2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）考點11 函數(shù)的奇偶性與周期性（原卷版）

1、考點11 函數(shù)的奇偶性與周期性【命題解讀】關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的考查：以考查能力為主，往往以常見函數(shù)（二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)）為基本考察對象，以絕對值或分段函數(shù)的呈現(xiàn)方式，與不等式相結(jié)合，考查函數(shù)的基本性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性與最值、函數(shù)與方程（零點）、不等式的解法等，考查數(shù)學式子變形的能力、運算求解能力、等價轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.其中函數(shù)與方程考查頻率較高.涉及函數(shù)性質(zhì)的考查；【基礎(chǔ)知識回顧】 1、 奇、偶函數(shù)的定義對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，則稱f(x)為奇函數(shù)；對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)f(x)(或f(x)f

2、(x)0)，則稱f(x)為偶函數(shù)2、 奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點對稱(也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱)(2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱(3)若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)_0_(4)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則有f(|x|)f(x)(5)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反3、 周期性(1)周期函數(shù)對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)t，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xt)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱t為這個函數(shù)的周期(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(

3、x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期4、函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義，則一定有f(0)0；如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性5、函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量x：(1)若f(xa)f(x)，則t2a(a>0)(2)若f(xa)，則t2a(a>0)(3)若f(xa)，則t2a(a>0)6、函數(shù)圖象的對稱性(1)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，即f(ax)f(ax)，則函數(shù)yf(x)的圖象

4、關(guān)于直線xa對稱(2)若對于r上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，則yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱(3)若函數(shù)yf(xb)是奇函數(shù)，即f(xb)f(xb)0，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(b，0)中心對稱1、下列函數(shù)為奇函數(shù)的是a b c d2、若函數(shù)為奇函數(shù)，則=(a) (b) (c) (d)13、設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當時，則=a3 b1 c1 d34、設(shè)函數(shù)，的定義域都為r，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是a是偶函數(shù) b|是奇函數(shù)c|是奇函數(shù) d|是奇函數(shù)5、（2019·福建莆田一中模擬）定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在0，1上是

5、減函數(shù)，則有()af<f<fbf<f<fcf<f<fdf<f<f6、(多選)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)f(2x)0，下列說法正確的是()a函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)b函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)c函數(shù)f(x2)為偶函數(shù)d函數(shù)f(x3)為偶函數(shù)7、(2018江蘇)函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為 考向一奇偶性的定義與判斷例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)變式1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1)；(3)f(x).（4）f(x)變式

6、2、判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).方法總結(jié)：1. 判斷函數(shù)的奇偶性，首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱若函數(shù)定義域關(guān)于原點不對稱，則此函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)；若定義域關(guān)于原點對稱，再化簡解析式，根據(jù)f(x)與f(x)的關(guān)系結(jié)合定義作出判斷2. 在函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的條件下，要說明一個函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，必須證明f(x)f(x)(f(x)f(x)對定義域中的任意x都成立；而要說明一個函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，則只須舉出一個反例就可以了3. 分段函數(shù)指在定義域的不同子集有不同對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從x0或x0來尋找等式f(x)

7、f(x)或f(x)f(x)成立，只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關(guān)系時，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性考向二 函數(shù)的周期性及應(yīng)用例2、（2020屆山東省濱州市三校高三上學期聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足，且圖像關(guān)于對稱，當時，則_.變式1、已知函數(shù)f（x）滿足f（0）2，且對任意xr都滿足f（x+3）f（x），則f（2019）的值為（）a2019b2c0d2變式2、 定義在r上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)當3x<1時，f(x)(x2)2；當1x<3時，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 019)_變式3、設(shè)是定義在上的周期為2的函數(shù)，當時，則 變式4、設(shè)f(x)是定義在r

8、上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x2)f(x)，當x0，2時，f(x)2xx2(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當x2，4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2 016)方法總結(jié)：(1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(xt)f(x)(t0)即可，且周期為t(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題(3)在解決具體問題時，要注意結(jié)論“若t是函數(shù)的周期，則kt(kz且k0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用(4)除f(xt)f(x)(t0)之外，其它一些隱含周期的條件：，等考向三 函數(shù)奇偶性與單調(diào)性、周期性的應(yīng)用例3、（

9、2020屆山東師范大學附中高三月考）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，有恒成立，若，則x的取值范圍是_變式1、（2020·河南高三月考（理）已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則的解集是（ ）abcd變式2、（2017江蘇）已知函數(shù)，其中是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù) 的取值范圍是 變式3、（2020屆山東省德州市高三上期末）已知為定義在上的奇函數(shù)，當時，有，且當時，下列命題正確的是（ ）ab函數(shù)在定義域上是周期為的函數(shù)c直線與函數(shù)的圖象有個交點d函數(shù)的值域為變式4、（多選題）（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）a函數(shù)是周期函數(shù)b函數(shù)的

10、圖象關(guān)于點對稱c函數(shù)為上的偶函數(shù)d函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)方法總結(jié)：1. 已知函數(shù)的奇偶性，反求參數(shù)的取值，有兩種思路：一種思路是根據(jù)定義，由f(x)f(x)或f(x)f(x)對定義域內(nèi)的任意x恒成立，建立起關(guān)于參數(shù)的方程，解方程求出參數(shù)之值；另一種思路就是從特殊入手，得出參數(shù)所滿足條件，再驗證其充分性得出結(jié)果2. 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性之間有著緊密的聯(lián)系，奇函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，掌握這一關(guān)系，對于求解有關(guān)奇偶性與單調(diào)性的綜合問題，有著極大的幫助，要予以足夠的重視1、（2020全國文10）設(shè)函數(shù)，則（ ）a是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增b是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減c是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增d是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減2、（2020山東8）若定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（ ）a b c d3、(2018全國卷)已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足若，則ab0c2d503、(2016山東)已知函數(shù)f(x)的定義域為r當x<0時， ；當 時，；當 時，則f(6)= a2 b1 c0 d24、（多選題）（2020屆山東省棗莊市高三上學期統(tǒng)考）下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（ ）a