2022年初中數(shù)學(xué)競賽專題選講對稱式

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載中學(xué)數(shù)學(xué)競賽專題選講（初三.5）對稱式一.內(nèi)容提要一.定義1. 在含有多個變量的代數(shù)式f x、y、z 中,假如變量x、y、z 任意交換兩個后,代數(shù)式的值不變,就稱這個代數(shù)式為肯定對稱式,簡稱對稱式.例如：代數(shù)式 x+y ,xy ,x 3+y 3+z 33xyz、x 5+y5+xy、11 ,xy精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xyyzxyzxyzzx.都為對稱式 .xyz精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中 x+y 和 xy 叫做含兩個變量的基本對稱式.2. 在含有多個變量的代數(shù)式f x、y、z 中,假如變量x、y、z

2、 循環(huán)變換后代數(shù)式的值不精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變,就稱這個代數(shù)式為輪換對稱式,簡稱輪換式.例如：代數(shù)式a2 b c+b 2c a+c2a b、2x2y+2y 2z+2z2x、111abc1,abc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ xy+yz+zx ） 1x11 ,yza 21b 2c21b 2c 2a 21.c 2a 2b 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載都為輪換式 .明顯,對稱式肯定為輪換式、而輪換式不肯定為對稱式.二.性質(zhì)1. 含兩個變量x 和 y 的對稱式,肯定可用相同變量的基本對稱式來

3、表示.這將在下一講介紹 .2. 對稱式中, 假如含有某種形式的一式,就必含有, 該式由兩個變量交換后的一切同型式,且系數(shù)相等.例如：在含x、y、z 的齊二次對稱多項(xiàng)式中,假如含有x 2 項(xiàng),就必同時有y2、z2 兩項(xiàng)；如含有xy 項(xiàng),就必同時有yz、zx 兩項(xiàng),且它們的系數(shù),都分別相等.故可以表示為：mx 2+y 2+z2+nxy+yz+zx其中 m、n 為常數(shù) .3. 輪換式中, 假如含有某種形式的一式,就肯定含有, 該式由變量字母循環(huán)變換后所得的一切同型式,且系數(shù)相等.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載例如：輪換式a3bc+b 3 c a+c3a b中,有因式a

4、 b 一項(xiàng) 、必有同型式b c 和ca 兩項(xiàng) .4. 兩個對稱式 （輪換式） 的和, 差,積, 商（除式不為零） ,仍舊為對稱式 （輪換式） .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例如： x+y、xy 都為對稱式, x+y xy,（ x+y ） xy ,xxyy 等也都為對稱式.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 xy+yz+zx 和 1x11都為輪換式,yz精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 11xy11xy+yz+z ,（zx11）（ xy+yz+z ） . 也都為

5、輪換式.yz精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二.例題例 1.運(yùn)算：（xy+yz+zx ） 1x11 yz1xyzx211y 2z2 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：（ xy+yz+zx ） 1x11 yz為關(guān)于 x、y、z 的輪換式,由性質(zhì)2,在乘法綻開時,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載只要用 xy 分別乘以1 , 1 , 1 連同它的同型式一齊寫下.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xyz精品

6、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：原式（yzzxxy ）（ z+x y） +y+z+x yzzx xy 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xyzxyz2x+2y+2z.例2. 已知： a+b+c=0、abc 0.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求代數(shù)式1a2b2c21b2c2a21的值c 2a2b2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：這為含a、 b、 c 的輪換式,化簡第一個分式后,其余的兩個分式,可直接寫出它精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的同型式 .解：1a 2b 2c 2a 21b2ab 21,2ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

7、資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1a2b 2c21b 2c2a 21c2a 21b 22ab12bc12ca精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ca 2abcb 0.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例3. 運(yùn)算：（ a+b+c） 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析：綻開式為含字母a、b、c 的三次齊次的對稱式,其同型式的系數(shù)相等,可用待定系數(shù)法 .例4. 解：設(shè)（ a+b+c） 3 ma3 +b3+c3+na2b+a2 c+b2 c+b2a+c2a+c2b+pabc.（ m、n、p 為待定系數(shù)）

8、令a=1、b=0、c=0 .比較左右兩邊系數(shù)得m=1 ；令a=1、b=1、c=0比較左右兩邊系數(shù)得2m+2n=8 ；令a=1、b=1、c=1比較左右兩邊系數(shù)得3m+6n+p=27.m1m1解方程組2m2 n8得n33m6np27p6（ a+b+c） 3 a3+b3+c 3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.例5. 因式分解：a3b c+b 3c a+c3 ab ；（ x+y+z ） 5（ y+z x ） 5（ z+x y） 5（ x+y z） 5.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b c+b解：當(dāng)a=b 時, a333c a+cab 0.精品學(xué)習(xí)

9、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載有因式a b 及其同型式b c、c a.原式為四次齊次輪換式,除以三次齊次輪換式（a b） b cc a,可得一次齊次的輪換式a+b+c.用待定系數(shù)法：得a3bc+b 3c a+c3a b ma+b+c （ a b） b cc a比較左右兩邊a3b 的系數(shù),得m= 1. a3b c+b 3c a+c3a b a+b+c（ a b） b cc a.x=0 時,（ x+y+z ） 5（ y+z x ）5（ z+x y） 5（ x+y z） 5 0有因式x ,以及它的同型式y(tǒng) 和 z.原式為五次齊次輪換式,除以三次輪換式xyz ,其商為二次齊次輪換式.用待定系數(shù)

10、法：可設(shè)（ x+y+z ）5（ y+z x ）5（ z+x y） 5（ x+y z） 5 xyz mx+y+z+nxy+yz+zx .令x=1、y=1、z=1 .比較左右兩邊系數(shù),得80=m+n ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載令x=1、y=1、z=2.比較左右兩邊系數(shù),得480=6m+n.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解方程組mn6mn80480精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載m 80得.n 0（ x+y+z ） 5（ y+z x ） 5（ z+x y） 5（ x+y z）5 80xyzx+y+z.三.練習(xí)1. 已知含字母x、y、

11、z 的輪換式的三項(xiàng)x3+x 2y 2xy 2、試接著寫完全代數(shù)式2. 已知有含字母a、b、c、d 的八項(xiàng)輪換式的前二項(xiàng)為a3b a b,試接著寫完全代數(shù)式 .3. 利用對稱式性質(zhì)做乘法,直接寫出結(jié)果：（ x2y+y 2z+z2x）（ xy2+yz2 +zx2）.（ x+y+z ）（ x 2+y 2+z2 xy yz zx）.4.運(yùn)算：（ x+y ） 5.5. 求（ x+y ） y+zz+x+xyz除以 x+y+z所得的商 .6. 因式分解：aba b+bcb c+cac a；x+y+z 3 x 3+y 3+z3 ；（ ab+bc+ca） a+b+c abc；ab c3+bc a3+ca b3

12、.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1117. 已知：abc1.abc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證： a、b、c 三者中,至少有兩個為互為相反數(shù).精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8. 運(yùn)算：2aa 2abacbcb 2b 2bcbacac2c 2.cacbab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載9. 已知： s1 （ a+b+c） .2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載求證：224 a b222abc224b c222bca 2224c ac22ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載161616 3s（ sa） s bs c.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載10. 如 x、y 滿意等式x=1+1 和 y=1+y1 且 xy 0,那么 y 的值為（）x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ a ） x 1.（b ） 1x.（c） x.（ d） 1+x.參考答案1.y 3+z3+y 2z+z2x 2y2z 2z2x2.b3 c+c3 d+d3 a b c c d d a 3. x 3