動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律解析

1、第三章動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律概述：1、牛頓第二定律描述了力對(duì)物體作用的瞬間關(guān)系，物體瞬間獲得響應(yīng)的加 速度， 物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)已經(jīng)開始發(fā)生變化，要使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)繼續(xù)變化，需要 力的作用有一個(gè)過程。本章從力的空間累積效應(yīng)和時(shí)間累積效應(yīng)出發(fā)，用動(dòng)量和 能量對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。2、由對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的研究過渡到質(zhì)點(diǎn)系的研究。3、守恒定律是完美、和諧的自然界的體現(xiàn)。動(dòng)量守恒和能量守恒源于牛頓 力學(xué)， 但在牛頓定律不適用的領(lǐng)域，例如微觀粒子及高能物理領(lǐng)域仍然適用，故 它是自然界的一條基本定律。3 1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理一、 沖量 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理牛頓笫二定律的微分形式d/fdr = d pfdt = d

2、p = r p = mv. -j “1.沖量：力對(duì)時(shí)間的積分，常以/表示，并稱1 = fd/為在" 2 時(shí)間內(nèi)、力f 對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量，或簡(jiǎn)單說成f 的沖量。說明：（1） 沖量是一個(gè)矢量，大小為/ = ff：fdr ,方向是速度或動(dòng)量的變化方向。（2） .由于沖量是作用力的時(shí)間積分，必須知道力在這段時(shí)間中的全部情況, 才能求出沖量。實(shí)際上要知道力的大小和方向隨時(shí)間變化是很困難的，必須釆取 近似處理。f 為恒力（方向也不變）時(shí)，/=far；（高中的沖量定義） f 作用時(shí)間很短時(shí)，可用力的平均值戸來(lái)代替。f = 一 f f dt 9 / = a,人/ j"2動(dòng)量（p）是描述物體運(yùn)動(dòng)

3、狀態(tài)的物理量，有大小和方向，是一個(gè)矢量。 方向和運(yùn)動(dòng)速度的方向相同。單位：kg-m/ s量綱：mut1 o3質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理：在給定的時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所受合力的沖量，等于該質(zhì) 點(diǎn)動(dòng)量的增量。f f d t = d ” = p、_ p = nw. - j “在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理的分量形式：fir h7 =匕尺加=山 2 廠® y< 6i = jfxlt = mo:2z moz動(dòng)量定理在打擊和碰撞等情形中特別有用。一般而言，沖力大小隨時(shí)間而變 化的情況比較復(fù)雜，所以很難把每一時(shí)刻的沖力測(cè)量出來(lái).但若我們能夠知道兩 物體在碰撞前、后的動(dòng)量，那么根據(jù)動(dòng)量定理，就可得出物體所受的

4、沖量；若我 們還能測(cè)出碰撞時(shí)間，那么也可以從沖量算出在碰撞時(shí)間m 內(nèi)的平均沖力戸為nw2mv ar二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)質(zhì)點(diǎn)之間相互作用力是內(nèi)力?？紤]由n 個(gè)不同質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)第i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)受外力和內(nèi)力作用 時(shí)，山動(dòng)量定理有：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)求和：勿:（礦+小小呼nn廠工 pio = p_po=3因?yàn)閷?duì)質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力彳工 f；" = 0 ,則（-1質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：系統(tǒng)所受的合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量。說明：1. 內(nèi)力只能在系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)物體之間傳遞動(dòng)量，對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量的改 變不起作用的。2. 對(duì)于無(wú)限小的時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理可寫成f'dr = dp

