1)由1+tanatanb=2cb得1+sinacosbcosasinb=2sincsinb,整理得sin bcos a+sin acos b=2sin ccos a,所以sin(a+b)=sin c=2sin ccos a,所以cos a=12.又因為a(0,),所以sin a

13、=32.由正弦定理asina=csinc,得sin c=csinaa=22,所以c=4.故選b.(2)由正弦定理可得sinasinb=bcac,因為a+b+c=,所以cos(a+b)=-cos c,則由已知條件可知bcac=-12cosc=22,又bc·ac=22,可得bc=2,ac=2,由余弦定理得ab=bc2+ac2-2·bc·ac·cosc=2+4-2×2×2×-22=10.例2思路點撥 由b2+c2=a2+bc及余弦定理可得a=3,由sin b·sin c=sin2a及正弦定理可得bc=a2,結(jié)合b2+c2

14、=a2+bc可得b=c.c解析 在abc中,b2+c2=a2+bc,cos a=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.又a(0,),a=3. sin b·sin c=sin2a,bc=a2.又由b2+c2=a2+bc,得(b-c)2=a2-bc=0,b=c,abc的形狀是等邊三角形.故選c.變式題d解析 由條件可得sinaa2cosa=sinbb2cosb,由正弦定理可得aa2cosa=bb2cosb,整理可得acos a=bcos b,所以sin acos a=sin bcos b,即sin 2a=sin 2b,所以2a=2b或2a=-2b,所以a=b或a+b=2,所以abc是

15、等腰三角形或直角三角形.例3思路點撥 (1)利用已知條件,結(jié)合正弦定理以及余弦定理即可求出角a的大小;(2)利用正弦定理以及三角形的面積公式求解a.解:(1)由bsin b+(c-b)sin c=asin a及正弦定理得b2+(c-b)c=a2,即b2+c2-bc=a2,由余弦定理得cos a=b2+c2-a22bc=12,又a(0,),a=3.(2)由正弦定理asina=bsinb=csinc,可得b=asinbsina,c=asincsina,sabc=12bcsin a=12·asinbsina·asincsina·sin a=a2sinbsinc2sina

16、=23,又sin bsin c=38,sin a=32,38a2=23,a=4.變式題解:(1)由a2-bc=(b-c)2可得b2+c2-a2=bc,cos a=12,又a(0°,180°),sin a=32,sabc=12bcsin a=34.(2)cos a=-cos(b+c)=12,sin bsin c-cos bcos c=12,又cos bcos c=14,sin bsin c=34.由正弦定理得asina2=bcsinbsinc=43,a=1,b2+c2-a2=(b+c)2-2bc-1=(b+c)2-3.又b2+c2-a2=1,b+c=2,abc的周長為a+b+

17、c=1+2=3.【備選理由】 例1考查了利用正弦、余弦定理解三角形;例2考查了利用二倍角公式、余弦定理以及勾股定理判斷三角形的形狀;例3考查了求三角形的面積的最大值;例4考查了與三角形面積有關(guān)的問題,涉及三角形的中線以及利用基本不等式求解邊的最值等問題.例1配合例1使用 2018·莆田六中月考 在abc中,內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,且c(sin c-sin a)=(sin a+sin b)(b-a).(1)求角b的大小;(2)若c=8,點m,n是線段bc的兩個三等分點,且bm=13bc,anbm=23,求am的值.解:(1)c(sin c-sin a)=(sin a+s

18、in b)(b-a),由正弦定理得c2-ca=b2-a2,a2+c2-b2=ca,cos b=a2+c2-b22ca=12,又0<b<,b=3.(2)設(shè)bm=x,則bn=2x,an=23x,又b=3,ab=8,在abn中,由余弦定理得12x2=64+4x2-2×8×2xcos3,解得x=2(負值舍去),即bm=2,在abm中,由余弦定理得am=ab2+bm2-2·ab·bm·cos3=82+22-2×8×2×12=52=213.例2配合例2使用 已知在abc中,a,b,c分別為內(nèi)角a,b,c的對邊,且c

19、os2a2=12+b2c,則abc為()a.正三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d.等腰三角形解析 bcos2a2=12+b2c,1+cosa2=12+b2c,即cos a=bc,b2+c2-a22bc=bc,則c2=a2+b2,故abc為直角三角形,故選b.例3配合例3使用 2018·三明一中月考 如圖所示,在平面四邊形abcd中,ab=1,cb=2,acd為正三角形,則bcd的面積的最大值為. 答案 1+3解析 在abc中,設(shè)abc=,acb=,由余弦定理可知ac2=12+22-2×1×2cos =5-4cos .acd為正三角形,cd2=5-4cos ,由正弦定理得1sin=acsin,ac·sin =sin ,cd·sin =sin .(cd·cos )2=cd2(1-sin2)=cd2-sin2=5-4cos -sin2=(2-cos )2,<bac,為銳角,cd&