2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第一節(jié) 函數(shù)及其表示 教案

1、1第二章第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)第一節(jié)第一節(jié)函數(shù)及其表示函數(shù)及其表示核心素養(yǎng)立意下的命題導向核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.以指數(shù)函數(shù)以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)及帶二次根號的函數(shù)為載體分式函數(shù)及帶二次根號的函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域考查函數(shù)的定義域，凸顯凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng)2考查換元法考查換元法、待定系數(shù)法待定系數(shù)法、解方程組法等在求函數(shù)解析式中的應用解方程組法等在求函數(shù)解析式中的應用，凸顯數(shù)學運算的核凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)心素養(yǎng)3與不等式與不等式、方程方程、指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)相結合考查分段函數(shù)求值或求參數(shù)問題對數(shù)函數(shù)相結合考

2、查分段函數(shù)求值或求參數(shù)問題，凸顯分凸顯分類討論思想的應用及數(shù)學運算的核心素養(yǎng)類討論思想的應用及數(shù)學運算的核心素養(yǎng)理清主干知識理清主干知識1函數(shù)的概念函數(shù)的概念函數(shù)函數(shù)兩集合兩集合 a，b設設 a，b 是兩個是兩個非空的數(shù)集非空的數(shù)集對應關系對應關系f：ab如果按照某種確定的對應關系如果按照某種確定的對應關系 f，使對于集合，使對于集合 a 中的中的任意任意一個數(shù)一個數(shù) x，在集，在集合合b 中都有中都有唯一確定唯一確定的數(shù)的數(shù) f(x)和它對應和它對應名稱名稱稱稱 f：ab 為從集合為從集合 a 到集合到集合 b 的一個函數(shù)的一個函數(shù)記法記法yf(x)，xa2函數(shù)的有關概念函數(shù)的有關概念(1)

3、函數(shù)的定義域、值域：函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)在函數(shù) yf(x)，xa 中，中，x 叫做自變量，叫做自變量，x 的取值范圍的取值范圍 a 叫做函叫做函數(shù)的定義域；與數(shù)的定義域；與 x 的值相對應的的值相對應的 y 值值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xa叫做函數(shù)的值叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合域顯然，值域是集合 b 的的子集子集(2)函數(shù)的三要素：函數(shù)的三要素：定義域定義域、值域值域和和對應關系對應關系(3)相等函數(shù)：相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的如果兩個函數(shù)的定義域定義域和和對應關系對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相

4、等的依據(jù)兩函數(shù)相等的依據(jù)3函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法有三種，分別為函數(shù)的表示方法有三種，分別為解析法解析法、列表法列表法和和圖象法圖象法同一個函數(shù)可以用不同的方法同一個函數(shù)可以用不同的方法表示表示4分段函數(shù)分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系對應關系，這樣的函數(shù)，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)通常叫做分段函數(shù)25分段函數(shù)的相關結論分段函數(shù)的相關結論(1)分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的

5、并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集澄清盲點誤點澄清盲點誤點一、關鍵點練明一、關鍵點練明1(相等函數(shù)的判斷相等函數(shù)的判斷)下列下列 f(x)與與 g(x)表示同一函數(shù)的是表示同一函數(shù)的是()af(x) x21與與 g(x) x1 x1bf(x)x 與與 g(x)x3xx21cyx 與與 y( x)2df(x) x2與與 g(x)3x3答案：答案：b2(函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域)函數(shù)函數(shù) f(x) 2x11x2的定義域為的定義域為_解析：解析：由題意得由題意得2x10，x20，解得解得 x0 且且 x2.答案：答案：0,2)(

6、2，)3(函數(shù)的值域函數(shù)的值域)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)2x3，xxn n|1x5，則函數(shù)，則函數(shù) f(x)的值域為的值域為_解析：解析：x1,2,3,4,5，f(x)2x31,1,3,5,7.f(x)的值域為的值域為1,1,3,5,7答案：答案：1,1,3,5,74(求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式)已知已知 f(x)是一次函數(shù)，滿足是一次函數(shù)，滿足 3f(x1)6x4，則，則 f(x)_.解析解析：設設 f(x)axb(a0)，則則 f(x1)a(x1)baxab，依題設得依題設得 3ax3a3b6x4，3a6，3a3b4，a2，b23，則則 f(x)2x23.答案：答案：2x235(分段函

