勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式

1、知識(shí)精講(1) 直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方利用勾股定理往往構(gòu)造方程，已達(dá)到 解決問題的目的;(2) 應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題，要注意分析題目的條件，矢注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根據(jù)所給的三邊條件，建立方程，從而解決問題；如果問題中沒有直角三角形，可以通過添加輔助線構(gòu)造出直角三角形，尋求等量矢系，再根據(jù)勾股定理建立相應(yīng)的方程，因此，在解決直角三角形中有矢邊長的問題時(shí)，要靈活的運(yùn)用方程的思想例(1 )在直角 abc 中 z c=90° z a=30° 、 bc=1 、貝 ab= (2)在直角 abc 中 z c=90° z a

2、=45° ab=3，則 ac=例 2 ( 1)等邊三角形的邊長是 3，則此三角形的面積是；(2)等腰三角形底邊上的長為 2，腰長為 4，則它底邊上的高為 例 3】(1)直角三角形兩邊長為 3 和 4，則此三角形第三邊長為；(2) 直角三角形兩直角邊長為 3 和 4，則此三角形斜邊上的高為 (3) 等腰三角形兩邊長是 2、4，則它腰上的高是(2)如果直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則此三角形的周長為 例 6】 如圖，已知：r t abc 中，z acb 是直角，adc 的周例 8】如圖，直線 mn 是沿南北方向的一條公路，某施工隊(duì)在公路的點(diǎn)a 測得北偏西 30。的方向上有 棟別墅c， 朝

3、正北方向走了 400 米到達(dá)點(diǎn)b 后，測得別墅c 在北偏西 75°的方向上，如果要從別墅 c 修一條通向 mn 的最短小路，請(qǐng)你求出這條小路的長（結(jié)果保留根號(hào)）例 9 如圖，公路 mn 和公里 pq 在點(diǎn) p 處交匯，且z qpn=30°，點(diǎn) a 處有一所中學(xué)，ap=160 米，假 設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍 100 米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在 mn 上沿 pn 方向行駛時(shí)，學(xué)校是 否會(huì)受到噪音的影響？請(qǐng)說明理由；如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度是 18 千米/時(shí)，那么學(xué)校受影響的例 10】如圖，矩形 abcd 中，ab=8，bc=4，將矩形沿 ac 進(jìn)行翻折，點(diǎn)d 落在e

4、 處，求出重疊部分時(shí)間是多少秒？ afc 的面積亠例 11】如圖，ab 兩個(gè)村子在河邊 cd 的同側(cè)，a、b 兩村到河邊的距離分別為 ac=1 千米 bd =3 千米cd =3 千米現(xiàn)在河邊 cd 建一座水廠，建成后的水廠，可以直接向 a、b 兩村送水，也可以將水送 一村再轉(zhuǎn)送另一村鋪設(shè)水管費(fèi)用為每千米 2 萬元，試在河邊 cd 選擇水廠位置p 確定方案，使鋪設(shè)水管費(fèi)用最低，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用（精確到0. 01 萬元）知識(shí)精講2、逆定理:(1 )如果三角形一條邊的平方等于其他兩邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形；利用逆定理來判斷三角形是否為直角三角形(2)在直角三角形的三邊中，首先弄清

5、楚哪條邊是斜邊，另外應(yīng)用逆定理時(shí)，最大邊的平方和等于較 小兩邊的平方和例 12】下列命題中是假命題的是()a 在厶 abc 中，若z b=z c-za，則厶 abc 是直角三角形b 在 aabc 中，若 a2 (be) (be)，則 abc 是直角三角形c在 zxabc 中，若z b : zc : za=3:4:5，則厶 abc 是直角三角形dzxabc 中，若 a:b:c 5:4:3 則厶 abc 是直角三角形例 13 ( 1)將直角三角形的三邊都擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是三角形；(2)若 abc 的三邊 a、b、c 滿足(ab) (a2 b2 c2) 0 則 abc 是三角形例 14

6、】1) 一根旗桿在離地面 9 米處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部 12 米處，則旗桿折斷之前有多少米？222例 16】如圖，公路上 a、b 兩點(diǎn)相距 25 千米，c、d 為兩村莊，da 丄 ab 于點(diǎn)a，cb 丄 ab 于點(diǎn)b，已 知da=15 千米，cb=10 千米，現(xiàn)要在公路 ab 上建一車站eaeb(1 )若使得 c、d 兩村到e 站的距離相等，e 站建在離a 站多少千米處？ (2)若使得 c、d 兩村到e 站的距離和最小，e 站建在離 a 站多少千米處？例 17】如圖、在四邊形 abcd 中，ab=bc=2 ，cd=3 da=1 且z b=90 求'dab 的度數(shù)交 ab 于點(diǎn)e

7、，交 ac 于點(diǎn)f，求 ae : be 的值知識(shí)精講模塊三：兩點(diǎn)間的距離公式3、距離公式：如果平面內(nèi)有兩點(diǎn)a (xi » yi ) 、b (x2，y2)，則 a、b 兩點(diǎn)間的距離為：(xi x2) 2 ( yi y2)2 (1 )當(dāng) a (xi » yi) 、b(x2，«)兩點(diǎn)同在 x 軸上或平行于x 軸的直線上，則有 yi y2 » ab= | xi x21 :例題解析例 19已知點(diǎn) a (2，2)、b ( 5，1) (1)求 a、b 兩點(diǎn)間的距離； (2)在 x 軸上找一點(diǎn)c，使 ac=bc 2)當(dāng) a (xi » yi)、b(x2，

