函數(shù)的應(yīng)用題一高三

1、函數(shù)的應(yīng)用題（ 1）一、建構(gòu)函數(shù)模型的應(yīng)用性問(wèn)題1某公司為幫助尚有26.8 萬(wàn)元無(wú)息貸款沒(méi)有償還的殘疾人商店，借出20 萬(wàn)元將該商店改建成經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專(zhuān)賣(mài)店，并約定用該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)逐步償還債務(wù)(所有債務(wù)均不計(jì)利息)已知該種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件40 元；該店每月銷(xiāo)售量q（百件）與銷(xiāo)售價(jià)p（元件）之間的關(guān)系用右圖中的一條折線（實(shí)線）表示；職工每人每月工資為 600 元，該店應(yīng)交付的其它費(fèi)用為每月13200 元（）若當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)p 為 52 元件時(shí)，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；（）若該店只安排40 名職工， 則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù)，此時(shí)每件消費(fèi)品的價(jià)格定為多少元？2某廠生產(chǎn)一

2、種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率 p 與日產(chǎn)量 x（件）之間大體滿(mǎn)足關(guān)系：11,96962,3xc xnxpxc xn其中c為小于的正常數(shù)11,96962,3xc xnxpxc xn其中c為小于的正常數(shù)注：次品率p次品數(shù)生產(chǎn)量，如0.1p表示每生產(chǎn)10 件產(chǎn)品，約有1 件為次品其余為合格品已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利a 元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損2a元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量（）試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額t（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；（）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？124584060qp813.某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)

3、以往的生產(chǎn)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為g（x）萬(wàn)元，其中固定成本為2 萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)100 臺(tái)的生產(chǎn)成本為1 萬(wàn)元（總成本 =固定成本 +生產(chǎn)成本），銷(xiāo)售收入r(x)滿(mǎn)足 r(x)=)5(2.10)50(8 .02.44. 02xxxx.假定該產(chǎn)品銷(xiāo)售平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律. （1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品x 應(yīng)控制在什么范圍？（2）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)贏利最大？并求此時(shí)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為多少？4.為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2 米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱（如圖），污水從a 孔流入，經(jīng)沉淀后從b孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a 米，高度為 b 米，已知流

4、出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b 的乘積 ab 成反比，現(xiàn)有制箱材料 60 平方米，問(wèn)當(dāng)a、b 各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。╝、b 孔的面積忽略不計(jì)）？5.運(yùn)輸一批海鮮，可在汽車(chē)、火車(chē)、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇，它們的速度分別為v千米 /小時(shí)、2v 千米 /小時(shí)、 10v 千米/小時(shí)，每千米的運(yùn)費(fèi)分別為a 元、 b 元、 c 元.且 bac,又這批海鮮在運(yùn)輸過(guò)程中的損耗為m 元/小時(shí)，若使用三種運(yùn)輸工具分別運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用（運(yùn)費(fèi)與損耗之和）互不相等.試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.（題中字母均為正的已知量）6.已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y（米）是時(shí)間t(0t24，單位

5、小時(shí)）的函數(shù)，記作y=f(t)，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)t0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1.5 1.0 0.5 1.0 1.49 1 0.51 0.99 1.5 經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)y=f(t)的曲線可近似地看成函數(shù)y=acost+b. （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=acost+b 的最小正周期t，振幅 a 及函數(shù)表達(dá)式；（2）依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1 米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00 至晚上 20：00 之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng). 7.某外商到一開(kāi)放區(qū)投資72 萬(wàn)美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi)12 萬(wàn)美元，以后每年增加4 萬(wàn)美

6、元，每年銷(xiāo)售蔬菜收入50 萬(wàn)美元 . （1）若扣除投資及各種經(jīng)費(fèi)，則從第幾年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)？（2）若干年后，外商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，有兩種處理方案：年平均利潤(rùn)最大時(shí)以48 萬(wàn)美元出售該廠；純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以16 萬(wàn)元出售該廠，問(wèn)哪種方案最合算？8.某廠使用兩種零件a、b 裝配兩種產(chǎn)品p、q，該廠的生產(chǎn)能力是月產(chǎn)p 產(chǎn)品最多有2500 件，月產(chǎn) q 產(chǎn)品最多有1200件；而且組裝一件p 產(chǎn)品要 4 個(gè) a、2 個(gè) b，組裝一件 q 產(chǎn)品要 6 個(gè) a、8 個(gè) b，該廠在某個(gè)月能用的a 零件最多 14000個(gè)；b 零件最多 12000 個(gè).已知 p產(chǎn)品每件利潤(rùn)1000 元，q 產(chǎn)品每件 2000 元，

