2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第四節(jié) 數(shù)列求和 教案

1、1第四節(jié)第四節(jié)數(shù)列求和數(shù)列求和核心素養(yǎng)立意下的命題導向核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.與等差、等比數(shù)列的定義和性質相結合，考查數(shù)列的求和，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)與等差、等比數(shù)列的定義和性質相結合，考查數(shù)列的求和，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)2與不等式的證明相結合，考查數(shù)列的求和，凸顯數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)與不等式的證明相結合，考查數(shù)列的求和，凸顯數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)方法一方法一分組轉化法求和分組轉化法求和若數(shù)列的通項為分段函數(shù)或幾個特殊數(shù)列通項的和或差的組合等形式，則求和時可用分組若數(shù)列的通項為分段函數(shù)或幾個特殊數(shù)列通項的和或差的組合等形式，則求和時可用分組轉化法，就是對原數(shù)列的通項進行分

2、解，分別對每個新的數(shù)列進行求和后再相加減轉化法，就是對原數(shù)列的通項進行分解，分別對每個新的數(shù)列進行求和后再相加減典例典例已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前 n 項和項和 snn2n2，nn n*.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)設設 bn2an(1)nan，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前 2n 項和項和解解(1)當當 n1 時，時，a1s11；當當 n2 時，時，ansnsn1n2n2 n1 2 n1 2n.a1也滿足也滿足 ann，故數(shù)列故數(shù)列an的通項公式為的通項公式為 ann.(2)由由(1)知知 ann，故，故 bn2n(1)nn.記數(shù)列記數(shù)列bn的前的前 2n 項和為項和為

3、 t2n，則則 t2n(212222n)(12342n)記記 a212222n，b12342n，則則 a2 122n 1222n12，b(12)(34)(2n1)2nn.故數(shù)列故數(shù)列bn的前的前 2n 項和項和 t2nab22n1n2.方法技巧方法技巧分組轉化法求和的常見類型分組轉化法求和的常見類型提醒提醒某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差， 從而求得原數(shù)列從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論針對訓練針對訓練21 已知在數(shù)列已知在數(shù)列an中中， a11， a2

4、2， 且且 an2an22(1)n， nn n*， 則則 s2 019的值為的值為()a2 0201 0111b1 0102 019c2 0191 0111d2 0191 011解析：解析：選選 c由遞推公式，可得：由遞推公式，可得：當當 n 為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，an2an4，數(shù)列，數(shù)列an的奇數(shù)項是首項為的奇數(shù)項是首項為 1，公差為，公差為 4 的等差數(shù)列；的等差數(shù)列；當當 n 為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，an2an0，數(shù)列，數(shù)列an的偶數(shù)項是首項為的偶數(shù)項是首項為 2，公差為，公差為 0 的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，s2 019(a1a3a2 019)(a2a4a2 018)2 0191 0111.2

5、已知數(shù)列已知數(shù)列an的通項公式是的通項公式是 an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前，求其前 n 項項和和sn.解：解：sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以當所以當 n 為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，sn213n13n2ln 33nn2ln 31；當當 n 為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，sn213n13(ln 2ln 3)n12nln 33nn12ln 3ln 21.綜上所述，綜上所述，sn3nn2ln 31，n 為偶數(shù)，為偶數(shù)，3nn12ln 3ln 21，n 為奇數(shù)為奇數(shù).方法二方法二裂項相消法求和裂項相消法求和如果一個數(shù)列的通項為分

6、式或根式的形式，且能拆成結構相同的兩式之差，那么通過累加如果一個數(shù)列的通項為分式或根式的形式，且能拆成結構相同的兩式之差，那么通過累加將一些正、負項相互抵消，只剩下有限的幾項，從而求出該數(shù)列的前將一些正、負項相互抵消，只剩下有限的幾項，從而求出該數(shù)列的前 n 項和項和典例典例在數(shù)列在數(shù)列an中，中，a14，nan1(n1)an2n22n.(1)求證：數(shù)列求證：數(shù)列ann 是等差數(shù)列；是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列求數(shù)列1an的前的前 n 項和項和 sn.解解(1)證明證明： nan1(n1)an2n22n 的兩邊同時除以的兩邊同時除以 n(n1)， 得得an1n1ann2(nn*)，又又a114，數(shù)

