考點27 空間幾何體的結構及其三視圖與直觀圖-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學（文）考點一遍過

1、考點27 空間幾何體的結構及其三視圖與直觀圖空間幾何體（1）認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結構.（2）能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖.（3）會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.（4）會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎上，尺寸、線條等不作嚴格要求）.一、空間幾何體的結構1多面體幾何體結構特征備注棱柱底面互相平行.側面都是平行四邊形.每相鄰兩個平行四邊形的公共邊互相平行

2、.按側棱與底面是否垂直分類，可分為斜棱柱和直棱柱.側棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特別地，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.棱錐底面是多邊形. 側面都是三角形. 側面有一個公共頂點.三棱錐的所有面都是三角形，所以四個面都可以看作底.三棱錐又稱為四面體.棱臺上、下底面互相平行，且是相似圖形. 各側棱的延長線交于一點. 各側面為梯形.可用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐2旋轉體幾何體結構特征備注圓柱圓柱有兩個大小相同的底面，這兩個面互相平行，且底面是圓面而不是圓.圓柱有無數(shù)條母線，且任意一條母線都與圓柱的軸平行，所以圓柱的任意兩條母線互相平行且相等. 平行于底面的

3、截面是與底面大小相同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的矩形.圓柱可以由矩形繞其任一邊所在直線旋轉得到.圓錐底面是圓面.有無數(shù)條母線，長度相等且交于頂點. 平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面,過軸的截面（軸截面）是全等的等腰三角形.圓錐可以由直角三角形繞其直角邊所在直線旋轉得到.圓臺圓臺上、下底面是互相平行且不等的圓面. 有無數(shù)條母線，等長且延長線交于一點. 平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面,過軸的截面（軸截面）是全等的等腰梯形.圓臺可以由直角梯形繞直角腰所在直線或等腰梯形繞上、下底中點連線所在直線旋轉得到，也可由平行于底面的平面截圓錐得到.球球心和截面圓心的連線垂直于截面.球心

4、到截面的距離d與球的半徑r及截面圓的半徑r之間滿足關系式:.球可以由半圓面或圓面繞直徑所在直線旋轉得到.二、空間幾何體的三視圖與直觀圖1空間幾何體的三視圖（1）三視圖的概念光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖;光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側視圖;光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖. 幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.如圖.（2）三視圖的畫法規(guī)則排列規(guī)則：一般地，側視圖在正視圖的右邊，俯視圖在正視圖的下邊.如下圖：正側俯畫法規(guī)則)正視圖與俯視圖的長度一致，即“長對正”；)側視圖和正視圖的高度一致，

5、即“高平齊”；)俯視圖與側視圖的寬度一致，即“寬相等”.線條的規(guī)則)能看見的輪廓線用實線表示；)不能看見的輪廓線用虛線表示.（3）常見幾何體的三視圖常見幾何體正視圖側視圖俯視圖長方體矩形矩形矩形正方體正方形正方形正方形圓柱矩形矩形圓圓錐等腰三角形等腰三角形圓圓臺等腰梯形等腰梯形兩個同心的圓球圓圓圓2空間幾何體的直觀圖（1）斜二測畫法及其規(guī)則對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖.斜二測畫法是一種特殊的畫直觀圖的方法，其畫法規(guī)則是： 在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點o.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x軸和y軸，兩軸相交于點o，且使xoy=45°(或135

6、6;)，它們確定的平面表示水平面.已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段.已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半.（2）用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸ox，oy，再作oz軸使xoz=90°，且yoz=90°.畫直觀圖時，把它們畫成對應的軸ox，oy，oz，使xoy=45°(或135°)，xoz=90°，xoy所確定的平面表示水平平面.已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸、

7、y軸或z軸的線段，并使它們和所畫坐標軸的位置關系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同.已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?畫圖完成以后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖.（3）直觀圖的面積與原圖面積之間的關系原圖形與直觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍，直觀圖面積是原圖面積的倍.考向一 空間幾何體的結構特征關于空間幾何體的結構特征問題的注意事項：(1)緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征，依據(jù)條件構建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判

8、定(2)通過舉反例對結構特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.典例1 下列命題中正確的是a有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱b有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱c用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺d有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱【答案】b 【解析】在a中，如圖的幾何體，有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不是棱柱，故a錯誤；在b中，由棱柱的定義得：有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱，故b正確；在c中，用一個平

9、行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，故c錯誤；在d中，如圖的幾何體，有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不是棱柱，故d錯誤故選b1正三棱錐內有一個內切球,經過棱錐的一條側棱和高作截面,正確的圖是典例2 邊長為5 cm的正方形efgh是圓柱的軸截面，則從e點沿圓柱的側面到相對頂點g的最短距離是a10 cmb cmc cm d cm【答案】d【解析】圓柱的側面展開圖如圖所示， 展開后，故選d.【名師點睛】求幾何體的側面上兩點間的最短距離問題，常常把側面展開，轉化為平面幾何問題處理2如圖，在長方體中，點在棱上，當取得最小值時，則棱的長為_.考向二 空間幾何體的三視

