人教A版2020屆高考數(shù)學一輪復習講義：圓錐曲線的共線比例_20210103224735

1、圓錐曲線的共線比例知識講解一、向量形式成比例問題由直線與橢圓方程聯(lián)立得設點為，則（3）（4）是等價的，我們在橢圓的問題上只選擇（3）運用將（3）代入（1）得將（3）代入（2）得得故成比例的問題主要就是消去參數(shù)，求出的關系式二、線段類成比例設線段成比例主要利用相似轉(zhuǎn)化為或是成比例的關系上，慎用弦長公式求線段長，計算量比較大.三、共線類問題方法：共線問題可以用向量或斜率相等來解答.四、向量的線性表示問題解決方法：向量的線性表示問題的形式為,通常為圓錐曲線上一點，解題思路是利用的坐標滿足圓錐曲線方程而建立等式，解決問題經(jīng)典例題一選擇題（共10小題）1直線l過拋物線y2=ax（a0）的焦點f且與拋物線

2、交于a，b兩點，則|af|bf|af|+|bf|=（）aa2ba4c2ad4a【解答】解：拋物線的焦點f（a4，0），設直線l的方程為x=ky+a4，聯(lián)立方程組&x=ky+a4&y2=ax，消去y得：x2（a2+k2a）x+a216=0，設a（x1，y1），b（x2，y2），則x1+x2=a2+k2a，x1x2=a216，又|af|=x1+a4，|bf|=x2+a4，|af|bf|af|+|bf|=(x1+a4)(x2+a4)x1+x2+a2=a216+a4(a2+k2a)+a216a+k2a=a24(1+k2)a(1+k2)=a4故選：b2已知a（2，0），b（0，1）是橢圓

3、x2a2+y2b2=1的兩個頂點，直線y=kx（k0）與直線ab相交于點d，與橢圓相交于e，f兩點，若ed=6df，則斜率k的值為（）a23b38c23或38d23或34【解答】解：依題設得橢圓的方程為x24+y2=1，直線ab，ef的方程分別為x+2y=2，y=kx（k0）設d（x0，kx0），e（x1，kx1），f（x2，kx2），其中x1x2，且x1，x2滿足方程（1+4k2）x2=4，故x2=x1=21+4k2，由ed=6df，知x0x1=6（x2x0），得x0=17（6x2+x1）=57x2=1071+4k2，由d在ab上知x0+2kx0=2，得x0=21+2k所以21+2k=107

4、1+4k2，化簡得24k225k+6=0，解得k=23或k=38故選：c3若雙曲線c：x2y2=1的右頂點為a，過a的直線l與雙曲線c的兩條漸近線交于p，q兩點，且pa=2aq，則直線l的斜率為（）a13b23c2d3【解答】解：a（1，0），漸近線方程為y=x，y=x設直線l的方程為：y=kxk，聯(lián)立方程組&y=x&y=kx-k，解得p（kk-1，kk-1），聯(lián)立方程組&y=-x&y=kx-k，解得q（kk+1，kk+1），pa=2aq，k1或k1，（kk-11）2+k2(k-1)2=4（kk+11）2+4k2(k+1)2，即1(k-1)2=4(k+1)2，解

5、得k=3或k=13（舍）故選：d4已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦點分別為f1，f2，點p在雙曲線的右支上，且|pf1|=4|pf2|，則雙曲線離心率的取值范圍是（）a(53，2b(1，53c（1，2d53，+)【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線x2a2-y2b2=1(a0，b0)中，點p在雙曲線的右支上，則|pf1|pf2|=2a，又由|pf1|=4|pf2|，則|pf2|=2a3，則有2a3c-a，變形可得：23e1，即可得：e53，則雙曲線的離心率取值范圍為(1，53故選：b5設雙曲線的方程為x2a2y2b2=1（a0，b0），若雙曲線的漸近線被圓m：x2+y210x=

6、0所截得的兩條弦長之和為12，已知abp的頂點a，b分別為雙曲線的左、右焦點，頂點p在雙曲線上，則|sinp|sina-sinb|的值等于（）a35b73c53d7【解答】解：雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，雙曲線的漸近線被圓m：x2+y210x=0，即（x5）2+y2=25所截得的兩條弦長之和為12，設圓心到直線的距離為d，則d=25-9=4，5ba2+b2=4，即5b=4c，即b=45ca2=c2b2=925c2，a=35c，|apbp|=2a，由正弦定理可得apsinb=pbsina=absinp=2r，sinb=ap2r，sina=bp2r，sinp=2c2r，|sinp|sina

