產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的相似理論及相似設(shè)計(jì)方法

1、3相似理論及相似設(shè)計(jì)方法對(duì)應(yīng)論方法曾是一種古典的理論，近代發(fā)展為相似理論，現(xiàn)代又發(fā)展為對(duì)應(yīng) 論方法學(xué)，其屮與工程技術(shù)的設(shè)計(jì)和分析直接相關(guān)的是相似設(shè)計(jì)和模擬技術(shù)。而 仿真則是模擬技術(shù)的高級(jí)階段與數(shù)字計(jì)算。3.1相似理論3.1.1相似概念相似是指表述一組物理現(xiàn)象的所冇物理量在空間相對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)和在時(shí)間上 各對(duì)應(yīng)的瞬間，各自互成一定的比例關(guān)系，并且被約束在一定的數(shù)學(xué)關(guān)系z(mì)屮。 其屮各物理量的相似主要有幾何相似、時(shí)間相似、運(yùn)動(dòng)相似、動(dòng)力相似、邊界條 件的相似和其他物理參數(shù)的相似等。3.1.1.1幾何相似相似系統(tǒng)小，任何對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)z比為常數(shù)，稱(chēng)為幾何相似，即應(yīng)滿(mǎn)足：z7? = c厶(31)也就是兩現(xiàn)象中

2、，任意相對(duì)應(yīng)線性尺寸之比恒相等，任意兩條對(duì)應(yīng)直線間的 夾角保持不變。3.1.1.2時(shí)間相似吋間相似是指兩現(xiàn)象對(duì)應(yīng)的吋間間隔成比例?；蛘哒f(shuō)，兩系統(tǒng)的相應(yīng)點(diǎn)或者 對(duì)應(yīng)部分沿著幾何相似的路程運(yùn)動(dòng)達(dá)到另一個(gè)對(duì)應(yīng)的位置時(shí)，所需的時(shí)間比例是 一個(gè)常數(shù)。如圖所示，有：(3-2)3.1.1.3運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似是指速度或加速度場(chǎng)的幾何相似，即相似系統(tǒng)的各對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)吋刻上速度或加速度的方向一致，大小互成比例。如圖32所示，有：(3-3)3.1.1.4動(dòng)力相似動(dòng)力相似是指力場(chǎng)的幾何相似，即相似系統(tǒng)的齊對(duì)應(yīng)點(diǎn)處對(duì)應(yīng)時(shí)刻的作用力(廣義)的方向一致，大小互成比例，即有：皆=cf(34)3.1.1.5溫度相似溫度相似是指

3、溫度場(chǎng)的幾何相似，表現(xiàn)為相似系統(tǒng)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)處對(duì)應(yīng)吋刻的溫 度成比例，即有：t話(huà)cy(35)其他物理參數(shù)的相似定義表述形式相同。常數(shù)cl、cr、c八0、g等稱(chēng)為相 似常數(shù)。根據(jù)一般的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以得到相似常數(shù)的推論：若試、試和坊、堪是同類(lèi)相似的量,即:則冇竺_寶_笠 u9 u u；(3-6)(3-7)(3-8)式(31)式(35)是相似現(xiàn)象的單值條件?，F(xiàn)象的相似就是通過(guò)各種物理量的 單值相似來(lái)表現(xiàn)的。由丁表示現(xiàn)象特征的各種物理量并不是孤立的，而是處在為 自然規(guī)律所決定的一定的關(guān)系之中，所以各個(gè)相似常數(shù)是相互關(guān)朕的，不能隨意 選擇:亦止因如此，對(duì)某種相似現(xiàn)象，可以用相應(yīng)的幾個(gè)基木參數(shù)的相似來(lái)描述。

4、比如，對(duì)研究力學(xué)性質(zhì)的現(xiàn)象，如果兩系統(tǒng)在幾何學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)上相似, 則其他參量的相似，均可用上述三類(lèi)相似來(lái)描述；它們不能自成范疇，而只能作 為設(shè)計(jì)條件和要求。這些問(wèn)題止是相似理論的研究?jī)?nèi)容z-o3.1.2相似定理相似定理是用來(lái)判斷兩個(gè)現(xiàn)象相似的充分必要條件及其所應(yīng)遵循的法則。相 似定理的作用包括以下三個(gè)方面：相似現(xiàn)象貝有什么性質(zhì)；(2) 個(gè)別現(xiàn)象的研究結(jié)果如何推廣到所有相似的現(xiàn)象中去；(3) 滿(mǎn)足什么條件才能實(shí)現(xiàn)現(xiàn)象相似。弄清楚上述問(wèn)題，才能解答卜列問(wèn)題：(1) 模型試驗(yàn)應(yīng)遵守什么條件；(2) 模型試驗(yàn)需要測(cè)量哪些物理量；(3) 如何整理實(shí)驗(yàn)結(jié)杲，使z推廣到原型等現(xiàn)象中去。而實(shí)現(xiàn)這些冃的的

