2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第1講　變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算

1、第 1 講變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算一、知識梳理1導數(shù)的概念(1)函數(shù) yf(x)在 xx0處的導數(shù)一般地， 稱函數(shù) yf(x)在 xx0處的瞬時變化率limt0f（x0 x）f（x0）xlimt0yx為函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)， 記作f(x0)或y|xx0， 即f(x0)limt0yxlimt0f（x0 x）f（x0）x提醒f(x0)代表函數(shù) f(x)在 xx0處的導數(shù)值；(f(x0)是函數(shù)值 f(x0)的導數(shù)，而函數(shù)值f(x0)是一個常量，其導數(shù)一定為 0，即(f(x0)0.(2)導數(shù)的幾何意義函數(shù) f(x)在點 x0處的導數(shù) f(x0)的幾何意義是在曲線 yf(x)上點 p(x0，y

2、0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù) s(t)對時間 t 的導數(shù))相應地，切線方程為 yy0f(x0)(xx0)(3)函數(shù) f(x)的導函數(shù)稱函數(shù) f(x)limt0f（xx）f（x）x為 f(x)的導函數(shù)2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)c(c 為常數(shù))f(x)0f(x)xn(nq*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0 且 a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(x0，a0 且 a1)f(x)1xln af(x)ln x(x0)f(x)1x3.導數(shù)的運算法則(1)f(x)g(x

3、)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)f（x）g（x） f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0)提醒求導常見易錯點：公式(xn)nxn1與(ax)axln a 相互混淆；公式中“”“”號記混，如出現(xiàn)如下錯誤：f（x）g（x） f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2，(cos x)sin x.常用結(jié)論1奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)2af(x)bg(x)af(x)bg(x)3函數(shù) yf(x)的導數(shù) f(x)反映了函數(shù) f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f(x)|反映了變化的

4、快慢，|f(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡” 二、教材衍化1函數(shù) yxcos xsin x 的導數(shù)為()axsin xbxsin xcxcos xdxcos x解析：選 byxcos xx(cos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x.2曲線 y12x2在點(1，1)處的切線方程為_解析：因為 y2（x2）2，所以 y|x12.故所求切線方程為 2xy10.答案：2xy10一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)f(x0)是函數(shù) yf(x)在 xx0附近的平均變化率()(2)求 f(x0)時，可先求 f(x0)，再求 f(x0)()(3)曲線的切

5、線不一定與曲線只有一個公共點()(4)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線()(5)曲線 yf(x)在點 p(x0，y0)處的切線與過點 p(x0，y0)的切線相同()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易錯糾偏常見誤區(qū)|(1)混淆平均變化率與導數(shù)的區(qū)別；(2)導數(shù)的運算法則運用不正確1 函數(shù) f(x)x2在區(qū)間1， 2上的平均變化率為_， 在 x2 處的導數(shù)為_解析：函數(shù) f(x)x2在區(qū)間1，2上的平均變化率為2212213；因為 f(x)2x，所以 f(x)在 x2 處的導數(shù)為 224.答案：342函數(shù) yln xex的導函數(shù)為_解析：y1xexexln x（ex）21xln

6、xxex.答案：y1xln xxex考點一導數(shù)的運算(基礎型)復習指導|1.能根據(jù)導數(shù)定義，求函數(shù) yc，yx，yx2，y1x的導數(shù)2能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)核心素養(yǎng)：數(shù)學運算角度一求已知函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yx2sin x；(2)yln x1x；(3)y3xex2xe.【解】(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)yln x1x (ln x)1x 1x1x2.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.

7、注意求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商的形式時，如能化簡則先化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量角度二求抽象函數(shù)的導數(shù)值已知函數(shù) f(x)的導函數(shù)為 f(x)，且滿足關系式 f(x)x23xf(2)ln x，則 f(2)_【解析】因為 f(x)x23xf(2)ln x，所以 f(x)2x3f(2)1x，所以 f(2)43f(2)123f(2)92，所以 f(2)94.【答案】94對解析式中含有導數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似 f(x)f(x0)g(x)h(x)(x0為常數(shù))的函數(shù)，解決這類問題的關鍵是明確

8、f(x0)是常數(shù)，其導數(shù)值為 0.因此先求導數(shù) f(x)，令 xx0，即可得到 f(x0)的值，進而得到函數(shù)解析式，求得所求導數(shù)值1下列求導運算正確的是()a1ln x xb(x2ex)2xexc(xcos x)sin xdx1x 11x2解析：選 d對于 a：1ln x 1ln2x(ln x)1xln2x，對于 b：(x2ex)(x22x)ex，對于 c：(xcos x)cos xxsin x，對于 d：x1x 11x2.2已知函數(shù) f(x)的導函數(shù)為 f(x)，且滿足 f(x)3x22xf(2)，則 f(5)()a2b4c6d8解析：選 c由已知得，f(x)6x2f(2)，令 x2，得 f