7、列數(shù)列ann 是首項為是首項為 4，公差為，公差為 2 的等差數(shù)列的等差數(shù)列3(2)由由(1)，得，得ann2n2，an2n22n，故故1an12n22n12 n1 nn n1 121n1n1 ，sn12112 1213 1n1n11211n1 n2 n1 .方法技巧方法技巧1用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律(1)裂項原則：裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止(2)消項規(guī)律：消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前

8、邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項2幾種常見的裂項方式幾種常見的裂項方式數(shù)列數(shù)列(n 為正整數(shù)為正整數(shù))裂項方式裂項方式1n nk (k 為非零常數(shù)為非零常數(shù))1n nk 1k1n1nk14n2114n211212n112n11n n11n n1 n1 nloga11n(a0，a1)loga11n loga(n1)logan針對訓練針對訓練1 設數(shù)列設數(shù)列an對對 nn n*都滿足都滿足 an1anna1， 且且 a11， 則則1a11a21a281a29_.解析：解析：因為因為 a11，且，且 an1anna1，則，則 an1ann1，那么，那么 anan1n(n2)，因為因為 an(anan1

9、)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)21n n1 2，所以所以1an2n n1 21n1n1 .所以所以1a11a21a281a29421121213129130 2915.答案：答案：29152(2021鄭州模擬鄭州模擬)已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前 n 項和為項和為 sn，且，且 a28，snan12n1.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)求數(shù)列求數(shù)列23nanan1的前的前 n 項和項和 tn.解：解：(1)a28，snan12n1，a1s1a2222，當當 n2 時，時，ansnsn1an12n1an2n，即即 an13an2，又，又 a283a12，an13

10、an2，nn*，an113(an1)，數(shù)列數(shù)列an1是等比數(shù)列，且首項為是等比數(shù)列，且首項為 a113，公比為，公比為 3，an133n13n，an3n1.(2)23nanan123n 3n1 3n11 13n113n11，數(shù)列數(shù)列23nanan1的前的前 n 項和項和tn1311321 13211331 13n113n11 1213n11.方法三方法三錯位相減法求和錯位相減法求和如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前列的前 n 項和即可用錯位相減法來求，如等比數(shù)列的前項

11、和即可用錯位相減法來求，如等比數(shù)列的前 n 項和公式就是用此法推導的項和公式就是用此法推導的典例典例在在a5b42b6，a3a54(b1b4)，b2s45a2b3三個條件中任選一個，補充三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答在下面的問題中，并解答設設an是公比大于是公比大于 0 的等比數(shù)列，其前的等比數(shù)列，其前 n 項和為項和為 sn，bn是等差數(shù)列已知是等差數(shù)列已知 a11，s3s2a22a1，a4b3b5，_.(1)求求an和和bn的通項公式；的通項公式；(2)設設 tna1b1a2b2a3b3anbn，求，求 tn.5解解(1)選條件選條件：設等比數(shù)列：設等比數(shù)列an的公比為的公

12、比為 q，a11，s3s2a22a1，q2q20，解得，解得 q2 或或 q1，q0，q2，an2n1.設等差數(shù)列設等差數(shù)列bn的公差為的公差為 d，a4b3b5，a5b42b6，2b16d8，3b113d16，解得解得b11，d1，bnn，an2n1，bnn.選條件選條件：設等比數(shù)列：設等比數(shù)列an的公比為的公比為 q，a11，s3s2a22a1，q2q20，解得，解得 q2 或或 q1，q0，q2，an2n1.設等差數(shù)列設等差數(shù)列bn的公差為的公差為 d，a4b3b5，a3a54(b1b4)，2b16d8，2b13d5，解得解得b11，d1，bnn，an2n1，bnn.選條件選條件：設等比