5、或尸険=乂。d/表明作用系的合外力等于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能隨時(shí)間的變化率。3-2 動(dòng)量守恒定律若系統(tǒng)所受的合外力為零，即±尺=0,有r-ip = 2=常矢量。r-i這就定動(dòng)量守恒定律，它的農(nóng)述為：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí)，這一質(zhì)點(diǎn) 系的總動(dòng)量就保持不變。注意：1、動(dòng)量是矢量，系統(tǒng)的動(dòng)量是指系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量之矢量和，而一般 不指代數(shù)和。系統(tǒng)動(dòng)量守恒，但每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可能變化。2、 在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時(shí)間極短的過程中，往往可忽略外力。3、 動(dòng)量守恒可在某一方向上成立，即分動(dòng)量守恒。4、定律中的速度應(yīng)是對(duì)同一慣性系的速度，動(dòng)量和應(yīng)是同一時(shí)刻的動(dòng)量之和。5、 動(dòng)量守恒定律在微觀高速

6、范用仍適用。6、 動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。3-4 動(dòng)能定理一、功1、恒力的功如圖所示，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m 在恒力f 的作用下, 移 沿直線從"點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b 點(diǎn)，位為力f 與位移s 之間的夾角為 0。則在這 個(gè)過程中，力f 在位移£上的功w 等于力的大小 f、質(zhì)點(diǎn)位移$的大小以及力與位移之間夾角余qhb-s制弦cos0 的乘積。根據(jù)矢量標(biāo)積的定義，功的定義可以改寫為：w = f s = fs cos 0 注意：功是過程量，上面對(duì)功定義僅適合于（1）沿直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，（2） 作用力為恒力。2、變力作用下的曲線運(yùn)動(dòng)的功 元功： dw=fd/«bb總功:=dy = jfcos0

7、d 廠aa在直角坐標(biāo)系中，f 和d/可以分別寫成f = f i + fj + fk , dr = dxr +d+ dzarx:dlv = fv d x+ f、d y + d zbvv = jfvdx + fvdy + ed2a若質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受兒個(gè)力片，f“，f”作用，質(zhì)點(diǎn)在這些力作用下由"點(diǎn)沿 任意曲線運(yùn)動(dòng)到b 點(diǎn)，則w = w +w +w2nbbh/t=j f, dr + j f、" + + j f dr砒）a（l）al）b=j （打+耳+丘）"a 仏）=j 巧/dra 仏）結(jié)論：當(dāng)兒個(gè)力同時(shí)作用在一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，這些力在這個(gè)過程中對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的 功的總和，等于這些力的合

8、力在同一過程中對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功。3、功率（p）：功隨時(shí)間的變化率叫做功率，用p 表示，則有p 理dr說明：（1）功率的單位是瓦特，簡(jiǎn)稱瓦，符號(hào)為w，且uw=103vvo(2)dt例題 1:物體在水平面上運(yùn)動(dòng)，摩擦力做的功。解：這是一個(gè)物體沿曲線運(yùn)動(dòng)但力的大小不變的例子，摩擦力的大小為f w 方向與位移相反，故:整個(gè)過程所作的功為:即摩擦力作功口路程冇關(guān)二力對(duì)物體作功，是力的空間累積效應(yīng)，物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，二者之間 有何關(guān)系？二. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理f cos 0 = fdu=met, = m drd w = ind r = mvdudr定義：e 七腫叫做質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能。w 嘰一昭質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：物

9、體動(dòng)能的增量數(shù)值上等于合外力對(duì)物體所做的功。 注意：（1） 功與動(dòng)能的區(qū)別和聯(lián)系。功是力的空間累積效應(yīng)是一個(gè)過程量，而動(dòng)能是一個(gè)狀態(tài)量，但功是動(dòng)能變化的量度。（2） 動(dòng)能定理僅適用慣性系。例 1：質(zhì)量為 1.0 檢的小球用 1.0 加的細(xì)繩懸掛在o 點(diǎn)，起始時(shí)與垂直線 呈ds= -晉 佻嗣嗣殛 osq) = 1.53/1 30。角釋放，求 10°角時(shí)小球的速率。解：由題知合外力的玄dw = f ds = ft els + p els小結(jié):u 注意當(dāng)力不是一維時(shí)，應(yīng)用動(dòng)量定理要用其分量式。即先求分量，再合 成求總量(這是將矢量運(yùn)算化為標(biāo)量運(yùn)算的常用方法)。若直接用矢量式，一定 注意是矢