9、(2)12.再令 x5，得 f(5)652f(2)30246.3求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yx(ln xcos x)；(2)ysin xxx；(3)y xln x.解：(1)yln xcos xx1xsin xln xcos xxsin x1.(2)y（cos x1）x（sin xx）x2xcos xsin xx2.(3)y121x ln x x1x2ln x2 x.考點二導數(shù)的幾何意義(基礎型)復習指導|了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)，通過函數(shù)圖象直觀地理解導數(shù)的幾何意義核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學運算角度一求切線方程(1)(2019高考全國卷)曲線 y3(x2x)ex在點(0，0

10、)處的切線方程為_(2)已知函數(shù) f(x)xln x，若直線 l 過點(0，1)，并且與曲線 yf(x)相切，則直線 l 的方程為_【解析】(1)因為 y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex，所以曲線在點(0，0)處的切線的斜率 ky|x03，所以所求的切線方程為 y3x.(2)因為點(0，1)不在曲線 f(x)xln x 上，所以設切點為(x0，y0)又因為 f(x)1ln x，所以直線 l 的方程為 y1(1ln x0)x.所以由y0 x0ln x0，y01（1ln x0）x0，解得 x01，y00.所以直線 l 的方程為 yx1，即 xy10.【答案】(1)y3x(2)x

11、y10求曲線切線方程的步驟(1)求出函數(shù) yf(x)在點 xx0處的導數(shù)，即曲線 yf(x)在點 p(x0，f(x0)處切線的斜率(2)由點斜式方程求得切線方程為 yf(x0)f(x0)(xx0)注意“過”與“在”：曲線 yf(x)“在點 p(x0，y0)處的切線”與“過點 p(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者 p(x0，y0)為切點，而后者 p(x0，y0)不一定為切點角度二求切點坐標若曲線 yxln x 上點 p 處的切線平行于直線 2xy10，則點 p 的坐標是_【解析】設切點 p 的坐標為(x0，y0)，因為 yln x1，所以切線的斜率 kln x01，由題意知 k2，得 x0e，代

12、入曲線方程得 y0e.故點 p 的坐標是(e，e)【答案】(e，e)【遷移探究】(變條件)若本例變?yōu)椋喝羟€ yxln x 上點 p 處的切線與直線 xy10 垂直，則該切線的方程為_解析：設切點 p 的坐標為(x0，y0)，因為 yln x1，由題意得 ln x011，所以 ln x00，x01，即點 p(1，0)，所以切線方程為 yx1，即 xy10.答案：xy10求切點坐標的思路已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導數(shù)，再讓導數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標，將橫坐標代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標角度三已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值(2019高考全國卷)已知曲線 ya

13、exxln x 在點(1，ae)處的切線方程為 y2xb，則()aae，b1bae，b1cae1，b1dae1，b1【解析】 因為 yaexln x1， 所以 y|x1ae1， 所以切線方程為 yae(ae1)(x1)，即 y(ae1)x1，與切線方程 y2xb 對照，可得ae12，b1，解得ae1，b1.故選d【答案】d處理與切線有關的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：切點處的導數(shù)是切線的斜率；切點在切線上；切點在曲線上1(2019高考全國卷)曲線 y2sin xcos x 在點(，1)處的切線方程為()axy10b2xy210c2xy210dxy10解析

14、：選 c依題意得 y2cos xsin x，y|x(2cos xsin x)|x2cos sin 2，因此所求的切線方程為 y12(x)，即 2xy210，故選 c2如圖，已知直線 l 是曲線 yf(x)在點(2，f(2)處的切線，則直線 l 的方程是_；f(2)f(2)的值為_解析：由圖象可得直線 l 經(jīng)過點(2，3)和(0，4)，則直線 l 的斜率為 k430212，可得直線 l 的方程為 y12x4，即為 x2y80；由導數(shù)的幾何意義可得 f(2)12，則 f(2)f(2)31252.答案：x2y80523(2020鄭州市第一次質(zhì)量預測)已知函數(shù) f(x)ln xax(ar)的圖象與直線

15、 xy10 相切，則實數(shù) a 的值為_解析：設直線 xy10 與函數(shù) f(x)ln xax 的圖象的切點為 p(x0，y0)，因為 f(x)1xa，所以由題意，得x0y010f（x0）1x0a1f（x0）ln x0ax0y0，解得 a1e21.答案：1e21基礎題組練1(多選)下列求導數(shù)運算正確的有()a(sin x)cos xb1x 1x2c(log3x)13ln xd(ln x)1x解析：選 ad因為(sin x)cos x，1x 1x2，(log3x)1xln 3，(ln x)1x，所以 ad 正確2已知曲線 yx243ln x 的一條切線的斜率為12，則切點的橫坐標為()a3b2c1d

16、12解析：選 a因為 yx23x，令 y12，解得 x3，即切點的橫坐標為 3.3已知函數(shù) f(x)可導，則limt0f（22x）f（2）2x等于()af(x)bf(2)cf(x)df(2)解析：選 b因為函數(shù) f(x)可導，所以 f(x)limt0f（xx）f（x）x，所以limt0f（22x）f（2）2xf(2)4 函數(shù) g(x)x352x23ln xb(br)在 x1 處的切線過點(0， 5)， 則 b 的值為()a72b52c32d12解析：選 b當 x1 時，g(1)152b72b，又 g(x)3x25x3x，所以切線斜率 kg(1)35311，從而切線方程為 y11x5，由于點1，