13、數(shù)列：設等比數(shù)列an的公比為的公比為 q，a11，s3s2a22a1，q2q20，解得，解得 q2 或或 q1，q0，q2，an2n1.設等差數(shù)列設等差數(shù)列bn的公差為的公差為 d，a4b3b5，b2s45a2b3，2b16d8，b1d0，解得解得b11，d1，bnn，an2n1，bnn.(2)an2n1，bnn，tna1b1a2b2anbn120221(n1)2n2n2n1，2tn121222(n1)2n1n2n，tn121222n1n2n12n12n2n2n1n2n，tn(n1)2n1.方法技巧方法技巧(1)一般地，如果數(shù)列一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列

14、是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前的前 n 項和時，可采項和時，可采用錯位相減法用錯位相減法6(2)用錯位相減法求和時，應注意：用錯位相減法求和時，應注意：要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形在寫出在寫出“sn”與與“qsn”的表達式時應特別注意將兩式的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊錯項對齊”，以便于下一步準確地寫，以便于下一步準確地寫出出“snqsn”的表達式的表達式針對訓練針對訓練(2020全國卷全國卷)設設an是公比不為是公比不為 1 的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，a1為為 a2，a3的等差中項的等差中項(1)求求an的公比；的公

15、比；(2)若若 a11，求數(shù)列，求數(shù)列nan的前的前 n 項和項和解：解：(1)設設an的公比為的公比為 q，由題設得由題設得 2a1a2a3，即即 2a1a1qa1q2，所以，所以 q2q20，解得解得 q2 或或 q1(舍去舍去)故故an的公比為的公比為2.(2)記記 sn為為nan的前的前 n 項和項和由由(1)及題設可得，及題設可得，an(2)n1.所以所以 sn12(2)n(2)n1，2sn22(2)2(n1)(2)n1n(2)n.兩式相減得兩式相減得 3sn1(2)(2)2(2)n1n(2)n1 2 n3n(2)n.所以所以 sn19 3n1 2 n9.創(chuàng)新考查方式創(chuàng)新考查方式領悟

16、高考新動向領悟高考新動向1 公元前四世紀公元前四世紀， 畢達哥拉斯學派對數(shù)和形的關系進行了研究畢達哥拉斯學派對數(shù)和形的關系進行了研究 他們借助幾何圖形他們借助幾何圖形(或格點或格點)來表示數(shù)來表示數(shù)，稱為形數(shù)稱為形數(shù)形數(shù)是聯(lián)系算數(shù)和幾何的紐帶形數(shù)是聯(lián)系算數(shù)和幾何的紐帶圖為五角形數(shù)的前圖為五角形數(shù)的前 4 個個，則第則第 10 個個五角形數(shù)為五角形數(shù)為()a120b145c270d285解析：解析：選選 b記第記第 n 個五角形數(shù)為個五角形數(shù)為 an，由題意知：，由題意知：a11，a2a14，a3a27，a4a310，易知，易知 anan13(n1)1，由累加法得，由累加法得 an 3n1 n2

17、，所以，所以 a10145.72為激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣為激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，某學校餐廳推出了某學校餐廳推出了“通過解數(shù)學題獲取通過解數(shù)學題獲取 wifi 密碼密碼”的活的活動，動，wifi 密碼為密碼為1 000m小數(shù)點后的前小數(shù)點后的前 8 位數(shù)字數(shù)學問題如下：在正奇數(shù)數(shù)列中依次插入位數(shù)字數(shù)學問題如下：在正奇數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù) 值 為數(shù) 值 為 2n(n n n*) 的 項 ， 按 從 小 到 大 的 順 序 排 成 如 下 新 數(shù) 列的 項 ， 按 從 小 到 大 的 順 序 排 成 如 下 新 數(shù) 列 an ：1,21,3,22,5,7,23,9,11,13,15,24,17,19

