2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第3節(jié) 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值 教案

1、第三節(jié)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值最新考綱1.了解函數(shù)在某點取得的極值的必要條件和充分條件.2.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.1.函數(shù)的極值函數(shù)yf（x）在點xa的函數(shù)值f（a）比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f（a）0，而且在點xa附近的左側(cè)f（x）0，右側(cè)f（x）0，則點a叫做函數(shù)yf（x）的極小值點，f（a）叫做函數(shù)yf（x）的極小值.函數(shù)yf（x）在點xb的函數(shù)值f（b）比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，f（b）0，而且在點xb附近的左側(cè)f（x）0，右側(cè)f（x）0，則點b叫做函

2、數(shù)yf（x）的極大值點，f（b）叫做函數(shù)yf（x）的極大值.極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.2.函數(shù)的最值（1）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f（x）在a，b上必有最大值與最小值.（2）若函數(shù)f（x）在a，b上單調(diào)遞增，則f（a）為函數(shù)的最小值，f（b）為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f（x）在a，b上單調(diào)遞減，則f（a）為函數(shù)的最大值，f（b）為函數(shù)的最小值.1.若函數(shù)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值點只有一個，則相應(yīng)極值點為函數(shù)的最值點.2.若函數(shù)在閉區(qū)間a，b的最值點不是端點，則最值點亦為極值點.一、思考辨析（正確的打“”，錯誤的打“×”）（1）函數(shù)的極大值不一定比極小值

3、大.（）（2）對可導(dǎo)函數(shù)f（x），f（x0）0是x0點為極值點的充要條件.（）（3）函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.（）（4）開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.（）答案（1）（2）×（3）×（4）二、教材改編1.函數(shù)f（x）的定義域為r，導(dǎo)函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）（）a.無極大值點、有四個極小值點b.有三個極大值點、一個極小值點c.有兩個極大值點、兩個極小值點d.有四個極大值點、無極小值點c設(shè)f（x）的圖象與x軸的4個交點從左至右依次為x1，x2，x3，x4.當(dāng)xx1時，f（x）0，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x1xx2時，f（x）0，f（x）為減函數(shù)，則xx1為極大

4、值點，同理，xx3為極大值點，xx2，xx4為極小值點，故選c.2.設(shè)函數(shù)f（x）ln x，則（）a.x為f（x）的極大值點b.x為f（x）的極小值點c.x2為f（x）的極大值點d.x2為f（x）的極小值點df（x）（x0），當(dāng)0x2時，f（x）0，當(dāng)x2時，f（x）0，所以x2為f（x）的極小值點.3.函數(shù)yxex的最小值是.因為yxex，所以yexxex（1x）ex.當(dāng)x1時，y0；當(dāng)x1時，y0，所以當(dāng)x1時函數(shù)取得最小值，且ymin.4.函數(shù)f（x）xaln x（a0）的極小值為.aaln a因為f（x）xaln x（a0），所以f（x）的定義域為（0，），f（x）1（a0），由f（x

5、）0，解得xa.當(dāng)x（0，a）時，f（x）0；當(dāng)x（a，）時，f（x）0，所以函數(shù)f（x）在xa處取得極小值，且極小值為f（a）aaln a.考點1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值的情況設(shè)函數(shù)f（x）在r上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f（x），且函數(shù)y（1x）f（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）a.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（1）b.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（1）c.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（2）d.函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（2）d由題圖可知，當(dāng)x2時，f（x）0；當(dāng)2x1時，f（x）

6、0；當(dāng)1x2時，f（x）0；當(dāng)x2時，f（x）0.由此可以得到函數(shù)f（x）在x2處取得極大值，在x2處取得極小值.可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)一定為零，是否為極值點以及是極大值點還是極小值點要看在極值點左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號.求已知函數(shù)的極值已知函數(shù)f（x）（x2）（exax），當(dāng)a0時，討論f（x）的極值情況.解f（x）（exax）（x2）（exa）（x1）（ex2a），a0，由f（x）0得x1或xln 2a.當(dāng)a時，f（x）（x1）（exe）0，f（x）在r上單調(diào)遞增，故f（x）無極值.當(dāng)0a時，ln 2a1，當(dāng)x變化時，f（x），f（x）的變化情況如下表：x（，ln 2a）ln 2a（ln 2

