考點14 三角函數(shù)的基本概念、同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學（理）考點一遍過_20210103224731

1、考點14 三角函數(shù)的基本概念、同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式1任意角的概念、弧度制（1）了解任意角的概念.（2）了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化.2三角函數(shù)（1）理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.（2）能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出，的正弦、余弦、正切的誘導公式，能畫出的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.（3）理解同角三角函數(shù)的基本關系式：，.一、角的有關概念1定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形2分類（1）按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角（2）按終邊位置不同分為象限角和軸線角（3）終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構成一

2、個集合3象限角與軸線角第一象限角的集合為；第二象限角的集合為；第三象限角的集合為；第四象限角的集合為終邊與軸非負半軸重合的角的集合為；終邊與軸非正半軸重合的角的集合為；終邊與軸重合的角的集合為；終邊與軸非負半軸重合的角的集合為；終邊與軸非正半軸重合的角的集合為；終邊與軸重合的角的集合為；終邊與坐標軸重合的角的集合為二、弧度制11弧度的角把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角規(guī)定：是以角作為圓心角時所對圓弧的長，為半徑正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零2弧度制用“弧度”做單位來度量角的單位制叫做弧度制比值與所取的的大小無關，僅與角的大小有關3弧度與角度的換算4弧長公

3、式，其中的單位是弧度，與的單位要統(tǒng)一.角度制下的弧長公式為：（其中為扇形圓心角的角度數(shù)）.5扇形的面積公式. 角度制下的扇形面積公式為：（其中為扇形圓心角的角度數(shù)）.三、任意角的三角函數(shù) 1定義設是一個任意角，它的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，點是角的終邊上任意一點，到原點的距離，那么角的正弦、余弦、正切分別是 注意：正切函數(shù)的定義域是，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是. 2三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函數(shù)線設角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點，過作垂直于軸于由三角函數(shù)的定義知，點的坐標為，即，

4、其中單位圓與軸的正半軸交于點，單位圓在點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點，則我們把有向線段分別叫做的余弦線、正弦線、正切線各象限內(nèi)的三角函數(shù)線如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限圖形4特殊角的三角函數(shù)值0 0100100101不存在0不存在0補充：四、同角三角函數(shù)的基本關系式1平方關系2商的關系3同角三角函數(shù)基本關系式的變形（1）平方關系的變形：；（2）商的關系的變形：；（3）五、三角函數(shù)的誘導公式公式一二三四五六角2k+（kz）+正弦sin sinsinsincoscos余弦cos cos cos cos sinsin 正切tan tantantan口訣函數(shù)名不變，符號看象

5、限函數(shù)名改變，符號看象限考向一 三角函數(shù)的定義1利用三角函數(shù)的定義求角的三角函數(shù)值，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x、縱坐標y、該點到原點的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況(點所在象限不同)2利用三角函數(shù)線解三角不等式的步驟：確定區(qū)域的邊界；確定區(qū)域；寫出解集3已知角的終邊所在的直線方程或角的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角終邊上某特定點的坐標4三角函數(shù)值的符號及角的位置的判斷已知一角的三角函數(shù)值(，)中任意兩個的符號，可分別確定出角的終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置注意終邊在坐標軸上的特殊情況.典例1 已知角的終

6、邊上有一點p（，m），且m，求與的值.【解析】由已知有，得m=0，或.當m=0時，； 當時，；當時，.【名師點睛】任意角的三角函數(shù)值僅與角的終邊位置有關，而與角終邊上點p的位置無關若角已經(jīng)給出，則無論點p選擇在終邊上的什么位置，角的三角函數(shù)值都是確定的1已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為a±2b2c2d4考向二 象限角和終邊相同的角的判斷及表示方法1已知所在的象限，求或n（nn*）所在的象限的方法是：將的范圍用不等式（含有k）表示，然后兩邊同除以n或乘以n，再對k進行討論，得到或n（nn*）所在的象限2象限角的判定有兩種方法：一是根據(jù)圖象，其依據(jù)是終邊相同的角的思想；二是先將此角化為k&#

7、183;360°（0°<360°，kz）的形式，即找出與此角終邊相同的角，再由角終邊所在的象限來判斷此角是第幾象限角3由角的終邊所在的象限判斷三角函數(shù)式的符號，需確定各三角函數(shù)的符號，然后依據(jù)“同號得正，異號得負”求解.典例2 已知, ,試確定角是第幾象限的角.【解析】因為>0,<0，所以是第二象限的角，所以.由知,所以,故角是第四象限的角.【名師點睛】角與所在象限的對應關系：若角是第一象限角，則是第一象限角或第三象限角；若角是第二象限角，則是第一象限角或第三象限角；若角是第三象限角，則是第二象限角或第四象限角；若角是第四象限角，則是第二象限角或