7、數(shù)求值分段函數(shù)求值)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)log2x，x0，3x1，x0，則則 f f14的值是的值是_解析：解析：由題意可得由題意可得 f14 log2142，3f f14f(2)321109.答案：答案：109二、易錯點練清二、易錯點練清1(對函數(shù)概念理解不清對函數(shù)概念理解不清)已知集合已知集合 px|0 x4，qy|0y2，下列從，下列從 p 到到 q 的各的各對應關系對應關系 f 不是函數(shù)的是不是函數(shù)的是()af：xy12xbf：xy13xcf：xy23xdf：xy x解析：解析：選選 c對于對于 c，因為當，因為當 x4 時，時，y23483 q，所以，所以 c 不是函數(shù)不是函數(shù)

8、2(忽視自變量范圍忽視自變量范圍)設函數(shù)設函數(shù) f(x) x1 2，x1，4 x1，x1，則使得則使得 f(x)1 的自變量的自變量 x 的取值的取值范圍為范圍為_解析解析：因為因為 f(x)是分段函數(shù)是分段函數(shù)， 所以所以 f(x)1 應分段求解應分段求解 當當 x1 時時，f(x)1(x1)21x2 或或 x0，所以所以 x2 或或 0 x0，12x0，解得解得3x0，m24m0，解得解得 00，x11，解得解得1x0 或或 00，4k212k0，得得 0k3.綜上，綜上，0k0，所以，所以 t1，故故 f(x)的解析式是的解析式是 f(x)lg2x1，x(1，)(2)(待定系數(shù)法待定系數(shù)

9、法)設設 f(x)ax2bxc(a0)，6由由 f(0)0，知，知 c0，f(x)ax2bx，又由又由 f(x1)f(x)x1，得得 a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即即 ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以所以2abb1，ab1，解得解得 ab12.所以所以 f(x)12x212x，xr r.(3)(解方程組法解方程組法)由由 f(x)2f(x)2x，得得 f(x)2f(x)2x，2，得，得 3f(x)2x12x.即即 f(x)2x12x3.故故 f(x)的解析式是的解析式是 f(x)2x12x3，xr r.方法技巧方法技巧求函數(shù)解析式的常用方法求函數(shù)解析式的常用方法待定待定

10、系數(shù)法系數(shù)法當函數(shù)的特征已經(jīng)確定時，一般用待定系數(shù)法來確定函數(shù)解析式當函數(shù)的特征已經(jīng)確定時，一般用待定系數(shù)法來確定函數(shù)解析式換元法換元法如果給定復合函數(shù)的解析式如果給定復合函數(shù)的解析式， 求外函數(shù)的解析式求外函數(shù)的解析式， 通常用換元法將內(nèi)函數(shù)先換元通常用換元法將內(nèi)函數(shù)先換元，然后求出外函數(shù)的解析式然后求出外函數(shù)的解析式配湊法配湊法將將 f(g(x)右端的代數(shù)式配湊成關于右端的代數(shù)式配湊成關于 g(x)的形式，進而求出的形式，進而求出 f(x)的解析式的解析式解方程解方程組法組法如果給定兩個函數(shù)的關系式如果給定兩個函數(shù)的關系式，可以通過變量代換建立方程組可以通過變量代換建立方程組，再通過方程組

11、求出再通過方程組求出函數(shù)解析式函數(shù)解析式針對訓練針對訓練1(換元法換元法)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x1)xx1，則函數(shù)，則函數(shù) f(x)的解析式為的解析式為()af(x)x1x2bf(x)xx1cf(x)x1xdf(x)1x2解析：解析：選選 a令令 x1t，則，則 xt1，f(t)t1t2，即即 f(x)x1x2.故選故選 a.72(配湊法配湊法)已知二次函數(shù)已知二次函數(shù) f(2x1)4x26x5，求，求 f(x)的解析式的解析式解：解：因為因為 f(2x1)4x26x5(2x1)210 x4(2x1)25(2x1)9，所以所以 f(x)x25x9(xr r)3(解方程組法解方程組法)已知已知