7、a,1）1（1，）f（x）00f（x）極大值極小值故f（x）有極大值f（ln 2a）a（ln 2a2）2，極小值f（1）ae.當(dāng)a時，ln 2a1，當(dāng)x變化時，f（x），f（x）的變化情況如下表：x（，1）1（1，ln 2a）ln 2a（ln 2a，）f（x）00f（x）極大值極小值故f（x）有極大值f（1）ae，極小值f（ln 2a）a（ln 2a2）2.綜上，當(dāng)0a時，f（x）有極大值a（ln 2a2）2，極小值ae；當(dāng)a時，f（x）無極值；當(dāng)a時，f（x）有極大值ae，極小值a（ln 2a2）2.求函數(shù)極值的一般步驟（1）先求函數(shù)f（x）的定義域，再求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù).（2）求f（x

8、）0的根.（3）判斷在f（x）0的根的左、右兩側(cè)f（x）的符號，確定極值點.（4）求出具體極值.教師備選例題設(shè)函數(shù)f（x）ln（x1）a（x2x），其中ar.討論函數(shù)f（x）極值點的個數(shù)，并說明理由.解f（x）a（2x1）（x1）.令g（x）2ax2axa1，x（1，）.當(dāng)a0時，g（x）1，此時f（x）0，函數(shù)f（x）在（1，）上單調(diào)遞增，無極值點.當(dāng)a0時，a28a（1a）a（9a8）.a.當(dāng)0a時，0，g（x）0，f（x）0.函數(shù)f（x）在（1，）上單調(diào)遞增，無極值點.b.當(dāng)a時，0，設(shè)方程2ax2axa10的兩根為x1，x2（x1x2），因為x1x2，所以x1，x2.由g（1）10，可

9、得1x1.所以當(dāng)x（1，x1）時，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x（x1，x2）時，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x（x2，）時，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增.因此函數(shù)有兩個極值點.當(dāng)a0時，0，由g（1）10，可得x11x2.當(dāng)x（1，x2）時，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x（x2，）時，g（x）0，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.所以函數(shù)有一個極值點.綜上所述，當(dāng)a0時，函數(shù)f（x）有一個極值點；當(dāng)0a時，函數(shù)f（x）無極值點；當(dāng)a時，函數(shù)f（x）有兩個極值點.已知函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍（1）已知f（x）x33ax

10、2bxa2在x1時有極值0，則ab.（2）若函數(shù)f（x）x2x1在區(qū)間上有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是.（1）7（2）（1）由題意得f（x）3x26axb，則解得或經(jīng)檢驗當(dāng)a1，b3時，函數(shù)f（x）在x1處無法取得極值，而a2，b9滿足題意，故ab7.（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間上有極值點等價于f（x）0有2個不相等的實根且在內(nèi)有根，由f（x）0有2個不相等的實根，得a2或a2.由f（x）0在內(nèi)有根，得ax在內(nèi)有解，又x2，），所以2a，綜上，a的取值范圍是.已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的2個要領(lǐng)（1）列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.（2）驗證：因為某點處的導(dǎo)

11、數(shù)值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性.教師備選例題若函數(shù)f（x）exaln x2ax1在（0，）上恰有兩個極值點，則a的取值范圍為（）a.（e2，e）b.c. d.（，e）df（x）ex2a，（x0）由f（x）0得a.令g（x）（x0）.由題意可知g（x）a在（0，）上恰有兩個零點.又g（x）（x0），由g（x）0得0x1，且x.由g（x）0得x1.函數(shù)g（x）在，上遞增，在（1，）上遞減.又g（0）0，g（1）e，結(jié)合圖形（圖略）可知a（，e），故選d.1.若x2是函數(shù)f（x）（x2ax1）ex1的極值點，則f（x）的極小值為（）a.1b.2e3c

12、.5e3 d.1a因為f（x）（x2ax1）ex1，所以f（x）（2xa）ex1（x2ax1）ex1x2（a2）xa1ex1.因為x2是函數(shù)f（x）（x2ax1）ex1的極值點，所以2是x2（a2）xa10的根，所以a1，f（x）（x2x2）ex1（x2）（x1）ex1.令f（x）0，解得x2或x1，令f（x）0，解得2x1，所以f（x）在（，2）上單調(diào)遞增，在（2,1）上單調(diào)遞減，在（1，）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時，f（x）取得極小值，且f（x）極小值f（1）1.2.已知函數(shù)f（x）x（xc）2在x2處有極小值，則實數(shù)c的值為（）a.6 b.2c.2或6 d.0b由f（2）0可得c2或6.當(dāng)