7、-sinb|=2c2r|bp2r-ap2r|=2c2a=53，故選：c6設f1，f2分別是雙曲線c：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦點，m是c的右支上的點，射線mn平分f1mf2，過原點o作mn的平行線交mf1于點t，若|f1f2|=4|tm|，則雙曲線c的離心率為（）a52b2c2d3【解答】解：設mn交x軸于n，mn為三角形mf1f2的角平分線，可得mf1mf2=f1nnf2=c+onc-on，又otmn，可得mttf1=onof1=onc，即有mf1mf2=c+onc-on=mt+tf1tf1-mt=mf1mf1-2mt，則mf2=mf12mt，由雙曲線的定義可得，mf1m

8、f2=2a=2mt=c，則c=2a，則雙曲線的離心率e=ca=2，故選：b7如圖，已知梯形abcd中|ab|=2|cd|，點e在線段ac上，且ae=25ac，雙曲線過c，d，e三點，以a，b為焦點；則雙曲線離心率e的值為（）a32b7c52d2【解答】解：由|ab|=2|cd|，以ab所在的直線為x軸，以ab的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的坐標系，設雙曲線的方程為x2a2y2b2=1，由雙曲線是以a，b為焦點，a（c，0），b（c，0），把x=12c，代入x2a2y2b2=1，可得y=bc24a2-1，即有c（12c，bc24a2-1），又設a（c，0），ac=（32c，bc24a2-1），

9、設e（x，y），ae=（x+c，y），ae=25ac，（x+c，y）=25（32c，bc24a2-1），解得x=25c，y=25bc24a2-1），可得e（25c，25bc24a2-1），代入雙曲線的方程可得4c225a2425（c24a21）=1，即e2（e241）=254，即e2=7，即e=7，故選：b8如圖，已知雙曲線c：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左焦點為f，a為虛軸的一端點若以a為圓心的圓與c的一條漸近線相切于點b，且ab=tbf（tr），則該雙曲線的離心率為（）a2b5c1+32d1+52【解答】解：ab=tbf（tr），由題意bf垂直于雙曲線的漸近線y=bax，kbf=

10、bc，bcba=1，b2ac=0，c2a2ac=0，e2e1=0，e1，e=1+52故選：d9設拋物線c：y2=2px（p0）的焦點為f，準線為l，過點f的直線與拋物線交于點m，n，與y軸交于點(0，3)，與l交于點p，點m在線段pf上，若|pm|=2|mf|，則|mn|=（）a94b254c83d163【解答】解：如圖，過m作mel=e，由|pm|=2|mf|，得|pm|=2|me|，mn所在直線斜率為-23p=-3，則p=2則拋物線方程為y2=4x，f（1，0），mn所在直線方程為y=-3(x-1)，聯(lián)立&y=-3x+3&y2=4x，得3x210x+3=0設m（x1，y1）

11、，n（x2，y2），則x1+x2=103|mn|=x1+x2+p=103+2=163故選：d10已知拋物線c：y2=4x，過拋物線c焦點f的直線l交拋物線c于a、b兩點（點a在第一象限），且交拋物線c的準線于點e若ae=2be，則直線l的斜率為（）a3b22c3d1【解答】解：分別過a和d兩點做ad、bc垂直于準線，交準線于d、c兩點垂足分別為d，c，由ae=2be，則b為ae的中點，丨ab丨=丨be丨，則丨ad丨=2丨bc丨，由拋物線的定義可知：丨af丨=丨ad丨，丨bf丨=丨bc丨，丨ab丨=3丨bc丨，丨be丨=3丨bc丨，則丨be丨=22丨bc丨，tancbe=丨ce丨丨cb丨=22，

12、直線l的斜率k=tanafx=tancbe=22，故選：b二填空題（共4小題）11設直線l過點p（0，3），和橢圓x29+y24=1交于a、b兩點（a在b上方），試求|ap|pb|的取值范圍15，1)【解答】解：當直線l的斜率不存在時，a點坐標為（0，2），b點坐標為（0，2），這時|ap|pb|=15當直線l斜率為k時，直線l方程為y=kx+3，設a點坐標為（x1，y1），b點坐標為（x2，y2），則向量ap=（x1，3y1），向量pb=（x2，y23），所以|ap|pb|=x1x2，因為直線y=kx+3與橢圓有兩個交點，且它們的橫坐標不同，把y=kx+3代入x29+y24=1后的一元二次方