12、 f(x)滿足滿足 2f(x)f1x 3x，求，求 f(x)的解析式的解析式解：解：2f(x)f1x 3x，把把中的中的 x 換成換成1x，得，得 2f1x f(x)3x.聯(lián)立聯(lián)立可得可得2f x f1x 3x，2f1x f x 3x，解此方程組可得解此方程組可得 f(x)2x1x(x0)考點三考點三分段函數(shù)分段函數(shù)考法考法(一一)分段函數(shù)求值分段函數(shù)求值例例 1(1)設函數(shù)設函數(shù) f(x)x22x，x0，f x3 ，x0，則則 f(5)的值為的值為()a7b1c0d.12(2)(2021宜昌調研宜昌調研)已知已知 f(x)log3x，x0，axb，x0(0a1)，且且 f(2)5，f(1)3

13、，則則 f(f(3)()a2b2c3d3解析解析(1)f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)22112.故選故選 d.(2)由題意得，由題意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3，聯(lián)立聯(lián)立，結合，結合 0a0，12x1，x0，則則 f(3)12319，f(f(3)f(9)log392，故選，故選 b.8答案答案(1)d(2)b方法技巧方法技巧分段函數(shù)求值的解題思路分段函數(shù)求值的解題思路求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)求值，當出現(xiàn) f(f(a)的形式

14、時，應從內(nèi)到外依次求值的形式時，應從內(nèi)到外依次求值考法考法(二二)分段函數(shù)與方程、不等式結合分段函數(shù)與方程、不等式結合例例 2(1)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)x1，1x0，2x，x0.若實數(shù)若實數(shù) a 滿足滿足 f(a)f(a1)，則，則 f1a ()a2b4c6d8(2)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)log2x，x1，11x，x0.當當 0a1 時，由時，由 f(a)f(a1)，即，即 2a a，解得，解得 a14，則，則 f1a f(4)8.當當 a1 時，由時，由 f(a)f(a1)，得，得 2a2(a1)，不成立，不成立故選故選 d.(2)當當 x1 時，不等式時，不等式 f(x)1 為為

15、 log2x1，即，即 log2xlog22，函數(shù)函數(shù) ylog2x 在在(0，)上單調遞增，上單調遞增，1x2.當當 x1(舍去舍去)，f(x)1 的解集是的解集是(，01,2故選故選 d.答案答案(1)d(2)d方法技巧方法技巧解分段函數(shù)與方程或不等式問題的策略解分段函數(shù)與方程或不等式問題的策略求解與分段函數(shù)有關的方程或不等式問題，主要表現(xiàn)為解方程或不等式應根據(jù)每一段的求解與分段函數(shù)有關的方程或不等式問題，主要表現(xiàn)為解方程或不等式應根據(jù)每一段的解析式分別求解若自變量取值不確定，則要分類討論求解；若自變量取值確定，則只需解析式分別求解若自變量取值不確定，則要分類討論求解；若自變量取值確定，則

16、只需依據(jù)自變量的情況直接代入相應的解析式求解依據(jù)自變量的情況直接代入相應的解析式求解 解得值解得值(范圍范圍)后一定要檢驗是否符合相應段后一定要檢驗是否符合相應段9的自變量的取值范圍的自變量的取值范圍針對訓練針對訓練1已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)2x1，x0，1log2x，x0，則則 f(f(3)()a.43b.23c43d3解析解析：選選 a因為因為 f(3)1log23log2230且且 f(a)1，則實數(shù)，則實數(shù) a 的值等于的值等于()a1b. 2c1d 2解析：解析：選選 adf(a)1 且且 f(x)x21，x0，2x1，x0，當當 a0 時，有時，有 f(a)a211，解得，解得