8、第四象限角2若sinx0，且sin（cosx）0，則角是a第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角考向三 同角三角函數(shù)基本關系式的應用1利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化2的齊次式的應用：分式中分子與分母是關于的齊次式，或含有及的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉(zhuǎn)化為“切”后求解.典例3 已知0<<，sin(-)+cos(+)=m.（1）當m=1時，求的值；（2）當m=55時，求tan的值.【解析】（1）由已知得sin-cos=1，1-2sincos=1，sincos=0，又0<<，cos=0，=2.（2）當m=

9、55時，sin-cos=55.方法1：1-2sincos=15，sincos=25>0，0<<2，(sin+cos)2=1+2sincos=95，sin+cos=355.由可得sin=255，cos=55，tan=2.方法2：sin2-2sincos+cos2=15=15(sin2+cos2)，2sin2-5sincos+2cos2=0，2tan2-5tan+2=0，tan=2或tan=12，又1>sin-cos=55>0，4<<2，tan>1，tan=2.3已知，則abcd考向四 誘導公式的應用1應用誘導公式，重點是“函數(shù)名稱”與“正負號”的正

10、確判斷求任意角的三角函數(shù)值的問題，都可以通過誘導公式化為銳角三角函數(shù)的求值問題，具體步驟為“負角化正角”“正角化銳角”求值2使用誘導公式時一定要注意三角函數(shù)值在各象限的符號，特別是在具體題目中出現(xiàn)類似的形式時，需要對k的取值進行分類討論，從而確定出三角函數(shù)值的正負3利用誘導公式化簡三角函數(shù)式的思路：（1）分析結(jié)構特點，選擇恰當公式；（2）利用公式化成單角三角函數(shù)；（3）整理得最簡形式利用誘導公式化簡三角函數(shù)式的要求：（1）化簡過程是恒等變形；（2）結(jié)果要求項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構盡可能簡單，能求值的要求出值4巧用相關角的關系能簡化解題的過程常見的互余關系有與，與，與等；常見的互補關系有

11、與，與等.典例4 已知,且，則a bc d【答案】a【解析】，.，則.，.故選a典例5 （1）化簡：；（2）化簡：.【解析】（1）=.（2）原式.4已知，則abcd考向五 同角三角函數(shù)的基本關系式、誘導公式在三角形中的應用與三角形相結(jié)合時，誘導公式在三角形中經(jīng)常使用，常用的角的變形有：,，等，于是可得，等典例6 在中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，若a=23，tana=34，則sina=_，b=_.【答案】，4+3【解析】由,得，,由正弦定理.5在中，“”是“為鈍角三角形”的a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件1與終邊相同的角是abcd2設集合，則ab

12、cd3已知扇形面積為，半徑是l，則扇形的圓心角是a bc d4函數(shù)的值域是abcd5若，則a b c d 6若，則a2 bc3 d7在平面直角坐標系中，若角的終邊經(jīng)過點，則a bc d8已知 ，則abcd9若，則的值為a bc d10已知點在終邊上，則_11在平面直角坐標系中,p點的坐標為,q是第三象限內(nèi)一點,|oq|=1,且,則q點的橫坐標為_.12已知的終邊與單位圓交于點,點關于直線對稱后的點為,點關于軸對稱后的點為,設角的終邊為射線.（1）與的關系為_;（2）若,則_.13 在中，且cos a cos（b），則c等于 14已知角的終邊經(jīng)過點，且（1）求的值；（2）求的值15已知中，.（1

13、）試判斷三角形的形狀；（2）求的值.16已知向量與互相平行，其中.（1）求sin和cos的值；（2）若sin（），0<<，求cos的值1（2019年高考全國卷理數(shù)）已知(0，)，2sin2=cos2+1，則sin=a b c d2（2017年高考北京卷理數(shù)）在平面直角坐標系xoy中，角與角均以ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱.若，則=_.3（2018年高考全國理數(shù)）已知，則_4（2018年高考浙江卷）已知角的頂點與原點o重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點p（）（1）求sin（+）的值；（2）若角滿足sin（+）=，求cos的值變式拓展1【答案】c【解析】已知角的終邊經(jīng)過

14、點，則.故選c【名師點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎題求解時，直接利用任意角的三角函數(shù)的定義求得的值2【答案】d【解析】1cosx1，且sin（cosx）0，0cosx1，又sinx0，角x為第四象限角，故選d【名師點睛】本題主要考查三角函數(shù)中角的象限的確定，根據(jù)三角函數(shù)值的符號去判斷象限是解決本題的關鍵求解時，根據(jù)三角函數(shù)角的范圍和符號之間的關系進行判斷即可3【答案】a【解析】因為，所以.故選a.【名師點睛】本題主要考查誘導公式的應用，三角函數(shù)式的化簡等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.由題意結(jié)合誘導公式和三角函數(shù)的性質(zhì)化簡三角函數(shù)式即可.4【答案】c【解析】因為

