2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 教案 (2)

1、第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性最新考綱1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.2.會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性.3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義， 會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性1函數(shù)的奇偶性 偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)t，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xt)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱t為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x

2、)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期1函數(shù)奇偶性的三個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，那么一定有f(0)0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性2周期性的幾個常用結(jié)論對f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x，周期為t，則(1)若f(xa)f(x)，則t2a(a0)；(2)若f(xa)，則t2a(a0)；(3)若f(xa)，則t2a(a0)一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)yx2，x(0，)是偶

3、函數(shù)()(2)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點()(3)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱()(4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(xa)f(x)，則f(x)是周期為2a(a0)的周期函數(shù)()答案(1)×(2)×(3)(4)二、教材改編1下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()ayx2sin xbyx2cos xcy|ln x| dy2xba為奇函數(shù)，c，d為非奇非偶函數(shù)，b為偶函數(shù)，故選b.2已知函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)x(1x)，則f(1)_.2f(1)1×22，又f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2

4、.3設(shè)f(x)是定義在r上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x1,1)時，f(x)則f_.1ff4×21.4.設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為5,5，若當(dāng)x0,5時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)0的解集為_(2,0)(2,5由圖象可知，當(dāng)0x2時，f(x)0；當(dāng)2x5時，f(x)0，又f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)2x0時，f(x)0，當(dāng)5x2時，f(x)0.綜上，f(x)0的解集為(2,0)(2,5考點1判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(y軸)對稱(1)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域為r，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列

5、結(jié)論中正確的是()af(x)g(x)是偶函數(shù)b|f(x)|g(x)是奇函數(shù)cf(x)|g(x)|是奇函數(shù)d|f(x)g(x)|是奇函數(shù)(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性：f(x)；f(x)；f(x)(1)c令f1(x)f(x)·g(x)，則f1(x)f(x)·g(x)f(x)·g(x)f1(x)，f(x)g(x)為奇函數(shù)，故a錯誤令f2(x)|f(x)|g(x)，則f2(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)f2(x)，f2(x)為偶函數(shù)，故b錯誤令f3(x)f(x)|g(x)|，則f3(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f3(x)，f3(x)為奇函數(shù)，故

6、c正確令f4(x)|f(x)g(x)|，則f4(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f4(x)，f4(x)為偶函數(shù)，故d錯誤(2)解由得x23，解得x±，即函數(shù)f(x)的定義域為，從而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)由得定義域為(1,0)(0,1)，關(guān)于原點對稱，x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)顯然函數(shù)f(x)的定義域為(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱當(dāng)x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)；當(dāng)x0時，x0，則f(x)(x)2xx2xf(x)綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f

7、(x)f(x)成立，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立1.(2019·福州模擬)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()aytanbyx2e|x|cyxcos x dyln|x|sin xb對于選項a，易知ytan為非奇非偶函數(shù)；對于選項b，設(shè)f(x)x2e|x|，則f(x)(x)2e|x|x2e|x|f(x)，所以yx2e|x|為偶函

8、數(shù)；對于選項c，設(shè)f(x)xcos x，則f(x)xcos(x)xcos xf(x)，所以yxcos x為奇函數(shù)；對于選項d，設(shè)f(x)ln|x|sin x，則f(2)ln 2sin 2，f(2)ln 2sin(2)ln 2sin 2f(2)，所以yln|x|sin x為非奇非偶函數(shù)，故選b.2設(shè)函數(shù)f(x)，則下列結(jié)論錯誤的是()a|f(x)|是偶函數(shù)bf(x)是奇函數(shù)cf(x)|f(x)|是奇函數(shù)df(|x|)f(x)是偶函數(shù)df(x)，則f(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)f(|x|)f(|x|)，f(|x|)是偶函數(shù)，f(|x|)f(x)是奇函數(shù)考點2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用利用函數(shù)奇偶性可以解決

9、以下問題(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(x)0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式由系數(shù)的對等性得方程(組)，進而得出參數(shù)的值(4)畫函數(shù)圖象：利用奇偶性可畫出函數(shù)在另一對稱區(qū)間上的圖象(5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值的和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值利用奇偶性求參數(shù)的值一題多解若函數(shù)f(x)x3為偶函數(shù)，則a的值為_法一：(定義法)因為函數(shù)f(x)x3為偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，即(x)3x3，所以2a，所以2a1，解得a.法

10、二：(特值法)因為函數(shù)f(x)x3為偶函數(shù)，所以f(1)f(1)，所以(1)3×13×，解得a，經(jīng)檢驗，當(dāng)a時，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個：一是利用f(x)f(x)(奇函數(shù))或f(x)f(x)(偶函數(shù))在定義域內(nèi)恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函數(shù)一般利用f(0)0求解，偶函數(shù)一般利用f(1)f(1)求解用特殊值法求得參數(shù)后，一定要注意驗證利用函數(shù)的奇偶性求值(1)設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x(0，)時，f(x)log2x，則f()()a b.c2 d2(2)一題多解(2019·全國卷)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)e

11、ax.若f(ln 2)8，則a_.(1)b(2)3(1)因為f(x)為偶函數(shù)，所以f()f()，又當(dāng)x0時，f(x)log2x，所以f()log2，即f().(2)法一：由x0可得x0，由f(x)是奇函數(shù)可知f(x)f(x)，x0時，f(x)f(x)ea(x)eax，則f(ln 2)ealn 28，aln 2ln 83ln 2，a3.法二：由f(x)是奇函數(shù)可知f(x)f(x)，f(ln 2)f8，aln ln 83ln 2，a3.利用奇偶性將所求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求函數(shù)解析式(2019·全國卷)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)ex1，則當(dāng)x0時，f(x)()aex1

12、 bex1cex1 dex1d當(dāng)x<0時，x>0，當(dāng)x0時，f(x)ex1，f(x)ex1.又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)ex1.故選d.先設(shè)x為待求區(qū)間上的任意量，然后將x轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，從而求出f(x)，然后利用奇偶性求f(x)1.若函數(shù)f(x)在定義域上為奇函數(shù)，則實數(shù)k_.±1若函數(shù)f(x)在定義域上為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，即，化簡得(k21)(22x1)0，即k210，解得k±1.2已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于_3f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2，f(1)g(1)

13、4，即f(1)g(1)4，由得，2g(1)6，即g(1)3.3(2019·湖南永州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)x3sin x1(xr)，若f(a)2，則f(a)_.0設(shè)f(x)f(x)1x3sin x，顯然f(x)為奇函數(shù)又f(a)f(a)11，所以f(a)f(a)11，從而f(a)0.考點3函數(shù)的周期性及其應(yīng)用函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用判定判斷函數(shù)的周期只需證明f(xt)f(x)(t0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為t，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題應(yīng)用根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若t是函數(shù)的周期，則kt(kz且k0)也是函數(shù)的周期(1)(2019·貴陽模擬)已知定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x2)，當(dāng)x(0,2時，f(x)2xlog2x，則f(2 019)()a5 b.c2 d2(2)函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)(xr)，且在區(qū)間(2，2上，f(x)則f(f(15)的值為_(1)d(2)(1)由f(x)f(x2)，得f