5、基礎(chǔ)就是相似理論的三個(gè)基本定理，其中第一定理介紹相 似現(xiàn)象的性質(zhì)，也稱(chēng)為相似性質(zhì)；第二定理用來(lái)確定相似準(zhǔn)則的個(gè)數(shù)以及相似結(jié) 果的推廣，亦稱(chēng)為乃定理；第三定理又稱(chēng)為模型化法則，也是相似現(xiàn)象的充耍條 件。3.1.2.1相似第一定理相似第一定理又稱(chēng)相似性質(zhì)，說(shuō)明了相似現(xiàn)象所具有的一些性質(zhì)?，F(xiàn)舉例說(shuō) 明如下：設(shè)有兩個(gè)彼此相似的現(xiàn)象，可用同一個(gè)方程式來(lái)表示。如受偏心拉力的等截 面直桿，軸向拉力為偏心距為厶截面積和抗彎截面模數(shù)分別為f和必則 此桿外側(cè)面的應(yīng)力為：fl p(y = +w f(3-9)對(duì)于第一現(xiàn)象，有：9 p9l9 pf(3-10)對(duì)于第二現(xiàn)象，有：義嚴(yán)"嚴(yán) b ttt99 + e(

6、3-11)若此兩個(gè)現(xiàn)象各個(gè)物理量之間存在如下關(guān)系:b = w r = cppfr = cllfit 二 git r = cpfr (3-12)式中，g、5、j、6和cc分別為應(yīng)力、拉力、偏心距、抗彎截面模數(shù)和 截面積的相似常數(shù)。將式(312)代入式(3口),得：*=込弩+空gcwca wcwca wr cf f,x '若耍使兩個(gè)現(xiàn)象變換吋不破壞原有方程，則必須有5=乎和2=?。現(xiàn)cp令:g二鴉$二烽(314)若兩個(gè)現(xiàn)象相似，必須使:=£pq =比2 = d = 1(3-15)1 cwca 2 cf5 ' 丿 式(3-15)是判定現(xiàn)象相似的條件，稱(chēng)為相似指標(biāo)。該式表明，

7、相似現(xiàn)象屮各 相似常數(shù)具有一定的關(guān)系，使相似指標(biāo)等丁7：將式(3-12)中各式代人式(3-15),可得：phl" _ p' l' p _ p1(3 6) =訴= wra,1去掉上式中各量的上標(biāo)，則可寫(xiě)成一般形式：pjpk = = idemk2 = = idem (3-17)1 wa2 fa上式稱(chēng)為相似判據(jù)(或相似準(zhǔn)則)。從式(3j6)可以看出，對(duì)所有相似的現(xiàn)象， 相似判據(jù)是相同的,為一不變數(shù)。相似準(zhǔn)則的特點(diǎn)是：無(wú)量綱；綜合數(shù)群； 適合無(wú)數(shù)的和似現(xiàn)象。這里應(yīng)注意相似準(zhǔn)則和相似常數(shù)的區(qū)別。這里所說(shuō)相似準(zhǔn)則是不變量，是指 在所有互相相似現(xiàn)象的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)時(shí)刻上這一數(shù)群數(shù)值相

8、等；當(dāng)位置和時(shí)刻改 變時(shí)，這一數(shù)郡的數(shù)值一般是變化的。相似常數(shù)則是指一對(duì)物理現(xiàn)象有關(guān)的物理 量比值在所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)時(shí)刻上保持不變；而對(duì)第三個(gè)與它們相似的現(xiàn)象，這 一比值一般是不同的。相似第一定理可以歸納為：對(duì)于彼此相似的現(xiàn)象，其相似指標(biāo)為1,相似判 據(jù)為一個(gè)不變量。它有如下四個(gè)方面的內(nèi)涵：(1) 相似現(xiàn)象屬同一現(xiàn)象，具有相同形式的方程組。(2) 表征相似現(xiàn)象的一切量，在空間上對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)和時(shí)間上相應(yīng)的瞬間，各 自互成一定的比例。(3) 相似現(xiàn)象的一切量各口互成比例，但由于由這些量組成的方程組是相同 的，所以各相似常數(shù)不是任意的，而是彼此約束，具有一定的關(guān)系，即相似現(xiàn)象 的相似指標(biāo)等于lo相似現(xiàn)

9、象必定具有數(shù)值相同的相似準(zhǔn)則或相似判據(jù)。3.1.2.2相似第二定理相似第二定理主要是說(shuō)明如何確定相似準(zhǔn)則的個(gè)數(shù)的。相似第二定理可以描 述為：某個(gè)現(xiàn)象的物理量總數(shù)為n,量綱獨(dú)立的物理量總數(shù)為k,則該現(xiàn)象相似 準(zhǔn)則的個(gè)數(shù)為n-k.且描述該現(xiàn)象各個(gè)物理量z間的關(guān)系可表示為相似準(zhǔn)則兀i， 兀2，兀譏z間的關(guān)系，即/(眄，兀2 兀(n-k) = 0(3-18)式(3-18)稱(chēng)為準(zhǔn)則關(guān)系式，或盯關(guān)系式。式中的各相似準(zhǔn)則稱(chēng)為兀項(xiàng)。對(duì)于兩個(gè)相似現(xiàn)象，由于在對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)刻上相似準(zhǔn)則兀2,s 的值不變，bp：7t； = tc；(3-19)*2 = 23 = n3保證了式(3 j8)的成立。式(3-19)實(shí)際上反映