13、程（9k2+4）x2+54k+45=0的判別式（54k）24（9k2+4）×450，所以k53或k53，設x1x2=，則x1=x2，因為x1+x2=54k9k2+4，x1x2=459k2+4，所以（1+）x254k9k2+4，（1）x22=459k2+4，（2）顯然不等于1，解得01綜上所述|ap|pb|的范圍是15，1）故答案為：15，1）12如圖，p是橢圓x225+y29=1上的一點，f是橢圓的左焦點，且oq=12(op+of)，|oq|=4，則點p到該橢圓左準線的距離為52【解答】解：oq=12(op+of)，q是線段pf的中點，由p在橢圓上且|oq|=4，設p（a，b），f（

14、4，0），q（a-42，b2），&a225+b29=1&(a-42)2+b24=4，a=-154，橢圓左準線x=254點p到該橢圓左準線的距離d=(-154)-(-254)=52故答案：5213已知f1，f2是雙曲線c：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦點，過f1的直線l與c的左、右兩支分別交于a，b兩點若|ab|：|bf2|：|af2|=3：4：5，則雙曲線的離心率為13【解答】解：|ab|：|bf2|：|af2|=3：4：5，不妨令|ab|=3，|bf2|=4，|af2|=5，|ab|2+|bf2|2=|af2|2，abf2=90°，又由雙曲線的定義得

15、：|bf1|bf2|=2a，|af2|af1|=2a，|af1|+34=5|af1|，|af1|=3|bf1|bf2|=3+34=2a，a=1在rtbf1f2中，|f1f2|2=|bf1|2+|bf2|2=62+42=52，|f1f2|2=4c2，4c2=52，c=13雙曲線的離心率e=ca=13故答案為：1314已知以f為焦點的拋物線y2=4x上的兩點a，b滿足af=2fb，則弦ab中點到拋物線準線的距離為94【解答】解：設bf=m，由拋物線的定義知aa1=2m，bb1=mabc中，ac=m，ab=3m，kab=22直線ab方程為y=22（x1）與拋物線方程聯(lián)立消y得2x25x+2=0所以a

16、b中點到準線距離為x1+x22+1=94故答案為：94三解答題（共8小題）15已知橢圓c：x2a2+y2b2=1（ab0）的離心率為12，直線l：x+2y=4與橢圓有且只有一個交點t（i）求橢圓c的方程和點t的坐標；（）o為坐標原點，與ot平行的直線l與橢圓c交于不同的兩點a，b，直線l與直線l交于點p，試判斷|pt|2|pa|pb|是否為定值，若是請求出定值，若不是請說明理由【解答】解：（i）由e=ca=1-b2a2=12，b2=34a2，聯(lián)立&x+2y=4&x2a2+4y23a2=1，消去x，整理得：163y2-16y+16-a2=0，由=0，解得：a2=4，b2=3，橢圓

17、的標準方程x24+y23=1，由可知yt=32，則t（1，32）；（）設直線l的方程為y=32x+t，由&y=32x+t&x+2y=4，解得p的坐標為（1t2，32+t4），所以|pt|2=516t2，設a（x1，y1），b（x2，y2），聯(lián)立&y=32x+t&3x2+4y2=12，消去y整理得x2+tx+t231=0，則&x1+x2=-t&x1x2=t2-33，=t24（t231）0，t212，y1=32x1+t，y2=32x2+t，|pa|=(1-t2-x1)2+(32+t4-y1)2=132|2-t2x1|，同理|pb|=132|2-t2x

18、2|，|pa|pb|=134|（2-t2x1）（2-t2x2）|=134|(2-t2)22-t2（x1+x2）+x1x2|，134|(2-t2)22-t2（t）+t2-33|=1348t2，|pt|2|pa|pb|=516t21548t2=1513，|pt|2|pa|pb|=1513為定值16在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為22，a，f分別為橢圓的上頂點和右焦點，aof的面積為12，直線af與橢圓交于另一個點b，線段ab的中點為p（1）求直線op的斜率；（2）設平行于op的直線l與橢圓交于不同的兩點c，d，且與直線af交于點q，求證：存在常數(shù)，使得q

19、cqd=qaqb【解答】解：（1）根據(jù)題意，橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為22，即e=ca=a2-b2a=22，即a2=2b2，c2=a2b2=b2，所以a（0，b），f（c，0），所以12c2=12，所以c=1，所以橢圓的方程為x22+y2=1直線af的方程為y=x+1，聯(lián)立&x22+y2=1&y=-x+1消去y得3x24x=0，所以x=43或x=0，所以b(43，-13)，從而得線段ab的中點p(23，13)所以直線op的斜率為13-023-0=12（2）證明：由（1）知，直線af的方程為y=x+1，直線op的斜率為12，設直線l的方程為y=12x+t(t0