7、欲使月利潤(rùn)最大，需要組裝p、q 產(chǎn)品各多少件？最大利潤(rùn)多少萬(wàn)元. 9. 隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員a2人（ 140a2420，且a為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利b萬(wàn)元 . 據(jù)評(píng)估，在經(jīng)營(yíng)條件不變的前提下，每裁員1 人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利b01.0萬(wàn)元，但公司需付下崗職員每人每年b4.0萬(wàn)元的生活費(fèi)， 并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的43， 為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？10.醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測(cè)，病毒細(xì)胞的增長(zhǎng)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小

8、白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過(guò)108的時(shí)候小白鼠將死亡但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%（1）為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物？（精確到天）（2）第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）已知： lg2=0.3010天數(shù) t 病毒細(xì)胞總數(shù)n 1 2 3 4 5 6 7 1 2 4 8 16 32 64 天數(shù) t 病毒細(xì)胞總數(shù)n 1 2 3 4 5 6 7 1 2 4 8 16 32 64 11.在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15角，速度為2.5km/h，同時(shí)岸邊有一人,從同

9、一地點(diǎn)開(kāi)始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.,問(wèn)此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？12. 有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為v立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t) 表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱(chēng)為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿(mǎn)足關(guān)系式g(t)=rp +g(0)- rp etvr(p0), 其中，g(0) 是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù). （1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖

10、水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；（2）求證：當(dāng)g(0) rp時(shí)，湖泊的污染程度將越來(lái)越嚴(yán)重；（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過(guò)多少天才能使湖水的污染水平下降到開(kāi)始時(shí)污染水平的5% ？13某租賃公司擁有汽車(chē)100 輛，當(dāng)每輛車(chē)的月租金為3000 元時(shí)，可全部租出當(dāng)每輛車(chē)的月租金每增加50 元時(shí)，未租出的車(chē)將會(huì)增加一輛，租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150 元，未租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50 元（）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600 元時(shí)，能租出多少輛車(chē)？（）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？14. 某機(jī)床廠今年年初用98 萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床，并立

11、即投入生產(chǎn)使用，計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12 萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4 萬(wàn)元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50 萬(wàn)元，設(shè)使用x 年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y 萬(wàn)元 . （1）寫(xiě)出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）從第幾年開(kāi)始，該機(jī)床開(kāi)始盈利（盈利額為正值）； (3 ) 使用若干年后，對(duì)機(jī)床的處理方案有兩種： (i )當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以30 萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床； (ii )當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以12 萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床，問(wèn)用哪種方案處理較為合算？請(qǐng)說(shuō)明你的理由. 二、建構(gòu)不等關(guān)系的應(yīng)用性問(wèn)題1. 某人上午 7 時(shí)乘摩托艇以勻速v 千米 /小時(shí)（ 4v

12、20）從 a 港出發(fā)前往50 千米處的 b 港，然后乘汽車(chē)以勻速w千米/小時(shí)（ 30w100）自 b 港向 300 千米處的 c 市駛?cè)?，在同一天?6 時(shí)至 21 時(shí)到達(dá) c 市, 設(shè)汽車(chē)、摩托艇所需的時(shí)間分別是x 小時(shí)、 y 小時(shí)，若所需經(jīng)費(fèi))8(2)5(3100yxp元，那么v、w 分別為多少時(shí)，所需經(jīng)費(fèi)最少？并求出這時(shí)所花的經(jīng)費(fèi). 2. 某商場(chǎng)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查分析后得知，從年初開(kāi)始的前n 個(gè)月內(nèi)，對(duì)某種商品需求的累計(jì)數(shù))(nf（萬(wàn)件）近似地滿(mǎn)足下列關(guān)系：12,3,2,1,)18)(2(901)(nnnnnf（） 問(wèn)這一年內(nèi)，哪幾個(gè)月需求量超過(guò)1.3 萬(wàn)件？（）若在全年銷(xiāo)售中，將該產(chǎn)品都在每

