二次函數(shù)圖象的幾何變換

1、學(xué)問點撥二次函數(shù)圖象的幾何變換4一、二次函數(shù)圖象的平移變換（1） 具體步驟：先利用配方法把二次函數(shù)化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，確定其頂點(h, k ) ，然后做出二次函數(shù) y = ax2 的圖像，將拋物線 y = ax2 平移，使其頂點平移到(h, k ) .具體平移方法如圖所示：（2） 平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“左加右減”.二、二次函數(shù)圖象的對稱變換二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種狀況，可以用一般式或頂點式表達1. 關(guān)于 x 軸對稱y = ax2 + bx + c 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是 y = -ax2 - bx - c ；y = a (x - h)2 +

2、 k 關(guān)于 x 軸對稱后，得到的解析式是 y = -a (x - h)2 - k ；2. 關(guān)于 y 軸對稱y = ax2 + bx + c 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是 y = ax2 - bx + c ；y = a (x - h)2 + k 關(guān)于 y 軸對稱后，得到的解析式是 y = a (x + h)2 + k ；3. 關(guān)于原點對稱y = ax2 + bx + c 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是 y = -ax2 + bx - c ；y = a (x - h)2 + k 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是 y = -a (x + h)2 - k ；4. 關(guān)于頂點對稱b2y = ax2 +

3、 bx + c 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是 y = -ax2 - bx + c - ；2ay = a (x - h)2 + k 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是 y = -a (x - h)2 + k 5. 關(guān)于點(m ，n)對稱y = a (x - h)2 + k 關(guān)于點(m ，n)對稱后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m )2 + 2n - k依據(jù)對稱的性質(zhì)，明顯無論作何種對稱變換，拋物線的外形肯定不會發(fā)生變化，因此a 永久不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或便利運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原 拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口

4、方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向， 然后再寫出其對稱拋物線的表達式例題精講一、二次函數(shù)圖象的平移變換【例1】 函數(shù) y = 3(x + 2)2 - 1 的圖象可由函數(shù) y = 3x2 的圖象平移得到，那么平移的步驟是：（）a. 右移兩個單位，下移一個單位b. 右移兩個單位，上移一個單位c. 左移兩個單位，下移一個單位d. 左移兩個單位，上移一個單位【例2】 函數(shù) y = -2(x - 1)2 - 1的圖象可由函數(shù) y = -2(x + 2)2 + 3 的圖象平移得到，那么平移的步驟是（）a. 右移三個單位，下移四個單位b. 右移三個單位，上移四個單位c. 左移三個單位，下移四個單位

5、d. 左移四個單位，上移四個單位【例3】 二次函數(shù) y = -2x2 + 4x + 1 的圖象如何移動就得到 y = -2x2 的圖象（）a. 向左移動1 個單位，向上移動3 個單位.b. 向右移動1 個單位，向上移動3 個單位.c. 向左移動1 個單位，向下移動3 個單位.d. 向右移動1 個單位，向下移動3 個單位.【例4】 將函數(shù) y = x2 + x 的圖象向右平移 a (a > 0)個單位，得到函數(shù) y = x2 - 3x + 2 的圖象，則 a 的值為（）a1b 2c 3d 4【例5】 把拋物線 y = ax2 + bx + c 的圖象先向右平移3 個單位，再向下平移2 個單

6、位，所得的圖象的解析式是 y = x2 - 3x + 5 ，則a + b + c =【例6】 對于每個非零自然數(shù)n ，拋物線 y = x2 -2n + 11x +與 x 軸交于 a 、b 兩點，以 a b 表示n (n + 1)n (n + 1)nnnn這兩點間的距離，則 a b+ a b+ ab的值是（）1 122a200920092009b 2008c 2010d 20092008200920092010【例7】 把拋物線 y = -x2 向左平移1個單位，然后向上平移3 個單位，則平移后拋物線的解析式為a y = -(x - 1)2 - 3c y = -(x - 1)2 + 3b y =

