2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第10節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用 教案 (2)

1、第十節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用最新考綱1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用1常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：ykxb(k0)(2)反比例函數(shù)模型：yb(k，b為常數(shù)且k0)(3)二次函數(shù)模型：yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)(4)指數(shù)函數(shù)模型：ya·bxc(a，b，c為常數(shù)，b0，b1，a0)(5)對數(shù)函數(shù)模型：ymlogaxn(m，n，a為常數(shù)，a0，a1，m0)(6)冪函數(shù)模型：ya·x

2、nb(a0)2三種函數(shù)模型之間增長速度的比較函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢因n而異圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)xx0時，有l(wèi)ogaxxnax3.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題

3、形如f(x)x(a0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(，和，)內(nèi)單調(diào)遞增，在，0)和(0，上單調(diào)遞減(2)當(dāng)x0時，x時取最小值2，當(dāng)x0時，x時取最大值2.一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y2x與函數(shù)yx2的圖象有且只有兩個公共點()(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時，恒有h(x)f(x)g(x)()答案(1)×(2)×(3)×(4)二、教材改編1某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示，則下

4、列說法中錯誤的是()(注：結(jié)余收入支出)a收入最高值與收入最低值的比是31b結(jié)余最高的月份是7月c1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同d前6個月的平均收入為40萬元d由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是31，故a正確；由題圖可知，7月份的結(jié)余最高，為802060(萬元)，故b正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故c正確；由題圖可知，前6個月的平均收入為×(406030305060)45(萬元)，故d錯誤2在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)如下表：x0.500.992.013.98y0.99

5、0.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數(shù)是()ay2xbyx21cy2x2 dylog2 xd根據(jù)x0.50，y0.99，代入計算，可以排除a；根據(jù)x2.01，y0.98，代入計算，可以排除b，c；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)ylog2x，可知滿足題意，故選d.3生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為c(x)x22x20(萬元)一萬件售價為20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為 萬件18利潤l(x)20xc(x)(x18)2142，當(dāng)x18時，l(x)有最大值4用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則

6、隔墻的長度為 3設(shè)隔墻的長度為x(0x6)，矩形面積為y，則yx×2x(6x)2(x3)218，當(dāng)x3時，y最大考點1用函數(shù)圖象刻畫變化過程判斷函數(shù)圖象與實際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象(2)驗證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案1.(2019·遵義模擬)如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若p處有一棵樹與兩墻的距離分別是4 m和a m(0a12)不考慮樹的粗細，現(xiàn)用

7、16 m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃abcd，設(shè)此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)uf(a)(單位：m2)的圖象大致是()abc db設(shè)ad的長為x m，則cd的長為(16x)m，則矩形abcd的面積為x(16x)m2.因為要將點p圍在矩形abcd內(nèi)，所以ax12.當(dāng)0a8時，當(dāng)且僅當(dāng)x8時，u64；當(dāng)8a12時，ua(16a)畫出函數(shù)圖象可得其形狀與b選項接近，故選b.2有一個盛水的容器，由懸在它的上空的一條水管均勻地注水，最后把容器注滿，在注水過程中時間t與水面高度y之間的關(guān)系如圖所示若圖中pq為一線段，則與之對應(yīng)的容器的形狀是()ab cdb由函數(shù)圖象可判斷

8、出該容器必定有不同規(guī)則的形狀，且函數(shù)圖象的變化先慢后快，所以容器下邊粗，上邊細再由pq為線段，知這一段是均勻變化的，所以容器上端必是直的一段，故排除a，c，d，選b.3汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況下列敘述中正確的是()a消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米b以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多c甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油d某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油d根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項a錯；以相同速度行駛時，甲

9、車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項b錯；甲車以80千米/小時的速度行駛時燃油效率為10千米/升，行駛1小時，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項c錯；最高限速80千米/小時，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項d對準(zhǔn)確掌握常見函數(shù)模型圖象的變化趨勢是解決此類問題的關(guān)鍵考點2應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實際問題求解所給函數(shù)模型解決實際問題的三個關(guān)注點(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)(3)利用該模型求解實際問題小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)

