2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第十一章 11.3離散型隨機變量及其分布-教師版

1、 第1課時進門測判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量()(2)離散型隨機變量的分布列描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現(xiàn)象()(3)離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.(×)(4)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的()(5)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān)(×)(6)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小()作業(yè)檢查無第2課時階段訓練題型一離散型隨機變量分布列的性質(zhì)例1(1)設(shè)x是一個離散型隨機

2、變量，其分布列為x101p23qq2則q等于()a1 b.±(2)設(shè)隨機變量的分布列為p(i)a()i，i1,2,3，則實數(shù)a的值為()a1 b. c. d.答案(1)c(2)d解析(1)23qq21，q23q0，解得q±.又由題意知0<q2<，q.(2)隨機變量的分布列為p(i)a()i，i1,2,3，a()2()31，解得a.故選d.思維升華(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式已知隨機變

3、量x的分布列為p(xi)(i1,2,3,4)，則p(2<x4)等于()a. b. c. d.答案b解析由分布列的性質(zhì)知，1，則a5，p(2<x4)p(x3)p(x4).題型二離散型隨機變量分布列的求法例2連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1a2ak6，則稱k為你的幸運數(shù)字(1)求你的幸運數(shù)字為3的概率；(2)若k1，則你的得分為6分；若k2，則你的得分為4分；若k3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字，則記0分，求得分的分布列解(1)設(shè)“連續(xù)拋擲3次骰子，和為6”為事件a，則它包含事件a1，a2，a3，其中a1：三次恰好均為2；a

4、2：三次中恰好1,2,3各一次；a3：三次中有兩次均為1，一次為4.a1，a2，a3為互斥事件，則p(a)p(a1)p(a2)p(a3)c()3c··c··c·c()2·.(2)由已知得的可能取值為6,4,2,0，p(6)，p(4)()22×c××，p(2)，p(0)1.故的分布列為6420p思維升華求離散型隨機變量x的分布列的步驟：(1)理解x的意義，寫出x可能取的全部值；(2)求x取每個值的概率；(3)寫出x的分布列求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原

5、理、古典概型等知識袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量，則p(6)_.答案解析p(6)p(取到3只紅球1只黑球)p(取到4只紅球).題型三離散型隨機變量的均值與方差例3在2016年全國高校自主招生考試中，某高校設(shè)計了一個面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立回答全部問題規(guī)定：至少正確回答其中2題的便可通過已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答；且每題正確回答與否互不影響寫出甲考生正確回答題數(shù)的分布列，并計算其均值和方差解(1)甲正確回答的題目數(shù)可取1,2,3.p(1)，p(2)，p(3).

6、故其分布列為123pe()1×2×3×2.d()(21)2×(22)2×(23)2×.思維升華求離散型隨機變量的均值與方差可依題設(shè)條件求出離散型隨機變量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解某班舉行了一次“心有靈犀”的活動，教師把一張寫有成語的紙條出示給a組的某個同學，這個同學再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學若小組內(nèi)同學甲猜對成語的概率是0.4，同學乙猜對成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和x(單位：分)的均值為()a0.9 b0.8 c1.2 d1.1答案a解析由題意得x0,

7、1,2，則p(x0)0.6×0.50.3，p(x1)0.4×0.50.6×0.50.5，p(x2)0.4×0.50.2，e(x)1×0.52×0.20.9.第3課時階段重難點梳理1離散型隨機變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母x，y，表示，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量2離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機變量x可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，x取每一個值xi(i1,2，n)的概率p(xxi)pi，則表xx1x2xixnpp1p2pipn稱為離散型隨機變量x的概率分布列，

8、簡稱為x的分布列，有時也用等式p(xxi)pi，i1,2，n表示x的分布列(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)pi0，i1,2，n；i1.3離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量x的分布列為xx1x2xixnpp1p2pipn(1)均值稱e(x)x1p1x2p2xipixnpn為隨機變量x的均值或數(shù)學期望它反映了離散型隨機變量取值的平均水平(2)方差稱d(x)(xie(x)2pi為隨機變量x的方差，它刻畫了隨機變量x與其均值e(x)的平均偏離程度，并稱其算術(shù)平方根為隨機變量x的標準差4均值與方差的性質(zhì)(1)e(axb)ae(x)b.(2)d(axb)a2d(x)(a，b為常數(shù))重點題

9、型訓練典例某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列錯解展示現(xiàn)場糾錯解p(1)0.9，p(2)0.1×0.90.09，p(3)0.1×0.1×0.90.009，p(4)0.13×0.90.000 9，p(5)0.140.000 1.的分布列為12345p0.90.090.0090.000 90.000 1糾錯心得(1)隨機變量的分布列，要弄清變量的取值，還要清楚變量的每個取值對應(yīng)的事件及其概率(2)驗證隨機變量的概率和是否為1.1拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點數(shù)之和為x，那么x4表示的事件是()a