13、月初等量投放市場(chǎng)，為了保證該商品全年不脫銷(xiāo)，每月初至少要投放多少件商品？（精確到件）甲乙丙3已知甲、乙、丙三種食物的維生素a、b 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克， y 千克， z千克配成 100 千克混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000 單位維生素a 和 63000 單位維生素b. （）用 x，y 表示混合食物成本c 元；（）確定 x，y，z 的值，使成本最低三、建構(gòu)數(shù)列模型的應(yīng)用性問(wèn)題1某縣位于沙漠邊緣，當(dāng)?shù)鼐用衽c風(fēng)沙進(jìn)行著艱苦的斗爭(zhēng)，到2000 年底全縣的綠地已占全縣總面積的30% 從 起，市政府決定加大植樹(shù)造林、開(kāi)辟綠地的力度， 則每年有 16% 的原沙漠地帶變成

14、了綠地，但同時(shí)， 原有綠地的4% 又被侵蝕，變成了沙漠（）在這種政策之下，是否有可能在將來(lái)的某一年，全縣綠地面積超過(guò)80% ？（）至少在多少年底，該縣的綠地面積才能超過(guò)全縣總面積的60% ？2. 某鐵路指揮部接到預(yù)報(bào)，24 小時(shí)后將有一場(chǎng)超歷史記錄的大暴雨，為確保萬(wàn)無(wú)一失，指揮部決定在24 小時(shí)內(nèi)筑一道歸時(shí)堤壩以防山洪淹沒(méi)正在緊張施工的遂道工程。經(jīng)測(cè)算，其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20 輛翻斗車(chē)同時(shí)作業(yè) 24 小時(shí)。但是，除了有一輛車(chē)可以立即投入施工外，其余車(chē)輛需要從各處緊急抽調(diào)，每隔20 分鐘有一輛車(chē)到達(dá)并投入施工，而指揮部最多可組織25 輛車(chē)。問(wèn) 24 小時(shí)內(nèi)能否完成防洪堤壩工

15、程？并說(shuō)明理由. 維生素 a（單位 /千克）600 700 400 維生素 b（單位 /千克）800 400 500 成本（元 /千克）11 9 4 參考答案1. 講解本題題目的篇幅較長(zhǎng)，所給條件零散雜亂，為此，不僅需要?jiǎng)澐侄温鋵哟?，弄清每一層次?dú)立的含義和相互間的關(guān)系，更需要抓住矛盾的主要方面由題目的問(wèn)題找到關(guān)鍵詞“收支平衡”、 “還清所有債務(wù)” ，不難想到，均與“利潤(rùn)”相關(guān)從閱讀和以上分析，可以達(dá)成我們對(duì)題目的整體理解，明確這是一道函數(shù)型應(yīng)用題為此，首先應(yīng)該建立利潤(rùn)與職工人數(shù)、月銷(xiāo)售量q、單位商品的銷(xiāo)售價(jià)p 之間的關(guān)系，然后，通過(guò)研究解析式，來(lái)對(duì)問(wèn)題作出解答由于銷(xiāo)售量和各種支出均以月為單位

16、計(jì)量，所以，先考慮月利潤(rùn)（）設(shè)該店的月利潤(rùn)為s 元，有職工 m 名則4010060013200sq pm又由圖可知：2140,405882 5881ppqpp所以，21404010060013200 4058824010060013200 5881ppmpsppmp由已知，當(dāng)52p時(shí)，0s，即214040100600132000ppm解得50m即此時(shí)該店有50 名職工（）若該店只安排40 名職工，則月利潤(rùn)21404010037200 4058824010037200 580. 當(dāng) 0 x5 時(shí)，有 0.4x2+3.2x2.80,得 1x7,15 時(shí)，有 8.2x0,得 x8.2,5x8.2.

17、綜上，要使工廠贏利，應(yīng)滿(mǎn)足1x5 時(shí) f(x)b,各字母均為正值， 所以 y1y20， 即 y20,由 cb 及每字母都是正值， 得 cb+vm52.所以，當(dāng) cb+vm52時(shí) y2y3,由 y2y1即 y2最小，當(dāng) bacb+vm52時(shí)， y3y21 時(shí)，才可對(duì)沖浪者開(kāi)放.16cos21t1, t6cos0. 2k2262kt, 即有 12k3t13k+3. 由 0t24,故可令 k=0,1,2,得 0t3 或 9t15 或 210,2n2+40n720，解得 2n18.由 nn 知從第三年開(kāi)始獲利. （2）年平均利潤(rùn) =nnf)(=402(n+n36)16.當(dāng)且僅當(dāng) n=6 時(shí)取等號(hào) .故