10、某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本為w(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，w(x)x2x(萬元)在年產(chǎn)量不小于8萬件時，w(x)6x38(萬元)每件產(chǎn)品售價為5元通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完(1)寫出年利潤l(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤年銷售收入固定成本流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？解(1)因為每件商品售價為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，依題意得，當(dāng)0x8時，l(x)5x3x24x3；當(dāng)x8時，l(x)5x335.所以l(x)(2)當(dāng)0x8時，l(x

11、)(x6)29.此時，當(dāng)x6時，l(x)取得最大值l(6)9萬元，當(dāng)x8時，l(x)35352352015，此時，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x10時，l(x)取得最大值15萬元因為915，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元解決實際問題時，應(yīng)注意自變量的取值范圍，如本例中x(0，)一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底部一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為yaebt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過 min，容器中的沙子只有開始時的八分之一16當(dāng)t0時，ya，當(dāng)t8時，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有開始時

12、的八分之一時，即yaeb ta，eb t(e8 b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過16 min.考點3構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟構(gòu)造二次函數(shù)、分段函數(shù)模型國慶期間，某旅行社組團去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團人數(shù)在30或30以下，飛機票每張收費900元；若每團人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75為止每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15 000元(1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？解(1)設(shè)每團人數(shù)為x，由題意得0x75(xn*)，飛機票價格為y元，則y即y(2)設(shè)旅行社獲利s元，則s

13、即s因為s900x15 000在區(qū)間(0,30上為增函數(shù)，故當(dāng)x30時，s取最大值12 000.又s10(x60)221 000，x(30,75，所以當(dāng)x60時，s取得最大值21 000.故當(dāng)x60時，旅行社可獲得最大利潤解題過程謹防兩種失誤(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性等解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(2)求分段函數(shù)的最值時，應(yīng)先求出每一段上的最值，然后比較大小得解構(gòu)造yx(a0)模型某養(yǎng)殖場需定期購買飼料，已知該養(yǎng)殖場每天需要飼料200千克，每千克飼料的價格為1.8元，飼料的保管費與其他費用平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元求該養(yǎng)殖場

14、多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少解設(shè)該養(yǎng)殖場x(xn*)天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y元因為飼料的保管費與其他費用每天比前一天少200×0.036(元)，所以x天飼料的保管費與其他費用共是6(x1)6(x2)6(3x23x)(元)從而有y(3x23x300)200×1.83x3572357417，當(dāng)且僅當(dāng)3x，即x10時，y有最小值故該養(yǎng)殖場10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少利用模型f(x)ax求解最值時，要注意自變量的取值范圍及取得最值時等號成立的條件構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型(1)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率

15、約是(參考數(shù)據(jù)lg 20.301 0,100.007 51.017)()a1.5%b1.6%c1.7% d1.8%(2)十三屆全國人大一次會議政府工作報告指出：過去五年來，我國經(jīng)濟實力躍上新臺階國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增加到82.7萬億元，年均增長7.1%，占世界經(jīng)濟比重從11.4%提高到15%左右，對世界經(jīng)濟增長貢獻率超過30%,2018年發(fā)展的預(yù)期目標(biāo)是國內(nèi)生產(chǎn)總值增長6.5%左右如果從2018年開始，以后每年的國內(nèi)生產(chǎn)總值都按6.5%的增長率增長，那么2020年的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為(提示：1.06531.208)()a93.8萬億元 b99.9萬億元c97萬億元 d106.39萬億元(1)

16、c(2)b(1)設(shè)每年人口平均增長率為x，則(1x)402，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40lg(1x)lg 2，所以lg(1x)0.007 5，所以100.007 51x，得1x1.017，所以x1.7%.故選c.(2)由題意可知，2020年我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為：82.7×(16.5%)399.9(萬億元)故選b.(1)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型有關(guān)的實際問題，在求解時，要先學(xué)會合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型(底數(shù)大于1)是增長速度越來越快的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型(2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助

17、函數(shù)的圖象求解最值問題，必要時可借助導(dǎo)數(shù)1.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求雜質(zhì)含量不超過0.1%，若初時含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少，至少應(yīng)過濾 次才能達到市場要求(已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)8設(shè)至少過濾n次才能達到市場要求，則2%0.1%，即，所以nlg 1lg 2，所以n7.39，所以n8.2某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分)(