10、量合成。2、對(duì)一個(gè)系統(tǒng)用動(dòng)量守恒時(shí)，要判斷守恒條件是否滿足。3、計(jì)算變力作功時(shí)，dw 應(yīng)是過程中任意位置附近的元功。35 保守力與非保守力勢(shì)能k 重力的功w = j； p - dr =j hmgdz.=_（嘩 5 一 嘩s）重力的功只與始、末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)的路徑無(wú)關(guān)。一.萬(wàn)有引力.重力、彈性力作功的特點(diǎn)2. 萬(wàn)有引力的功以r 為參考系，加的位置矢量為【加對(duì)加的萬(wàn)有引力為f = -g 一 rr,n由a 點(diǎn)移到 b 點(diǎn)時(shí) f 所作的功為：w=£fdr = fb-grdrf dr -r drcos。壬 /drw = _ ( .fb<4_萬(wàn)有引力作功只取決于質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置

11、，而與所經(jīng)過的路徑無(wú)關(guān)。3、彈性力作功f = -kjciw = ( kx； kx ) w = fdx =i%j s彈性力作功只山起始和終了位置決定，與過程無(wú)關(guān)。二、保守力和非保守力保守力作功的數(shù)學(xué)表達(dá)式保守力:力所作的功與路徑無(wú)關(guān)，僅決定于相互作用質(zhì)點(diǎn)的始末相對(duì)位置. 保守力作功特點(diǎn)的數(shù)學(xué)表述：物體沿閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，保守力對(duì)它所作f dr = 0的功等于零非保守力:力所作的功與路徑有關(guān).（例如摩擦力）1 勢(shì)能用=一（垢 2 - 坨|） = 一 aep勢(shì)能：與物體間相互作用及相對(duì)位置有關(guān)的能量。保守力作功與勢(shì)能改變量的關(guān)系：保守力對(duì)物體作的功等于物體勢(shì)能增量的負(fù)值。三種常用的勢(shì)能：重力勢(shì)能e

12、p = mgz引力勢(shì)能epg r彈性勢(shì)能e 冷皿注意：（1） 勢(shì)能是狀態(tài)的函數(shù)。（2） 勢(shì)能的相對(duì)性。以上三種勢(shì)能函數(shù)各有確定的勢(shì)能零點(diǎn)。用時(shí)要注意。（3） 勢(shì)能屬于系統(tǒng)。一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理3-6 功能原理機(jī)械能守恒定律如圖為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)笫，個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能呼+呼=瓦-定理，有：其中叫表示外力功，表示內(nèi)力功。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系有：e 呼+e 呼=z 瓦-e 臥=瓦-瓦。iiiiw wm=e -e+km質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：作用于質(zhì)點(diǎn)系的力所作的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能增量。二、 質(zhì)點(diǎn)系的功能原理作用與質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力可分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力，即：vvin=vv,n=vvin+vvi根據(jù)保守內(nèi)力作功與勢(shì)能增量的關(guān)系

13、有：呼=-（工 6-為陥）=坊-殆ii代入質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理，整理有：妙“+哦=（&+坊）-（氐+坊 0）動(dòng)能與勢(shì)能統(tǒng)稱為機(jī)械能，用e 表示：e = ek+ep上式可寫為：wcx+w =e-e（）質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量等于外力和非保守內(nèi)力作功之和. 三、 機(jī)械能守恒定律如果滿足：則：曠=0,叱=0e = e°機(jī)械能守恒定律：只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持不變。3-7 完全彈性碰撞完全非彈性碰撞碰撞:兩物體互相接觸時(shí)間極短而互作用力較大的相互作用。在碰撞過程中， 因?yàn)槲矬w間相互作用的內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，故可認(rèn)為滿足動(dòng)量守恒。碰撞的分類：1. 完全彈性碰撞：兩物體碰撞之后，它們的動(dòng)能之和不變。2. 非彈性碰撞：山于非保守力的作用，兩物體碰撞后，使機(jī)械能轉(zhuǎn)換為熱