10、一顆是3點，一顆是1點b兩顆都是2點c甲是3點，乙是1點或甲是1點，乙是3點或兩顆都是2點d以上答案都不對答案c解析根據(jù)拋擲兩顆骰子的試驗結(jié)果可知，c正確2設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量x去描述1次試驗的成功次數(shù)，則p(x0)等于()a0 b. c. d.答案c解析設(shè)x的分布列為x01pp2p即“x0”表示試驗失敗，“x1”表示試驗成功，由p2p1，得p，故選c.3設(shè)隨機變量的分布列為p(k)(k2,4,6,8,10)，則d()等于()a8 b5c10 d12答案a解析e()(246810)6，d()(4)2(2)20222428.4隨機變量的分布列如圖所示，其中a，b，c成等差

11、數(shù)列，若e()，則d()_.-101pabc答案解析由分布列的性質(zhì)可得abc1，由期望公式可得，(1)×a0×b1×c，由等差數(shù)列知，ac2b，綜上，解得a，b，c.代入方差計算公式即可得結(jié)果作業(yè)布置1某射手射擊所得環(huán)數(shù)x的分布列為x45678910p0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為()a0.28 b0.88 c0.79 d0.51答案c解析根據(jù)x的分布列知，所求概率為0.280.290.220.79.2設(shè)x是一個離散型隨機變量，其分布列為x101p12qq2則q等于()a1 b1± c1

12、 d1答案c解析由題意知即解得q1.3從裝有3個白球，4個紅球的箱子中，隨機取出3個球，則恰好是2個白球，1個紅球的概率是()a. b. c. d.答案c解析如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布問題，故所求概率為p.4一只袋內(nèi)裝有m個白球，nm個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設(shè)此時取出了x個白球，下列概率等于的是()ap(x3) bp(x2)cp(x3) dp(x2)答案d解析由超幾何分布知p(x2).5一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目x的均值為()a2.44 b3.376c2.37

13、6 d2.4答案c解析x的所有可能取值為3,2,1,0，其分布列為x3210p0.60.240.0960.064e(x)3×0.62×0.241×0.0960×0.0642.376.6袋中裝有大小完全相同，標號分別為1,2,3，9的九個球現(xiàn)從袋中隨機取出3個球設(shè)為這3個球的標號相鄰的組數(shù)(例如：若取出球的標號為3,4,5，則有兩組相鄰的標號3,4和4,5，此時的值是2)，則隨機變量的均值e()為()a. b.c. d.答案d解析依題意得，的所有可能取值是0,1,2.且p(0)，p(1)，p(2)，因此e()0×1×2×.7甲

14、、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規(guī)定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得1分)；若x是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數(shù)高者勝)，則x的所有可能取值是_答案1,0,1,2,3解析x1，甲搶到一題但答錯了，而乙搶到了兩個題目都答錯了，x0，甲沒搶到題，乙搶到題目答錯至少2個題或甲搶到2題，但答時一對一錯，而乙答錯一個題目，x1，甲搶到1題且答對，乙搶到2題且至少答錯1題或甲搶到3題，且1錯2對，x2，甲搶到2題均答對，x3，甲搶到3題均答對8設(shè)離散型隨機變量x的分布列為x01234p0.20.10.10.3m若隨機變量y|

15、x2|，則p(y2)_.答案0.5解析由分布列的性質(zhì)，知020.10.10.3m1，m0.3.由y2，即|x2|2，得x4或x0，p(y2)p(x4或x0)p(x4)p(x0)0.30.20.5.9已知隨機變量的分布列為p(k)，k1,2,3，n，則p(2<5)_.答案解析p(2<5)p(3)p(4)p(5).10兩封信隨機投入a，b，c三個空郵箱，則a郵箱的信件數(shù)的均值e()_.答案解析兩封信投入a，b，c三個空郵箱，投法種數(shù)是329，a中沒有信的投法種數(shù)是2×24，概率為，a中僅有一封信的投法種數(shù)是c×24，概率為，a中有兩封信的投法種數(shù)是1，概率為，故a郵

16、箱的信件數(shù)的均值e()×0×1×2.11一射擊測試中每人射擊三次，每擊中目標一次記10分，沒有擊中記0分某人每次擊中目標的概率為，則此人得分的均值與方差分別為_，_.答案20解析記此人三次射擊擊中目標次數(shù)為x，得分為y，則xb(3，)，y10x，e(y)10e(x)10×3×20，d(y)100d(x)100×3××.12一個袋子中裝有6個紅球和4個白球，假設(shè)每一個球被摸到的可能性是相等的從袋子中摸出2個球，其中白球的個數(shù)為x，則x的均值是_答案解析根據(jù)題意知x0,1,2，而p(x0)；p(x1)；p(x2).故e(x)0×1×2×.*13.某高校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了n位校友(n>8且nn*)，其中女校友6位，組委會對這n位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機從中選出2位校友代表