20、)聯(lián)立&y=12x+t&y=-x+1得&x=2-2t3&y=2t+13.；所以點q的坐標為(2-2t3，2t+13)所以qa=(2t-23，2-2t3)，qb=(2t+23，-2t+23)所以qaqb=89(t2-1)聯(lián)立&x22+y2=1&y=12x+t消去y得32x2+2tx+2t2-2=0，由已知得=4（32t2）0，又t0，得t(-62，0)(0，62)設c（x1，y1），d（x2，y2），則y1=12x1+t，y2=12x2+t，x1+x2=-4t3，x1x2=4t2-43所以qc=(x1-2-2t3，y1-2t+13)=(x1+2t-

21、23，12x1+t-13)，qd=(x2+2t-23，12x2+t-13)，故qcqd=(x1+2t-23)(x2+2t-23)+(12x1+t-13)(12x2+t-13)=54x1x2+5t-56(x1+x2)+5(t-1)29=54×4t2-43-5t-56×4t3+5(t-1)29=54×89(t2-1)所以qcqd=54qaqb所以存在常數(shù)=54，使得qcqd=qaqb17如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓x2a2+y2b2=1（a0，b0）的離心率為12，且過點（1，32）f為橢圓的右焦點，a，b為橢圓上關于原點對稱的兩點，連接af，bf分別交橢

22、圓于c，d兩點（1）求橢圓的標準方程；（2）若af=fc，求bffd的值；（3）設直線ab，cd的斜率分別為k1，k2，是否存在實數(shù)m，使得k2=mk1，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）由題意知e=ca=12，則a=2c，b2=a2c2=3c2，將（1，32）代入橢圓方程：14c2+93c2×4=1，解得：c=1，則a=2，b=3，（2分）橢圓方程為：x24+y23=1；（4分）（2）若af=fc，由橢圓對稱性，知a（1，32），則b（1，32），f（1，0）此時直線bf方程為3x4y3=0，（6分）由&3x-4y-3=0&x24+y23=1

23、，整理得7x26x13=0，解得x=137（x=1舍去），（8分）故bffd=1-(-1)137-1=73（10分）（3）設a（x0，y0），則b（x0，y0），直線af的方程為y=y0x0-1（x1），代入橢圓方程x24+y23=1，得（156x0）x28y0215x02+24x0=0，即（156x0）x2（246x02）x15x02+24x0=0，因為x=x0是該方程的一個解，所以c點的橫坐標xc=8-5x05-2x0，（12分）又c（xc，yc）在直線y=y0x0-1（x1）上，所以yc=y0x0-1（xc1）=-3y05-2x0，同理，d點坐標為（8+5x05+2x0，3y05+2x0

24、），（14分）所以k2=3y05+2x0-3y05-2x08+5x05+2x0-8-5x05-2x0=5y03x0=53k1，即存在m=53，使得k2=53k1 （16分）18已知橢圓e：x2a2+y2b2=1（ab0）經(jīng)過點(1，32)，其左焦點為f(-3，0)，過f點的直線l交橢圓于a、b兩點，交y軸的正半軸于點m（1）求橢圓e的方程；（2）過點f且與l垂直的直線交橢圓于c、d兩點，若四邊形acbd的面積為43，求直線l的方程；（3）設ma=1af，mb=2bf，求證：1+2為定值【解答】解：（1）由題意可得：c=3，則a2=b2+c2=b2+3，將(1，32)代入橢圓方程：1b2+3+3

25、4b2=1，解得：b2=1，a2=4，橢圓的e的方程：x24+y2=1；（2）設直線l：y=k（x+3），a（x1，y1），b（x2，y2），c（x0，y0），則d（x1，y1），聯(lián)立&x2+4y2=4&y=k(x+3)，整理得：（1+4k2）x2+83k2x+12k24=0，x1+x2=83k21+4k2，x1x2=12k2-41+4k2，|ab|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=4(1+k2)1+4k2，由直線cd的斜率為1k，將k轉(zhuǎn)化成1k，同理|cd|=4(1+k2)1+k2，四邊形acbd的面積s=12×|ab|cd|=8(1+k2)2(k2+4)(1