8、71;)兩點(diǎn)同在 y 軸上或平銜軸的直線上則有 xi x2 ab=| yi y2|2）已知點(diǎn)p 在第二、四象限的平分線上，且到q （2，3）的距離為 5，則點(diǎn)p 的坐標(biāo)為例 21】（1）以點(diǎn) a （1，2）、b （2，1），c （4 為頂點(diǎn)的三角形是 _ ；（2）已知點(diǎn)a（0,3）、b（01），zabc 是等邊三角形，則點(diǎn)c 的坐標(biāo)是 例 22】已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn) a （4，1）、b （6，3），在坐標(biāo)軸上求點(diǎn)p '使 pa=pb例 23】已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn) p （4，m ），且點(diǎn)p 到點(diǎn)a （2，3）、b （1，2）的距離相等，求點(diǎn)p的坐標(biāo)個(gè)最小值；若不存在，說明理由例 25

9、】已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)人（4，3）、b （6,3），在 x 軸上求一點(diǎn)c 牡 abc 是等腰三角形隨吐檢測例 26】 已知點(diǎn)a （4，0）、b （2，1），點(diǎn) c 的坐標(biāo)是（x，2-x），若厶 abc 是等腰三角形，求 c 坐標(biāo) 習(xí)題 1】六根細(xì)木棒，她們的長度分別是 2、4、6、8、10、12 （單位：cm ）從中取出三根，首尾順次連接搭成一個(gè)直角三角形，則這些木棒的長度分別為（）d 810 > 12a 等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d以上都不是習(xí)題 3】(1)如果等腰直角三角形一邊長為 2，另外兩邊長為；(2)如果直角三角形兩邊長為 5 和 12，第三邊長度為 習(xí)題 4】如

10、圖，將長方形 abcd 沿 ae 折疊，使得點(diǎn) d 落在 bc 上的點(diǎn)f 處，ab=8，ad=10 求 ec 的面積習(xí)題 5如i 圖在四邊形 abcd 中、ab±bc ab=9 、bc=12 cd=15，da=15 2 求四邊形 abcd 的習(xí)題 7】若a、b、c 是三角形的邊長且矢于x 的方程 x2 2(a b)x c2 2ab 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷這個(gè)三角形的形狀習(xí)題 8】如圖，在一條公路上有p、q 兩個(gè)車站，相距 27km，a、b 是兩個(gè)村莊，ap 丄 pq，bq 丄 pq，且 ap=15km，bq=24km，現(xiàn)在要在公路上建立一個(gè)商場莊到商場m 的距離相等，求 pm

11、 的長m 使得 a、b 兩個(gè)村習(xí)題 9】已知點(diǎn) a2,8b1,4c 在y 軸上，使babc 為直角直角三角形，求滿足條件的點(diǎn)c 的坐標(biāo)pmq習(xí)題 11】 若在 abc 中，ab=c，ac=b bc=a，z acb=90°，則 a2 b2 c2 試用兩種方法證明作業(yè) 1】下列命題中，正確的有()個(gè)(1 )腰長及底邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等am 3，bm 1，cm 2,求 bmc 的度數(shù)(2)(3)有一直角邊和斜邊上對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等222作業(yè) 3】 如圖，rt abc 中，斜邊 ab 1，則 ab2 bc2 ac2 的值

12、是作業(yè) 4】已知點(diǎn) a3，5，點(diǎn) b 的橫坐標(biāo)為3，且 a、b 兩點(diǎn)之間的距離為 10，那么點(diǎn) b 的坐標(biāo)是作業(yè) 5現(xiàn)將直角三角形 abc 的直角邊 ac 沿直線 ad 折疊，使它落在斜邊 ab 上，c 與 e 重合，且ac=3 bc=4，則 cd 等于.作業(yè) 6如果 abc 的周長為 12，而 ab bc 2ac，ab bc 2，那么 abc 的形狀是0apq 若 ab 1，則兩個(gè)三角形重疊部分的面積為 作業(yè) 9】 已知：如圖，四邊形 abcd 的三邊（ab、bc、cd）和 bd 都為 5 厘米，動(dòng)點(diǎn) p 從a 出發(fā)abd ），速度為 2 厘米/秒，動(dòng)點(diǎn)q 從點(diǎn) d 出發(fā)（dcba）到 a，速度為 28 厘米/ 秒，5 秒后p、q 相距 3 厘米，試確定 5 秒時(shí) apq 的形狀.作業(yè) 10】閱讀下已知 a b、c解： q a2c2 b2c2列題目的解題過程：abc 的二功，且滿足a2c2 b2c2 a4 4422222a4 b4 (a)、 c a b a babc 是直角三角形b4，試判斷 abc 的形狀22ab( b)c2 a2 b2(c)，問：（1 ）上述解題過程中，從哪一步開始出錯(cuò)？請(qǐng)寫出該步的