2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第九章 9.1直線的方程-教師版

1、 第1課時(shí)進(jìn)門測判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置()(2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率(×)(3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大(×)(4)直線的斜率為tan ，則其傾斜角為.(×)(5)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等(×)(6)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()作業(yè)檢查無第2課時(shí)階段訓(xùn)練題型一直線的傾斜角與斜率例1(1)已知直線l的傾斜角為，斜率為k，那么“>”是“k

2、>”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件(2)直線l過點(diǎn)p(1,0)，且與以a(2,1)，b(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為 答案(1)b(2)(，1，)解析(1)當(dāng)<<時(shí)，k<0；當(dāng)k>時(shí)，<<.所以“>”是“k>”的必要不充分條件，故選b.(2)如圖，kap1，kbp，k(， 1，)引申探究1若將題(2)中p(1,0)改為p(1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍解p(1,0)，a(2,1)，b(0，)，kap，kbp.如圖可知，直線l斜率的取值范圍為.2若將題(2)中的b

3、點(diǎn)坐標(biāo)改為(2，1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的范圍解如圖，直線pa的傾斜角為45°，直線pb的傾斜角為135°，由圖象知l的傾斜角的范圍為0°，45°135°，180°)思維升華直線傾斜角的范圍是0，)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種情況討論由正切函數(shù)圖象可以看出，當(dāng)時(shí)，斜率k0，)；當(dāng)時(shí)，斜率不存在；當(dāng)時(shí)，斜率k(，0)已知過定點(diǎn)p(2,0)的直線l與曲線y相交于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)aob的面積取到最大值時(shí)，直線l的傾斜角為()a150° b135° c1

4、20° d不存在答案a解析由y得x2y22(y0)，它表示以原點(diǎn)o為圓心，以為半徑的圓的一部分，其圖象如圖所示顯然直線l的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)p(2,0)的直線l為yk(x2)，則圓心到此直線的距離d，弦長|ab|2 2，所以saob××21，當(dāng)且僅當(dāng)(2k)222k2，即k2時(shí)等號(hào)成立，由圖可得k(k舍去)，故直線l的傾斜角為150°.題型二求直線的方程例2根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(diǎn)(4,0)，傾斜角的正弦值為；(2)直線過點(diǎn)(5,10)，到原點(diǎn)的距離為5；(3)過點(diǎn)a(5，4)作直線l，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5，求直

5、線l的方程解(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式設(shè)傾斜角為，則sin (0<<)，從而cos ±，則ktan ±.故所求直線方程為y±(x4)即x3y40或x3y40.(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x50；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy(105k)0.由點(diǎn)到直線的距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為3x4y250.綜上知，所求直線方程為x50或3x4y250.(3)由已知，l的兩截距不為0，設(shè)l的方程為1，則解得或直線l的方程為1或1，即2x5y100或8x5y200.思維升華在求直線方程時(shí)，應(yīng)

6、先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)p(3,2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)過點(diǎn)a(1，3)，斜率是直線y3x的斜率的倍；(3)過點(diǎn)a(1，1)與已知直線l1：2xy60相交于b點(diǎn)且|ab|5.解(1)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，l的方程為yx，即2x3y0.若a0，則設(shè)l的方程

7、為1，l過點(diǎn)(3,2)，1，a5，l的方程為xy50，綜上可知，直線l的方程為2x3y0或xy50.(2)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k×3.又直線經(jīng)過點(diǎn)a(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.(3)過點(diǎn)a(1，1)與y軸平行的直線為x1.解方程組求得b點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，此時(shí)|ab|5，即x1為所求設(shè)過a(1，1)且與y軸不平行的直線為y1k(x1)，解方程組得兩直線交點(diǎn)為(k2，否則與已知直線平行)，則b點(diǎn)坐標(biāo)為(，)(1)2(1)252，解得k，y1(x1)，即3x4y10.綜上可知，所求直線方程為x1或3x4y10.題型三直線方程的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1與基