10、圖三視圖問題的常見類型及解題策略：(1)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結合空間想象將三視圖還原為實物圖(2)由幾何體的直觀圖求三視圖注意正視圖、側視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實線，不能看到的部分用虛線表示(3)由幾何體的部分視圖畫出剩余的部分視圖先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分三視圖的可能形式當然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合.典例3 如圖所示，在放置的四個幾何體中，其正視圖為矩形的是 a b c d【答案】b【解析】a選項三棱錐、c選項圓臺、d選項的正視圖

11、都不是矩形，而b選項圓柱的正視圖為矩形.故選b3一個動點從正方體的頂點處出發(fā)，經正方體的表面，按最短路線到達頂點位置，則下列圖形中可以表示正方體及動點最短路線的正視圖是abcd典例4 如圖，網格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是a三棱錐b三棱柱c四棱錐d四棱柱【答案】b 【解析】由三視圖中的正視圖可知，有一個面為直角三角形，由側視圖和俯視圖可知其他的面為長方形.綜合可判斷為三棱柱.4如圖，網格紙上小正方形的邊長為2，粗實線及粗虛線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的最長棱長為a23b4c6d42考向三 空間幾何體的直觀圖斜二測畫法中的“三變”與“三不變”：

12、“三變”；“三不變”.典例5 如圖是水平放置的平面圖形的直觀圖,則原平面圖形的面積為a3bc6d【答案】c【解析】原平面圖形如圖,即rtoab,其中oa=oa=3,ob=2ob=4,故原平面圖形的面積為，故選c【方法點晴】本題主要考查了平面圖形的直觀圖及其原圖形與直觀圖面積之間的關系，屬于基礎題，解答的關鍵是牢記原圖形與直觀圖的面積比為，即原圖面積是直觀圖面積的倍，直觀圖面積是原圖面積的倍.5已知邊長為1的菱形中，則用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖的面積為abcd1有下列三個說法： 用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺； 有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺； 有兩

13、個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺 其中正確的有a0個b1個c2個d3個2某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是a圓柱 b圓錐c四面體 d三棱柱3如圖為水平放置的正方形abco，在直角坐標系中點b的坐標為（2，2），則用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，點到軸的距離為abc1d4如圖，正方體中，為棱的中點，用過點、的平面截去該正方體的下半部分，則剩余幾何體的正視圖（也稱主視圖）是abcd5正方體被一個平面截去一部分后，所得幾何體的三視圖如圖所示，則截面圖形的形狀為a等腰三角形b直角三角形c平行四邊形d梯形6用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖是如圖所示的一個正

14、方形，則原來的圖形是a bc d7已知三棱柱的高為2，底面三角形的邊長分別為3，4，5.若球內切于三棱柱，其正視圖和俯視圖如圖所示，則其左視圖是abcd8用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得的圓臺上、下底面半徑之比為1:4，若截去的圓錐的母線長為3cm，則圓臺的母線長為a1cmb3cmc12cmd9cm9一個四面體的頂點在空間直角坐標系o-xyz中的坐標分別是0,1,0,0,2,0,2,0,2,0,2,2，繪制該四面體的三視圖時，按照如下圖所示的方向畫正視圖，則得到的正視圖為a bc d10一個正方體的內切球、外接球、與各棱都相切的球的半徑之比為a bc d11如圖，網格紙上小正方形的邊

15、長為1，粗實線和虛線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體的各個面中有若干個是梯形，則這些梯形的面積之和為a28 b30c32 d3612長方體中，設點關于直線的對稱點為，則與兩點之間的距離是a b c d13已知正三棱柱abca1b1c1的三視圖如圖所示，一只螞蟻從頂點a出發(fā)沿該正三棱柱的表面繞行兩周到達頂點a1，則該螞蟻走過的最短路徑為ab25cd3114已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面三角形中為直角三角形的個數(shù)為abcd15如圖所示,e,f分別為正方體abcd-a'b'c'd'的面add'a'、面bcc'b'的中心

16、,現(xiàn)給出圖的4個平面圖形,則四邊形bfd'e在該正方體的面上的射影可能是圖.(填上所有正確圖形對應的序號)16如圖所示是一個幾何體的表面展開平面圖,該幾何體中與“數(shù)”字面相對的是“          ”.17已知某一幾何體的正視圖與側視圖如圖所示，則下列圖形中，可以是該幾何體的俯視圖的圖形有_.（填序號）18已知一個圓錐的母線長為2，底面圓的周長為，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為_.19一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為，腰和上底均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積為_.20用半

17、徑為，圓心角為的扇形紙片卷成一個圓錐，則這個圓錐的高為_.21正三棱錐pabc中，pa=pb=pc=a，ab的中點為m，一小蜜蜂沿錐體側面由m 爬到c點，最短路程是_.1（2018新課標全國文科）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為abc3d22（2018新課標全國文科）中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是3（20