17、a 2或或 a 2(舍去舍去)當當 a0 時，有時，有 f(a)2a11，解得，解得 a1.綜上可得，綜上可得，a 2或或 a1.故選故選 a、d.3已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)x2x，x0，3x，x0，則實數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍為的取值范圍為()a(1，)b(2，)c(，1)(1，)d(，2)(2，)解析：解析：選選 d當當 a0 時，不等式可化為時，不等式可化為 a(a2a3a)0，即即 a2a3a0，即，即 a22a0，解得，解得 a2 或或 a0(舍去舍去)；當當 a0，即即3aa2a0，解得解得 a0(舍去舍去)綜上，實數(shù)綜上，實數(shù) a 的取值范圍為的取值范圍為(，2)(2，)創(chuàng)新

18、考查方式創(chuàng)新考查方式領悟高考新動向領悟高考新動向1高斯是德國著名的數(shù)學家高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一近代數(shù)學奠基者之一，享有享有“數(shù)學王子數(shù)學王子”的稱號的稱號，用其名字用其名字命名的命名的“高斯函數(shù)高斯函數(shù)”為設為設 xr r， 用用x表示不超過表示不超過 x 的最大整數(shù)的最大整數(shù)， 則則 yx稱為高斯函數(shù)稱為高斯函數(shù) 例例10如：如：2.13，3.13，已知函數(shù)，已知函數(shù) f(x)2x32x1，則函數(shù)，則函數(shù) yf(x)的值域為的值域為()a0,1,2,3b0,1,2c1,2,3d1,2解析：解析：選選 df(x)2x32x12x122x1122x1，2x0，12x1，012

19、x11，則則 022x12，1122x13，即，即 1f(x)3.當當 1f(x)2 時，時，f(x)1；當當 2f(x)g(10)ct0n n*，使使 f(t0)g(t0)dtn n*，f(t)g(t)解析解析：選選 d由題圖縱軸可知由題圖縱軸可知 f(t)與與 g(t)的值域不相同的值域不相同；f(9)30g(10)；函數(shù)函數(shù) f(t)的圖象在的圖象在函數(shù)函數(shù) g(t)的圖象的下方的圖象的下方，所以不存在所以不存在 t0，使使 f(t0)g(t0)；由題圖可以看出由題圖可以看出tn n*，f(t)g(t)3定義新運算定義新運算“”：當當 mn 時時，mnm；當當 mn 時時，mnn2.設函

20、數(shù)設函數(shù) f(x)(2x)x(4x)，x1,4，則函數(shù)，則函數(shù) f(x)的值域為的值域為_11解析：解析：由題意知，由題意知，f(x)2x4，x1，2，x34，x 2，4，當當 x1,2時，時，f(x)2,0；當；當 x(2,4時，時，f(x)(4,60，故當，故當 x1,4時，時，f(x)2,0(4,60答案：答案：2,0(4,604若函數(shù)若函數(shù) yf(x)的圖象上存在不同的兩點的圖象上存在不同的兩點 m，n 關于原點對稱關于原點對稱，則稱點對則稱點對(m，n)是函數(shù)是函數(shù) yf(x)的一對的一對“和諧點對和諧點對”已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ex，x0，則此函數(shù)的則此函數(shù)的“和諧點對和諧點對

21、”有有_對對解析：解析：由題意可知，由題意可知，f(x)的的“和諧點對和諧點對”數(shù)可轉化為數(shù)可轉化為 yex(x0)和和 yx24x(x1，則則 f(f(2)()a1b4c0d5e2解析：解析：選選 a由題意知，由題意知，f(2)541，f(1)e01，所以，所以 f(f(2)1.3函數(shù)函數(shù) ylg 1x2 2x23x2的定義域為的定義域為()a(，1b1,1c.1，12 12，1d.1，12 12，1解析：解析：選選 c要使函數(shù)有意義，需要使函數(shù)有意義，需1x20，2x23x20，即即1x1，x2 且且 x12，所以函數(shù)所以函數(shù) ylg 1x2 2x23x2的定義域為的定義域為x|1x12或