8、本不等式相結(jié)合求最值問題例3已知直線l過點(diǎn)p(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于a、b兩點(diǎn)，如圖所示，求abo的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程解方法一設(shè)直線方程為1(a>0，b>0)，把點(diǎn)p(3,2)代入得12，得ab24，從而saobab12，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這時(shí)k，從而所求直線方程為2x3y120.方法二依題意知，直線l的斜率k存在且k<0.則直線l的方程為y2k(x3)(k<0)，且有a，b(0,23k)，sabo(23k)×(1212)12.當(dāng)且僅當(dāng)9k，即k時(shí)，等號(hào)成立即abo的面積的最小值為12.故所求直線的方程為2x3y120.命題點(diǎn)2

9、由直線方程解決參數(shù)問題例4已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0a2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值解由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)p(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2a，直線l2在x軸上的截距為a22，所以四邊形的面積s×2×(2a)×2×(a22)a2a42，當(dāng)a時(shí)，面積最小思維升華與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值(2)求直線方程弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方

10、程(3)求參數(shù)值或范圍注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解直線l過點(diǎn)p(1,4)，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|oa|ob|最小時(shí)，求直線l的方程解依題意，直線l的斜率存在且斜率為負(fù)，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y4k(x1)(k<0)令y0，可得a(1，0)；令x0，可得b(0,4k)|oa|ob|(1)(4k)5(k)5(k)549.當(dāng)且僅當(dāng)k且k<0，即k2時(shí)，|oa|ob|取最小值這時(shí)直線l的方程為2xy60.第3課時(shí)階段重難點(diǎn)梳理1直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)

11、，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是0°，180°)2斜率公式(1)若直線l的傾斜角90°，則斜率ktan .(2)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直線l上且x1x2，則l的斜率k.3直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線xx1 (x1x2)和直線yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式axbyc0(a2b20)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用【

12、知識(shí)拓展】1直線系方程(1)與直線axbyc0平行的直線系方程是axbym0(mr且mc)(2)與直線axbyc0垂直的直線系方程是bxaym0(mr)2兩直線平行或重合的充要條件直線l1：a1xb1yc10與直線l2：a2xb2yc20平行或重合的充要條件是a1b2a2b10.3兩直線垂直的充要條件直線l1：a1xb1yc10與直線l2：a2xb2yc20垂直的充要條件是a1a2b1b20.重點(diǎn)題型訓(xùn)練典例設(shè)直線l的方程為(a1)xy2a0(ar)(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；(2)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求a.錯(cuò)解展示現(xiàn)場糾錯(cuò)解(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在x

13、軸和y軸上的截距為零，a2，方程即為3xy0.當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，截距存在且均不為0.a2，即a11.a0，方程即為xy20.綜上，直線l的方程為3xy0或xy20.(2)由(a2)得a20或a11，a2或a2.糾錯(cuò)心得在求與截距有關(guān)的直線方程時(shí)，注意對(duì)直線的截距是否為零進(jìn)行分類討論，防止忽視截距為零的情形，導(dǎo)致產(chǎn)生漏解.1過點(diǎn)m(2，m)，n(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()a1 b4c1或3 d1或4答案a解析依題意得1，解得m1.2直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是()a0， b，)c0，(，) d，)，)答案b解析由直線方程可得該直線的斜率為，又1<0，所以傾斜

14、角的取值范圍是，)3如果a·c<0且b·c<0，那么直線axbyc0不通過()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限答案c解析由已知得直線axbyc0在x軸上的截距>0，在y軸上的截距>0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限4直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a .答案1或2解析令x0，得直線l在y軸上的截距為2a；令y0，得直線l在x軸上的截距為1，依題意2a1，解得a1或a2.作業(yè)布置1若直線y2x3k14與直線x4y3k2的交點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()a6<k<2 b5<k<