18、16天津文科）將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側（左）視圖為 abcd變式拓展1【答案】c【解析】正三棱錐的內切球與各個面的切點為正三棱錐各面的中心,所以過一條側棱和高的截面必過該棱所對的面的高線,故c正確.2【答案】【解析】把長方形展開到長方形所在平面，如圖，當，在同一條直線上時，取得最小值，此時，令，則，得.故棱的長為.3【答案】c【解析】由點a經正方體的表面，按最短路線爬行到定點位置，共有6種展開方式，若把平面和平面展開到同一個平面內，在矩形中連接，會經過的中點，故此時的正視圖為；若把平面和平面展開到同一個平面內，在矩形中連

19、接，會經過的中點，此時的正視圖為.故選c 4【答案】c【解析】由三視圖可知該幾何體是如圖所示的四棱錐o-abcd，其所在正方體的棱長為4，a，d為棱的中點，根據(jù)幾何體可以判斷，該四棱錐的最長棱為ao，ao=42+42+22=6故選c5【答案】d【解析】如圖，菱形中，則菱形的面積為，所以用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖的面積為.故選d考點沖關1【答案】a 【解析】本題主要考查棱臺的結構特征中的平面不一定平行于底面，故錯；可用反例去檢驗，如圖所示，故錯 2【答案】a【解析】因為圓柱的三視圖有兩個矩形，一個圓，正視圖不可能是三角形，而圓錐、四面體（三棱錐）、三棱柱的正視圖都有可能是三角形，所以選a3

20、【答案】b【解析】因為垂直于軸，所以在直觀圖中的長度是1，且與軸的夾角是，所以到軸的距離是.4【答案】a【解析】正方體中，過點的平面截去該正方體的下半部分后，剩余部分幾何體的正視圖為圖中粗線部分故選a5【答案】a【解析】如圖所示，由三視圖可得，該幾何體是正方體被一個平面截去一個三棱錐所得的幾何體，很明顯截面是等腰三角形.故選a6【答案】a【解析】根據(jù)斜二測畫法知，平行于x軸的線段長度不變,平行于y的線段變?yōu)樵瓉淼?，由此得原來的圖形是a故選a7【答案】d【解析】設球的半徑為，由正視圖、俯視圖可得，又球與三棱柱的三個側面相切，可得其左視圖如選項d所示故選d.8【答案】d【解析】如圖，設圓臺的母線長

21、為y，小圓錐底面與被截的圓錐底面半徑分別是x,4x，根據(jù)相似三角形的性質可得33+y=x4x，解得y=9，所以圓臺的母線長為9cm.故選d9【答案】d【解析】根據(jù)空間直角坐標系中點的位置，畫出直觀圖如圖，則正視圖為d中圖形.故選d10【答案】c【解析】設正方體的棱長為，那么其內切球的半徑為，外接球的半徑為（正方體體對角線的一半），與各棱都相切的球的半徑為（正方體面對角線的一半），所以比值是，故選c【方法點睛】球與幾何體的組合體的問題，尤其是相切，一般不畫組合體的直觀圖，而是畫切面圖，圓心到切點的距離是半徑并且垂直，如果是內切球，那么對面切點的距離就是直徑，而對面切點的距離是棱長，如果與棱相切，

22、那么對棱切點的距離就是直徑，而切點在棱的中點，所以對棱中點的距離等于面對角線長，而如果外接球，那么相對頂點的距離就是直徑，即正方體的體對角線是直徑11【答案】c【解析】由三視圖可知該幾何體如圖所示，各個面中有兩個梯形，一個矩形，兩個直角三角形，則這兩個梯形的面積和為s=12×2+6×3+12×2+6×5=32.故選c12【答案】a【解析】如下圖所示：在中，易知，由余弦定理得：，所以.故選a13【答案】b【解析】將正三棱柱沿側棱展開，如圖所示：在展開圖中，最短距離是6個矩形對角線的連線的長度，也即為三棱柱的側面上所求距離的最小值由已知求得正三棱柱底面三角形

23、的邊長為，所以矩形的長等于，寬等于7，由勾股定理求得故選b14【答案】d【解析】由三視圖可知：該幾何體為一個三棱錐pabc，其中pc底面abc，底面abc是一個三邊分別為，2的三角形，pc2由，可得a90°，則abac又pc底面abc，pcbc，pcac則abpa因此該幾何體的表面三角形中為直角三角形的個數(shù)為4故選d15【答案】【解析】四邊形bfd'e在正方體abcd-a'b'c'd'的面bcc'b'上的射影是;在面abcd上的射影是;易知的情況不可能出現(xiàn).16【答案】學【解析】由圖形可知,該幾何體為三棱臺，兩個三角形為三棱臺的上下底面，與“數(shù)”字面相對的是“學”.17【答案】【解析】俯視圖為時，該幾何體從上往下依次為圓柱、圓柱、長方體組成的組合體；俯視圖為時，該幾何體從上往下依次為長方體、長方體、圓柱組成的組合體；俯視圖為時，該幾何體從上往下依次為圓柱、長方體、長方體組成的組合體；俯視圖為時，該幾何