26、+4k2)=43，2k45k2+2=0，解得：k2=2，k2=12，k=±2或k=±22，由k0，k=2或k=22，直線ab的方程為x2y+3=0或2xy+6=0；（3）ma=1af，mb=2bf，得x1=1（3x1），x2=2（3x2），1=x1-3-x1，2=x2-3-x2，1+2=（x13+x1+x23+x2）=2x1x2+3(x1+x2)x1x2+3(x1+x2)+3=2×12k2-41+4k2+3×(-83k21+4k2)12k2-41+4k2+3×(-83k21+4k2)+3=8，1+2為定值，定值為819如圖，橢圓x2a2+y2b

27、2=1(ab0)的離心率為22，焦點到相應準線的距離為1，點a，b，c分別為橢圓的左頂點、右頂點和上頂點，過點c的直線l交橢圓于點d，交x軸于點m（x1，0），直線ac與直線bd交于點n（x2，y2）（1）求橢圓的標準方程；（2）若cm=2md，求直線l的方程；（3）求證：x1x2為定值【解答】（1）解：由橢圓的離心率為22，焦點到對應準線的距離為1可得：ca=22，a2cc=1，a2=b2+c2，解得a=2，c=1=b橢圓的標準方程為：x22+y2=1（2）解：由（1）知c（0，1），設d（x0，y0），cm=2md，得2y0=1，y0=12，代入橢圓方程得：x022+14=1，解得x0=&

28、#177;62d(±62，-12)，l的方程為：y=±62x+1（3）證明：設d坐標為（x3，y3），由c（0，1），m（x1，0）可得直線cm的方程：y=1x1x+1，聯(lián)立橢圓方程得：&y=-1x1x+1&x22+y2=1，解得x3=4x1x12+2，y3=x12-2x12+2由b（2，0），得直線bd的方程：y=x12-2-2x12+4x1-22（x2），直線ac方程為：y=22x+1，聯(lián)立得：x2=2x1，從而x1x2=2為定值20已知點f1、f2為雙曲線c：x2-y2b2=1(b0)的左、右焦點，過f2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線c于點m，

29、且mf1f2=30°圓o的方程是x2+y2=b2（1）求雙曲線c的方程；（2）過雙曲線c上任意一點p作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為p1、p2，求pp1pp2的值；（3）過圓o上任意一點q（x0，y0）作圓o的切線l交雙曲線c于a、b兩點，ab中點為m，求證：|ab|=2|om|【解答】（1）解：設f2，m的坐標分別為(1+b2，0)，(1+b2，y0)因為點m在雙曲線c上，所以1+b2-y02b2=1，即y0=±b2，所以|mf2|=b2在rtmf2f1中，mf1f2=300，|mf2|=b2，所以|mf1|=2b2（2分）由雙曲線的定義可知：|mf1|-|mf2|

30、=b2=2故雙曲線c的方程為：x2-y22=1（4分）（2）解：由條件可知：兩條漸近線分別為l1：2x-y=0；l2：2x+y=0（5分）設雙曲線c上的點q（x0，y0），設兩漸近線的夾角為，則則點q到兩條漸近線的距離分別為|pp1|=|2x0-y0|3，|pp2|=|2x0+y0|3（7分）因為q（x0，y0）在雙曲線c：x2-y22=1上，所以2x02-y02=2又cos=13，所以pp1pp2=|2x0-y0|3|2x0+y0|3cos=|2x02-y02|313=29（10分）（3）證明：由題意，即證：oaob設a（x1，y1），b（x2，y2），切線l的方程為：x0x+y0y=2（1

31、1分）當y00時，切線l的方程代入雙曲線c中，化簡得：(2y02-x02)x2+4x0x-(2y02+4)=0所以：x1+x2=-4x0(2y02-x02)，x1x2=-(2y02+4)(2y02-x02)又y1y2=(2-x0x1)y0(2-x0x2)y0=1y024-2x0(x1+x2)+x02x1x2=8-2x022y02-x02（13分）所以oaob=x1x2+y1y2=-(2y02+4)(2y02-x02)+8-2x022y02-x02=4-2(x02+y02)2y02-x02=0（15分）當y0=0時，易知上述結論也成立 所以oaob=x1x2+y1y2=0（16分）綜上，oaob，所以|ab|=2|om|21已知拋物線c：y2=2px經(jīng)過點p（1，2），過點q（0，1）的直線l與拋物線c有兩個不同的交點a，b，且直線pa交y軸于m，直線pb交y軸于n（）求直線l的斜率的取值范圍；（）設o為原點，qm=qo，qn=qo，求證：1+1為定值【解答】解：（）拋物線c：y2=2px經(jīng)過點p（1，2），4=2p，解得p=2，設過點（0，1）的直線方程為y=kx+1，設a（x1