13、c2時，結(jié)合圖象（圖略）可知函數(shù)先增后減再增，在x2處取得極小值；當(dāng)c6時，結(jié)合圖象（圖略）可知，函數(shù)在x2處取得極大值.故選b.3.（2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測）若函數(shù)f（x）（x2ax3）ex在（0，）內(nèi)有且僅有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）a.（，2 b.（，2）c.（，3 d.（，3）cf（x）（2xa）ex（x2ax3）exx2（a2）xa3ex，令g（x）x2（a2）xa3.由題意知，g（x）在（0，）內(nèi)先減后增或先增后減，結(jié)合函數(shù)g（x）的圖象特征知，或解得a3.故選c.考點2用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值求函數(shù)f（x）在a，b上的最大值、最小值的步驟（1）求函數(shù)在（a，b）內(nèi)

14、的極值.（2）求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f（a），f（b）.（3）將函數(shù)f（x）的極值與f（a），f（b）比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值.（2019·全國卷）已知函數(shù)f（x）2x3ax2b.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間0,1的最小值為1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由.解（1）f（x）6x22ax2x（3xa）.令f（x）0，得x0或x.若a0，則當(dāng)x（，0）時，f（x）0；當(dāng)x時，f（x）0.故f（x）在（，0），單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.若a0，f（x）在（，）單調(diào)遞增.若a0，則當(dāng)x（0，）時，f（x）0；

15、當(dāng)x時，f（x）0.故f（x）在，（0，）單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）滿足題設(shè)條件的a，b存在.（）當(dāng)a0時，由（1）知，f（x）在0,1單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間0,1的最小值為f（0）b，最大值為f（1）2ab.此時a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b1，2ab1，即a0，b1.（）當(dāng)a3時，由（1）知，f（x）在0,1單調(diào)遞減，所以f（x）在區(qū)間0,1的最大值為f（0）b，最小值為f（1）2ab.此時a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2ab1，b1，即a4，b1.（）當(dāng)0a3時，由（1）知，f（x）在0,1的最小值為fb，最大值為b或2ab.若b1，b1，則a3，與0a3矛盾.若b1,2ab1，則a3

16、或a3或a0，與0a3矛盾.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a0，b1或a4，b1時，f（x）在0,1的最小值為1，最大值為1.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性時，一要注意函數(shù)的定義域；二要注意分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏.（2）對于探索性問題，求出參數(shù)值后要注意檢驗.教師備選例題已知函數(shù)f（x）ln xax（ar）.（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a0時，求函數(shù)f（x）在1,2上的最小值.解（1）f（x）a（x0），當(dāng)a0時，f（x）a0，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，）.當(dāng)a0時，令f（x）a0，可得x，當(dāng)0x時，f（x）0；當(dāng)x時，f（x）0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上可知，當(dāng)a

17、0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，）；當(dāng)a0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)01，即a1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，所以f（x）的最小值是f（2）ln 22a.當(dāng)2，即0a時，函數(shù)f（x）在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，所以f（x）的最小值是f（1）a.當(dāng)12，即a1時，函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).又f（2）f（1）ln 2a，所以當(dāng)aln 2時，最小值是f（1）a；當(dāng)ln 2a1時，最小值為f（2）ln 22a.綜上可知，當(dāng)0aln 2時，函數(shù)f（x）的最小值是f（1）a；當(dāng)aln 2時，函數(shù)f（x）的最小值是f（2）ln 22a.（2019&

18、#183;鄭州模擬）已知函數(shù)f（x）kln x，k，求函數(shù)f（x）在上的最大值和最小值.解f（x）.若k0，則f（x）在上恒有f（x）0，所以f（x）在上單調(diào)遞減.若k0，則f（x）.（）若k0，則在上恒有0.所以f（x）在上單調(diào)遞減，（）若k0，由k，得e，則x0在上恒成立，所以0，所以f（x）在，e上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)k時，f（x）在上單調(diào)遞減，所以f（x）minf（e）k1，f（x）maxfek1.考點3利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟（1）分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f（x）.（2）求函數(shù)的

19、導(dǎo)數(shù)f（x），解方程f（x）0.（3）比較函數(shù)在區(qū)間端點和f（x）0的點的函數(shù)值的大小，最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲?（4）回歸實際問題，結(jié)合實際問題作答.某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關(guān)系式y(tǒng)10（x6）2，其中3x6，a為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.（1）求a的值；（2）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解（1）因為當(dāng)x5時，y11，所以1011，解得a2.（2）由（1）可知，該商品每日的銷售量為y10（x6）2.所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f（x）（x3）210（x3）（x6）2,3x6.則f（x）10（x6）22（x3）（x6）30（x4）（x6）.于是，當(dāng)x變化時，f（x），f（x）的變化情況如下表：x（3,4）4（4,6）f（x）0f（x）極大值42由上表可得，當(dāng)x4時，函數(shù)f（x）取得極大值，也是最大值.所以，當(dāng)x4時，函數(shù)f（x）取得最大