18、,21,23,25,27,29,31,25,33,35，.若使若使 a1a2a3an1an12an1成立的成立的 n 的最小值為的最小值為 m，則該學校餐廳的，則該學校餐廳的 wifi 密碼為密碼為()a03703703b46153846c66666666d71428571解析：解析：選選 a設數(shù)列設數(shù)列an的前的前 n 項和為項和為 sn，當當 an2k(kn*)時，時，sn135(2k1)(2122232k)1 2k1 22k12 2k1 2122k22k12.由由 sn12an1，得，得 22k22k1212(2k1)，即即(2k1)2202k1140，解得解得 2k110 114，即，

19、即 2k121，所以，所以 k6，所以只需研究所以只需研究 25an26時是否有滿足條件的解時是否有滿足條件的解此時設等差數(shù)列此時設等差數(shù)列 1,3,5,7，的項數(shù)為的項數(shù)為 m(mn*)，且，且 16m32，則則 sn135(2m1)(212225)m262.當當 1612(2m1)，即，即 m224m500，解，解得得22m31,27nm536.當當 m32 時，時，an126，由，由 m2621226，解得，解得 m27，則，則 m32，nm537.綜上，滿足條件的綜上，滿足條件的 n 的最小值為的最小值為 27.又又1 0002737.037 037 037 037，故密碼為故密碼為

20、03703703.故選故選 a.3.“垛積術垛積術”(隙積術隙積術)是由北宋科學家沈括在夢溪筆談中首創(chuàng)，南宋是由北宋科學家沈括在夢溪筆談中首創(chuàng)，南宋數(shù)學家楊輝、元代數(shù)學家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有菱數(shù)學家楊輝、元代數(shù)學家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等某倉庫中部分貨物堆放成如圖所示的的“菱草垛菱草垛”：自上而下，第一層：自上而下，第一層 1 件，以后每一層比上一層多件，以后每一層比上一層多 1 件，件，最后一層是最后一層是 n 件件，已知第一層貨物單價已知第一層貨物單價 1 萬元萬元，

21、從第二層起從第二層起，貨物的單價是上一層單價的貨物的單價是上一層單價的45.若這堆貨物總價是若這堆貨物總價是 256545n萬元，則萬元，則 n 的值為的值為()a7b8c9d108解析：解析：選選 b由題意，可設這堆貨物的總價為由題意，可設這堆貨物的總價為 sn，則，則sn12453452n45n1，45sn452452(n1)45n1n45n，兩式相減可得：兩式相減可得：15sn14545245n1n45n145n145n45n5(n5)45n，所以所以 sn255(n5)45n.當當 sn255(n5)45n256545n時，時，解得解得 n8.故選故選 b.4(2021重慶八校聯(lián)考重慶

22、八校聯(lián)考)如圖，矩形如圖，矩形 anbncndn的一邊的一邊 anbn在在 x 軸上，軸上，另外兩個頂點另外兩個頂點 cn，dn都在函數(shù)都在函數(shù) f(x)x1x(x0)的圖象上的圖象上，若點若點 bn的坐的坐標為標為(n,0)(nn n*，n2)，矩形矩形 anbncndn的周長為的周長為 an，則則1a2a31a3a41a9a10_.解析：解析：由題意知由題意知 cnn，n1n ，設，設 dnx，n1n (x0)，令令 x1xn1n，則，則 x2n1n x10，即，即(xn)x1n 0，解得，解得 xn 或或 x1n，所以所以 dn1n，n1n ，所以，所以 an2n1n 2n1n 4n.所

23、以所以1a2a31a3a41a9a1011612313419101161213 1314 1911011612110 140.答案：答案：1405黎曼猜想由數(shù)學家波恩哈德黎曼猜想由數(shù)學家波恩哈德黎曼于黎曼于 1859 年提出，是至今仍未解決的世界難題黎曼猜年提出，是至今仍未解決的世界難題黎曼猜想涉及很多領域的應用，有些數(shù)學家將黎曼猜想的攻堅之路趣稱為：想涉及很多領域的應用，有些數(shù)學家將黎曼猜想的攻堅之路趣稱為：“各大行長躲在銀行各大行長躲在銀行9保險柜前瑟瑟發(fā)抖保險柜前瑟瑟發(fā)抖，不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發(fā)不少黑客則潛伏敲著鍵盤蓄勢待發(fā)”黎曼猜想研究的是無窮級數(shù)黎曼猜想研究的是無窮級數(shù)(s)