17、72b在切線上，所以72b115，解得 b52.故選 b5如圖所示為函數(shù) yf(x)，yg(x)的導函數(shù)的圖象，那么 yf(x)，yg(x)的圖象可能是()解析：選 d由 yf(x)的圖象知 yf(x)在(0，)上單調(diào)遞減，說明函數(shù) yf(x)的切線的斜率在(0，)上也單調(diào)遞減，故排除 a、c又由圖象知 yf(x)與 yg(x)的圖象在xx0處相交，說明 yf(x) 與 yg(x)的圖象在 xx0處的切線的斜率相同，故排除 b6(2020江西南昌一模)設函數(shù) f(x)在(0，)內(nèi)可導，其導函數(shù)為 f(x)，且 f(ln x)xln x，則 f(1)_解析：因為 f(ln x)xln x，所以

18、f(x)xex，所以 f(x)1ex，所以 f(1)1e11e.答案：1e7(2020四川綿陽一診改編)若函數(shù) f(x)x3(t1)x1 的圖象在點(1，f(1)處的切線平行于 x 軸，則 t_，切線方程為_解析：因為函數(shù) f(x)x3(t1)x1，所以 f(x)3x2t1.因為函數(shù) f(x)的圖象在點(1，f(1)處的切線平行于 x 軸，所以 f(1)3(1)2t12t0，解得 t2.此時f(x)x33x1，f(1)1，切線方程為 y1.答案：2y18(2020江西重點中學 4 月聯(lián)考)已知曲線 y1xln xa在 x1 處的切線 l 與直線 2x3y0 垂直，則實數(shù) a 的值為_解析：y1

19、x21ax，當 x1 時，y11a.由于切線 l 與直線 2x3y0 垂直，所以11a 23 1，解得 a25.答案：259求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)ysinx2(12cos2x4)；(3)yln xx21.解：(1)因為 y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，所以 y18x210 x4.(2)因為 ysinx2(cosx2)12sin x，所以 y(12sin x)12(sin x)12cos x.(3)y（ln x）（x21）ln x（x21）（x21）21x（x21）2xln x（x21）2x212x2ln xx（x21）2.1

20、0(2020甘肅會寧一中模擬)已知曲線 yx3x2 在點 p0處的切線 l1平行于直線 4xy10，且點 p0在第三象限(1)求 p0的坐標；(2)若直線 ll1，且 l 也過切點 p0，求直線 l 的方程解：(1)由 yx3x2，得 y3x21.令 3x214，解得 x1.當 x1 時，y0；當 x1 時，y4.又點 p0在第三象限，所以切點 p0的坐標為(1，4)(2)因為直線 ll1，l1的斜率為 4，所以直線 l 的斜率為14.因為 l 過切點 p0，點 p0的坐標為(1，4)，所以直線 l 的方程為 y414(x1)，即 x4y170.綜合題組練1.如圖，yf(x)是可導函數(shù)，直線

21、l：ykx2 是曲線 yf(x)在 x3 處的切線，令 g(x)xf(x)，g(x)是 g(x)的導函數(shù)，則 g(3)()a1b0c3d4解析：選 b由題圖可知曲線 yf(x)在 x3 處切線的斜率為13，即 f(3)13，又 g(x)xf(x)， g(x)f(x)xf(x)， g(3)f(3)3f(3)， 由題圖可知f(3)1， 所以g(3)13130.2(多選)已知函數(shù) f(x)及其導數(shù) f(x)，若存在 x0使得 f(x0)f(x0)，則稱 x0是 f(x)的一個“巧值點”給出下列四個函數(shù)，其中有“巧值點”的函數(shù)是()af(x)x2bf(x)excf(x)ln xdf(x)tan x解析

22、：選 ac對于 a，若 f(x)x2，則 f(x)2x，令 x22x，這個方程顯然有解，得 x0 或 x2，故 a 符合要求；對于 b，若 f(x)ex，則 f(x)ex，即 exex，此方程無解，b 不符合要求；對于 c，若 f(x)ln x，則 f(x)1x，若 ln x1x，利用數(shù)形結(jié)合法可知該方程存在實數(shù)解，c 符合要求；對于 d，若 f(x)tan x，則 f(x)sin xcos x 1cos2x，令 f(x)f(x)，即 sin xcos x1，變形可得 sin 2x2，無解，d 不符合要求3在等比數(shù)列an中，a12，a84，函數(shù) f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，則 f

23、(0)()a26b29c212d215解析： 選 c 因為 f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以 f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因為數(shù)列an為等比數(shù)列， 所以 a2a7a3a6a4a5a1a88， 所以 f(0)84212.故選 c4(2020湖北武漢 4 月調(diào)研)設曲線 c：y3x42x39x24，在曲線 c 上一點 m(1，4)處的切線記為 l，則切線 l 與曲線 c 的公共點個數(shù)為()a1b2c3d4解析：選 cy12x36x218x，則 y|x112136121811