15、3ck<6 dk>2答案a解析解方程組得因?yàn)橹本€y2x3k14與直線x4y3k2的交點(diǎn)位于第四象限，所以k6>0且k2<0，所以6<k<2.2過點(diǎn)(2,1)且傾斜角比直線yx1的傾斜角小的直線方程是()ax2 by1cx1 dy2答案a解析直線yx1的斜率為1，則傾斜角為，依題意，所求直線的傾斜角為，斜率不存在，過點(diǎn)(2,1)的所求直線方程為x2.3直線mxy2m10經(jīng)過一定點(diǎn)，則該定點(diǎn)的坐標(biāo)是()a(2,1) b(2,1)c(1，2) d(1,2)答案a解析mxy2m10，即m(x2)y10.令得故定點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)4已知兩點(diǎn)m(2，3)，n(3，2)，

16、直線l過點(diǎn)p(1,1)且與線段mn相交，則直線l的斜率k的取值范圍是()ak或k4 b4kc.k4 dk4答案a解析如圖所示，kpn，kpm4.要使直線l與線段mn相交，當(dāng)l的傾斜角小于90°時(shí)，kkpn；當(dāng)l的傾斜角大于90°時(shí)，kkpm，由已知得k或k4.5直線axbyc0同時(shí)要經(jīng)過第一、二、四象限，則a，b，c應(yīng)滿足()aab>0，bc<0bab>0，bc>0cab<0，bc>0dab<0，bc<0答案a解析由于直線axbyc0經(jīng)過第一、二、四象限，所以直線存在斜率，將方程變形為yx.易知<0且>0，故ab&

17、gt;0，bc<0.6.如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則 ()ak1k2k3bk3k1k2ck3k2k1dk1k3k2答案d解析直線l1的傾斜角1是鈍角，故k10，直線l2與l3的傾斜角2與3均為銳角且23，所以0k3k2，因此k1k3k2，故選d.7已知a(3,0)，b(0,4)，直線ab上一動(dòng)點(diǎn)p(x，y)，則xy的最大值是 答案3解析直線ab的方程為1，動(dòng)點(diǎn)p(x，y)在直線ab上，則x3y，xy3yy2(y24y)(y2)243.即當(dāng)p點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，xy取最大值3.8直線l過點(diǎn)(2,2)且與x軸，y軸分別交于點(diǎn)(a,0)，(0，b)，若|a|b|，則直線

18、l的方程為 答案xy0或xy40解析若ab0，則直線l過點(diǎn)(0,0)與(2,2)，直線l的斜率k1，直線l的方程為yx，即xy0.若a0，b0，則直線l的方程為1，由題意知解得此時(shí)，直線l的方程為xy40.9直線l：ax(a1)y20的傾斜角大于45°，則a的取值范圍是 答案(，)(0，)解析當(dāng)a1時(shí)，直線l的傾斜角為90°，符合題意當(dāng)a1時(shí)，直線l的斜率k，由題意知>1或<0，解得1<a<或a<1或a>0.綜上知，a<或a>0.10函數(shù)ya1x(a>0，a1)的圖象恒過定點(diǎn)a，若點(diǎn)a在mxny10(mn>0)上，

19、則的最小值為 答案4解析函數(shù)ya1x(a>0，a1)的圖象恒過定點(diǎn)a(1,1)把a(bǔ)(1,1)代入直線方程得mn1(mn>0)()·(mn)24(當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào))，的最小值為4.11已知兩點(diǎn)a(1,2)，b(m,3)(1)求直線ab的方程；(2)已知實(shí)數(shù)m1，1，求直線ab的傾斜角的取值范圍解(1)當(dāng)m1時(shí)，直線ab的方程為x1，當(dāng)m1時(shí)，直線ab的方程為y2(x1)即x(m1)y2m30.(2)當(dāng)m1時(shí)，；當(dāng)m1時(shí)，m1，0)(0，k(，)，)(，綜合知，直線ab的傾斜角，12已知點(diǎn)p(2，1)(1)求過點(diǎn)p且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程；(2)求過點(diǎn)p且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程，最大