7、 -(x + 1)2 - 3d y = -(x + 1)2 + 3【例8】 將拋物線 y = 2x2 向下平移1個單位，得到的拋物線是（）a y = 2 (x + 1)2b y = 2(x - 1)2c y = 2x2 +1d y = 2x2 -1【例9】 將拋物線 y = 3x2向上平移2 個單位，得到拋物線的解析式是（）a.y = 3x2 - 2b.y = 3x2c.y = 3(x + 2)2d.y = 3x2 + 2【例10】一拋物線向右平移 3 個單位，再向下平移 2 個單位后得拋物線 y = -2x2 + 4x ，則平移前拋物線的解析式為【例11】已知二次函數(shù) y = 3x2 - 6

8、x + 5 ，求滿足下列條件的二次函數(shù)的解析式：（1）圖象關(guān)于x 軸對稱；（2）圖象關(guān)于 y 軸對稱；（3）圖象關(guān)于經(jīng)過其頂點且平行于x 軸的直線對稱【例12】如圖， abcd 中， ab = 4 ，點 d 的坐標是(0 ， 8) ，以點c 為頂點的拋物線 y = ax2 + bx + c 經(jīng)過 x 軸上的點 a ， b 求點 a ， b ， c 的坐標 若拋物線向上平移后恰好經(jīng)過點d ，求平移后拋物線的解析式dcoab【例13】拋物線 y = ax2 - 5x + 4a 與 x 軸相交于點 a、b ，且過點c (5，4) 求a 的值和該拋物線頂點p 的坐標 請你設(shè)計一種平移的方法，使平移后拋

9、物線的頂點落要其次象限，并寫出平移后拋物線的解析式二、二次函數(shù)圖象的對稱變換【例14】函數(shù) y = x2 與 y = -x2 的圖象關(guān)于對稱，也可以認為y = x2 是函數(shù) y = -x2 的圖象繞旋轉(zhuǎn)得到【例15】已知二次函數(shù) y = x2 - 2x -1 ，求：關(guān)于 x 軸對稱的二次函數(shù)解析式；關(guān)于 y 軸對稱的二次函數(shù)解析式；關(guān)于原點對稱的二次函數(shù)解析式【例16】在平面直角坐標系中，先將拋物線 y = x2 + x - 2 關(guān)于 x 軸作軸對稱變換，再將所得的拋物線關(guān)于 y軸作軸對稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為a y = -x2 - x + 2b y = -x2 + x

10、 - 2c y = -x2 + x + 2d y = x2 + x + 2【例17】已知二次函數(shù) y = ax2 + 4ax + 4a -1的圖象是c 求c1關(guān)于 r(1，0)成中心對稱的圖象c21的函數(shù)解析式； 設(shè)曲線c 、c與 y 軸的交點分別為 a，b ，當(dāng) ab = 18 時，求a 的值12【例18】已知拋物線 y = x2 - 6x + 5 ，求 關(guān)于 y 軸對稱的拋物線的表達式； 關(guān)于 x 軸對稱的拋物線的表達式； 關(guān)于原點對稱的拋物線的表達式【例19】設(shè)曲線c 為函數(shù) y = ax2 + bx + c (a ¹ 0)的圖象， c 關(guān)于 y 軸對稱的曲線為c ， c11關(guān)

11、于 x 軸對稱的曲線為c2，則曲線c2的函數(shù)解析式為【例20】對于任意兩個二次函數(shù)： y= a x2 + b x + c ，y= a x2 + bx + c(a a¹ 0)，當(dāng) a= a時，11112222(1 2)(1 )2我們稱這兩個二次函數(shù)的圖象為全等拋物線，現(xiàn)有dabm ， a-1，0，b 1，0，記過三點的二ymaobxnymaobxymaobx次函數(shù)拋物線為“ c”（“”中填寫相應(yīng)三個點的字母）(圖)1圖2圖3 若已知m 0，1 ， dabm dabn （圖 1），請通過計算推斷cabm與cabn是否為全等拋物線； 在圖 2 中，以 a、b、m 三點為頂點，畫出平行四邊形 若已知 m (0，n) ，求拋物線 c的解析式，并直接寫出全部過平行四邊形中三個頂點且abm能與c全等的拋物線解析式abm () 若已知 mm ，n，當(dāng)m、n 滿足什么條件時，存在拋物線cabm？依據(jù)以上的探究結(jié)果，判斷是否存在過平行四邊形中三個頂點且能與c全等的拋物線若存在，請寫出全部滿足abm條件的拋物線“ c”；若不存在，請說明理由【例21】已知：拋物線 f : y = -(x - 2)2 + 5 試寫出把拋物線 f 向左平