15、，由誘導公式可得，又因為，所以.故選c.【名師點睛】本題考查了誘導公式，解題的關鍵是在于誘導公式的掌握，易錯點為沒有注意角的范圍，屬于較為基礎題.求解時，先由誘導公式對原式進行化簡，從而可得，再利用角的平方關系可得結(jié)果.5【答案】a【解析】由，且b必為銳角，可得或，即角或角為鈍角；反之，當，時，而=，所以不成立，所以“”是“為鈍角三角形”的充分不必要條件，故選a.【名師點睛】本題考查充分必要條件的判定，考查了三角形形狀的判定，考查誘導公式等，屬于綜合題求解時，先由誘導公式將正弦化為余弦，利用余弦的三角函數(shù)線比較大小即可得到角或角為鈍角，再舉反例說明必要性不成立即可.考點沖關1【答案】d【解析】

16、終邊相同的角相差了的整數(shù)倍，設與角的終邊相同的角是，則，當時，故選d【名師點睛】本題考查終邊相同的角的概念及終邊相同的角的表示形式屬于基本知識的考查終邊相同的角相差了的整數(shù)倍，由，令，即可得解2【答案】c【解析】，當時，時，時，時，又，故選c【名師點睛】本題考查了交集及其運算，考查了賦值思想，是基礎題求解時，分別取，得到內(nèi)的值，與取交集得答案3【答案】c【解析】設扇形的圓心角是，則，解得，故選c4【答案】c【解析】由題意可知：角的終邊不能落在坐標軸上，當角終邊在第一象限時，當角終邊在第二象限時，當角終邊在第三象限時，當角終邊在第四象限時，因此函數(shù)的值域為，故選c.【名師點睛】本題考查了三角函數(shù)

17、的正負性、分類討論思想、數(shù)學運算能力.因為角的終邊不能落在坐標軸上，所以分別求出角終邊在第一、第二、第三、第四象限時，根據(jù)三角函數(shù)的正負性，函數(shù)的表達式，進而求出函數(shù)的值域.5【答案】c【解析】由得是第一、三象限角，若是第三象限角，則a，b錯；由知，c正確；取時，d錯6【答案】a【解析】因為，所以即，選a 7【答案】b【解析】由誘導公式可得：，即，由三角函數(shù)的定義可得：，則.故選b.8【答案】c【解析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式和三角函數(shù)基本關系式，可得：，解得，故選c.【名師點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導公式和三角函數(shù)的基本關系式的化簡求值問題，其中解答中熟記三角函數(shù)的誘導公式和三角函數(shù)的基

18、本關系式，準確化簡是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.9【答案】c【解析】由誘導公式得，兩邊平方得，則，所以，又因為，所以，所以，故選c10【答案】【解析】點p（1，2）在角的終邊上，將原式分子分母同除以，則原式.故答案為：5【名師點睛】此題考查了任意角的三角函數(shù)定義,同角三角函數(shù)基本關系的運用，屬于基礎題求解時，根據(jù)p坐標，利用任意角的三角函數(shù)定義求出的值，原式分子分母除以，利用同角三角函數(shù)間基本關系化簡，把的值代入計算即可求出值11【答案】【解析】設,則,q點的橫坐標為.12【答案】（1）;（2）【解析】（1）由題意可得點為單位圓上的點，并且以射線為終邊的角的大小為，所以

19、又因為兩點關于直線對稱，所以 即則.（2） 故 13【答案】【解析】 又，.又即， 故填.14【解析】（1）因為角的終邊經(jīng)過點，且，所以有，求得.（2）由（1）可得，所以=【名師點睛】本題考查了余弦函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)關系中的正弦、余弦平方和為1的關系和商關系，考查了數(shù)學運算能力.15【解析】（1）將原式平方得12sinacosa=即2sinacosa=，故cosa，則三角形為鈍角三角形.（2）由（1）cosa+sina=，解得或，故tana=或.【名師點睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關系，考查化簡求值能力，是中檔題.求解時，（1）將原式平方得2sinacosa<0,得cosa即可判斷三角形為鈍角三角形；（2）結(jié)合（1）求得cosa+sina=，求得sina及cosa即可求解.16【解析】（1）a與b互相平行，sin2cos，代入sin2cos21，可得cos，又，cos，sin.（2）0<<，0<<，<<，又sin（），cos（），