22、或12x1.124(2021重慶六校模擬重慶六校模擬)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x1)的定義域為的定義域為(2,0)，則，則 f(2x1)的定義域為的定義域為()a(1,0)b(2,0)c(0,1)d.12，0解析解析：選選 c函數(shù)函數(shù) f(x1)的定義域為的定義域為(2,0)，即即2x0，1x11，則則 f(x)的定義的定義域為域為(1,1)由由12x11，得，得 0 x1，f(2x1)的定義域為的定義域為(0,1)故選故選 c.5設函數(shù)設函數(shù) f(x)x21，x2，log2x，0 x2，若若 f(m)3，則實數(shù)，則實數(shù) m 的值為的值為()a2b8c1d2解析解析：選選 d當當 m2 時時，由

23、由 m213，得得 m24，解得解得 m2；當當 0m2 時時，由由 log2m3，解得，解得 m238(舍去舍去)綜上所述，綜上所述，m2，故選，故選 d.6若函數(shù)若函數(shù) f(x)滿足滿足 f(3x2)9x8，則，則 f(x)的解析式是的解析式是()af(x)9x8bf(x)3x2cf(x)3x4df(x)3x2 或或 f(x)3x4解析解析：選選 b令令 t3x2，則則 xt23，所以所以 f(t)9t2383t2.所以所以 f(x)3x2，故故選選 b.7(多選多選)具有性質：具有性質：f1x f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負倒負”變換的函數(shù)給出下列函變換的函數(shù)給出

24、下列函數(shù)，其中滿足數(shù)，其中滿足“倒負倒負”變換的函數(shù)是變換的函數(shù)是()ayln1x1xby1x21x2cyx，0 x1dysin1x21x2解析解析：選選 bcd對于對于 a，令令 f(x)yln1x1x，則則 f1x ln11x11xlnx1x1f(x)，不滿足不滿足“倒負倒負”變換；變換；13對于對于 b， 令令 f(x)y1x21x2， 則則 f1x 11x211x2x21x211x21x2f(x)， 滿足滿足“倒負倒負”變換變換；對于對于 c，令，令 f(x)yx，0 x1.當當 0 x1，f(x)x，f1x xf(x)；當當 x1 時，時，01x1，f(x)1x，f1x f(x)；當

25、當 x1 時，時，1x1，f(x)0，f1x f(1)0f(x)，滿足滿足“倒負倒負”變換；變換；對于對于 d，令，令 f(x)ysin1x21x2，則則 f1x sin11x211x2sin11x211x2sinx21x21sin1x21x2f(x)，滿足，滿足“倒負倒負”變換故選變換故選 b、c、d.8已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)log2 x1 ，x1，1，x1，則滿足則滿足 f(2x1)f(3x2)的實數(shù)的實數(shù) x 的取值范圍是的取值范圍是()a(，0b(3，)c1,3)d(0,1)解析解析：選選 b由由 f(x)log2 x1 ，x1，1，x1可得當可得當 x1 時時，f(x)1，當當

26、x1 時時，函數(shù)函數(shù) f(x)在在1， )上單調遞增上單調遞增， 且且 f(1)log221， 要使得要使得 f(2x1)f(3x2)， 則則2x11，解得解得 x3，即不等式即不等式 f(2x1)f(3x2)的解集為的解集為(3，)，故選，故選 b.9已知函數(shù)已知函數(shù) f(2x)log2xx，則，則 f(4)_.解析：解析：令令 x2，則，則 f(22)f(4)log222123.答案：答案：31410.若函數(shù)若函數(shù) f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間1,2上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為_解析：解析：由題圖可知，當由題圖可知，當1x0 時，時，f(x)x1；當；當 0 x2 時，時，f(x)12x，所以所以 f(x)x1，1x0，12x，0 x2.答案：答案：f(x)x1，1x0，12x，0 x211設函數(shù)設函數(shù) f(x)axb，x0，2x，x0，且且 f(2)3，f(1)f(1)(1)求求 f(x)的解析式；的解析式；(2)畫出畫出 f(x)的圖象的圖象