24、錯誤錯誤!s11s12s13s，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和，我們經(jīng)常從無窮級數(shù)的部分和11s12s13s1ns入手已知正入手已知正項數(shù)列項數(shù)列an的前的前 n 項和為項和為 sn，且滿足且滿足 sn12an1an，則則1s11s21s100_(其中其中x表示不超過表示不超過 x 的最大整數(shù)的最大整數(shù))解析：解析：當當 n1 時，時，a1s112a11a1，a11a1，a211，an0，a1s11；當當 n2 時，時，ansnsn1，2snsnsn11snsn1，snsn11snsn1，s2ns2n11，s2n是以是以 1 為首項，為首項，1 為公差的等差數(shù)列，為公差的等差數(shù)列，s2nn，an0

25、，sn0，sn n.2( n1 n)2n1 n1 時時，22sn2( 101 100)( 100 99)( 21)2( 1011)18，s2( 100 99)( 99 98)( 21)12( 1001)119，即即 18s0，a38.s3a1a2a3，a1a2814，a1a1q6，即即 a1(1q)6，8q2(1q)6，即，即 3q24q40，解得解得 q2 或或 q23(舍去舍去)a12，a24，an22n12n(nn n*)(2)數(shù)列數(shù)列bn為等差數(shù)列理由如下：為等差數(shù)列理由如下：由由(1)知知 an2n，bnlog2anlog22nn，bn1n1，bn1bn1.又又 b11，bn是以是以

26、 1 為首項，為首項，1 為公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列(3)由由(2)可知，可知，bnn，cn1bnbn11n n1 1n1n1，tnc1c2c3cn112 1213 1314 1n1n1 11n1nn1.10已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前 n 項和為項和為 sn，a15，nsn1(n1)snn2n.(1)求證：數(shù)列求證：數(shù)列snn 為等差數(shù)列；為等差數(shù)列；(2)令令 bn2nan，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前 n 項和項和 tn.解解：(1)證明證明：由由 nsn1(n1)snn2n 得得sn1n1snn1，又又s115，所以數(shù)列所以數(shù)列snn 是首項是首項為為5，公差為，公差為 1 的等差

27、數(shù)列的等差數(shù)列(2)由由(1)可知可知snn5(n1)n4，所以，所以 snn24n.當當 n2 時，時，ansnsn1n24n(n1)24(n1)2n3.又又 a15 也符合上式，所以也符合上式，所以 an2n3(nn n*)，所以所以 bn(2n3)2n，所以所以 tn52722923(2n3)2n，2tn522723924(2n1)2n(2n3)2n1，所以所以得得tn(2n3)2n110(23242n1)13(2n3)2n11023 12n1 12(2n3)2n110(2n28)(2n1)2n12.二、自選練二、自選練練高考區(qū)分度練高考區(qū)分度1在公差不為零的等差數(shù)列在公差不為零的等差數(shù)

28、列an中中，已知已知 a11，且且 a2，a5，a14成等比數(shù)列成等比數(shù)列，an的前的前 n 項項和為和為 sn，bn(1)nsn，則，則 an_，數(shù)列，數(shù)列bn的前的前 n 項和項和 tn_.解析：解析：設等差數(shù)列設等差數(shù)列an的公差為的公差為 d(d0)，則由則由 a2，a5，a14成等比數(shù)列得成等比數(shù)列得 a25a2a14，即即(14d)2(1d)(113d)，解得，解得 d2，則則 ana1(n1)d2n1，snna1n n1 2dn2.當當 n 為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，tns1s2s3s4sn1sn12223242(n1)2n237(2n1)n n1 2；當當 n 為大于為大于 1 的奇數(shù)時，的奇數(shù)時，tns1s2s3s4sn1sn12223242(n2)2(n1)2n237(2n3)n2n