18、此方案先獲利616+48=144（萬(wàn)美元），此時(shí) n=6,f(n)=2(n10)2+128. 當(dāng) n=10 時(shí)， f(n)|max=128.故第種方案共獲利128+16=144（萬(wàn)美元） . 故比較兩種方案，獲利都是144萬(wàn)美元，但第種方案只需6 年，而第種方案需10 年，故選擇第種方案. 8.解：設(shè)分別生產(chǎn)p、q 產(chǎn)品 x 件、 y件，則有60004700032120008214000641200025000yxyxyxyxyx則有依題意有設(shè)利潤(rùn) s=1000 x+2000y=1000(x+2y) 要使利潤(rùn) s最大，只需求x+2y 的最大值 . x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x

19、(2m+n)+y(3m+4n) 24312nmnm5152nm有 x+2y=52(2x+3y)+51(x+4y)527000+516000. 當(dāng)且僅當(dāng)60004700032yxyx解得10002000yx時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最大利潤(rùn)smax=1000(x+2y)=4000000=400( 萬(wàn)元 ). 另外此題可運(yùn)用“線性規(guī)劃模型”解決. 9.解設(shè)裁員x人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為y萬(wàn)元 , 則bxbxbxay4.0)01.0)(2(=abxaxb2)70(21002依題意xa2a2430 x2a. 又 140a2420, 70a210. (1) 當(dāng) 070a2a, 即 702a, 即 140a210 時(shí)，

20、2ax , y取到最大值 ; 綜上所述，當(dāng)70a140 時(shí)，應(yīng)裁員70a人；當(dāng) 140a210 時(shí)，應(yīng)裁員2a人. 在多字母的數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中，分類(lèi)求解時(shí)需要搞清：為什么分類(lèi)？對(duì)誰(shuí)分類(lèi)？如何分類(lèi)？10.講解 （1）由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n 的函數(shù)為12ny, 則由,10281n兩邊取對(duì)數(shù)得,82lg) 1(nn27.5, 即第一次最遲應(yīng)在第27 天注射該種藥物. （2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為%2226, 再經(jīng)過(guò) x 天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為x2%2226, 由題意x2%2226108，兩邊取對(duì)數(shù)得2.6,82lg22lg2lg26xx得，故再經(jīng)過(guò) 6 天必須注射藥物，即第二次應(yīng)

21、在第33 天注射藥物本題反映的解題技巧是“兩邊取對(duì)數(shù)”，這對(duì)實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的. 11講解 : 不妨畫(huà)一個(gè)圖形,將文字語(yǔ)言翻譯為圖形語(yǔ)言, 進(jìn)而想法建立數(shù)學(xué)模型 . 設(shè) 船 速 為v ， 顯 然hkmv/4時(shí) 人 是 不 可 能 追 上 小 船 ， 當(dāng)20vkm/h 時(shí)，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船，因此只要考慮42v的情況，由于人在水中游的速度小于o a b vt 2(1k)t 4kt 15船的速度， 人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個(gè)封閉的三角形時(shí)，人才能追上小船。設(shè)船速為v，人追上船所用時(shí)間為

22、 t，人在岸上跑的時(shí)間為) 10(kkt，則人在水中游的時(shí)間為tk)1(，人要追上小船，則人船運(yùn)動(dòng)的路線滿(mǎn)足如圖所示的三角形. ,| ,)1 (2| ,4|vtobtkabktoa由余弦是理得15cos|2|222oboaoboaab即4264.2)()4()1(42222vtktvtkttk整理得04 8)26( 21222vkvk. 要使上式在（ 0，1）范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則有112402v且0) 4(124 8)26( 222vv解得hkmvv/22,222max即. 故當(dāng)船速在22,2(內(nèi)時(shí)，人船運(yùn)動(dòng)路線可物成三角形，即人能追上小船， 船能使人追上的最大速度為hkm/22，由此可見(jiàn)當(dāng)船速為2.5km/h 時(shí), 人可以追上小船 . 涉及解答三角形的實(shí)際應(yīng)用題是近年高考命題的一個(gè)冷點(diǎn), 復(fù)課時(shí)值得關(guān)注. 12. 講解 （1） g(t)為常數(shù) , 有 g(0)-rp=0, g(0)= rp. (2) 我們易證得0t1t2, 則g(t1)-g(t2)=g(0)- rpe1tvr-g(0)- rpe21tvr=g(0)- rp e1tvr-e21tvr=g(0)- rp)(2112)(ttvrtvrtvreee, g(0)rp0,t1e1tvr,g(t1)80% ？（）求使得na60% 成立的最小的自然數(shù)n. 為了解決這