10、了模型試驗(yàn)等的設(shè)計(jì)條件，其意義在于：如果把某現(xiàn)象 的結(jié)果整理成式(3-18)所示的關(guān)系形式，則該式叮以推廣到和它相似的所有同糞 現(xiàn)象上去。而在推廣過(guò)程中，并不需要真止列出式(3-18),只要利用式(3-19)的關(guān) 系式。在刀關(guān)系式(3-18)中，k值是代表現(xiàn)象的基本物理量的數(shù)目，從意義上來(lái)講， 它實(shí)際上就代表了同一現(xiàn)象中基木量綱的數(shù)目。除基木物理量z外的所有有量綱 的量，都可稱(chēng)為導(dǎo)出物理量。導(dǎo)出物理量在量綱構(gòu)成上同基木物理量間呈幕函數(shù) 關(guān)系?，F(xiàn)象的物理量除去多數(shù)是帶有量綱的以外，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)一些不帶量綱的量。 對(duì)于這些不帶量綱的物理量，在兀關(guān)系式中要直接作為兀項(xiàng)來(lái)處理。這是因?yàn)椋?這些物理量除

11、了具有無(wú)量綱的特征以外，也往往具有明顯的物理意義。比如摩擦 系數(shù)，它可以理解為摩擦力和止壓力z比，所以它符合無(wú)量綱綜合數(shù)群的要求。 再如角度這樣的無(wú)量綱量，同樣也可以找到這樣的物理依據(jù)。另外，在現(xiàn)象分析時(shí),7t項(xiàng)有自變和因變(導(dǎo)出)之分，因變的兀項(xiàng)可用自 變7c項(xiàng)表示tt= f (71±,兀2 兀n_k) =0(3-20)相似第二定理主要用來(lái)說(shuō)明某一試驗(yàn)結(jié)果如何向相似現(xiàn)象中推廣。相似第二 定理又稱(chēng)為定理。關(guān)于'定理的一般形式及應(yīng)用將在后面討論。3.1.2.3相似第三定理相似第一和第二定理明確了相似現(xiàn)象的性質(zhì)，它們是在假定現(xiàn)象相似的基礎(chǔ) 上導(dǎo)出的，但它們并沒(méi)有給出現(xiàn)象相似的充要

12、條件。相似第三定理則說(shuō)明了現(xiàn)象 滿(mǎn)足什么樣的條件才是相似的。該定理對(duì)于建立新的過(guò)程或新的設(shè)備，即把模型 試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行推廣時(shí)是很重要的。所以又稱(chēng)為模型化法則。相似第三定理指出，現(xiàn)象相似的充耍條件是：(1) 相似的現(xiàn)象都應(yīng)由完全相同的方程組所描述；(2) 相似現(xiàn)象的單值條件也應(yīng)相似;(3) 由單值條件的物理量所組成的相似準(zhǔn)則在數(shù)值上應(yīng)相等，即相似指標(biāo)應(yīng) 等于綜上所述，現(xiàn)象相似條件可表述為：凡同一完整的方程組所描述的同類(lèi)現(xiàn)象, 當(dāng)單值條件相似，口由單值條件的物理量所組成的相似準(zhǔn)則在數(shù)值上相等，則這 些現(xiàn)象就相似。這里的單值條件就是如麗所述的將一個(gè)個(gè)別現(xiàn)象從同類(lèi)現(xiàn)象中區(qū)分出來(lái)，亦 即將現(xiàn)象的通解轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

13、特解的具體條件。單值條件包括幾何條件(或空間條件)、 介質(zhì)條件(或物理?xiàng)l件)、邊界條件和初始條件(或時(shí)間條件)。相似第三定理直接利用代表具體現(xiàn)象的單值條件來(lái)定義現(xiàn)象的相似，顯示了 它科學(xué)上的嚴(yán)密性。但在一些復(fù)雜現(xiàn)象中，很難確定現(xiàn)象的單值條件，僅能憑借 經(jīng)驗(yàn)判斷何為系統(tǒng)的主要參量；或者雖然知道單值量，又很難做到兩現(xiàn)象由單值 量組成的某些相似準(zhǔn)則的數(shù)值上的完全一致。這就造成相似第三定理難以真正實(shí) 行。3.2相似準(zhǔn)則導(dǎo)出相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法主要有兩種：方程分析法和量綱分析法。它們的著手處 不同，做法不同，分析過(guò)程不同，所得相似準(zhǔn)則的形式也可能不一樣，但其實(shí)質(zhì) 是相同的，這說(shuō)明齊準(zhǔn)則形式z間存在著一定的

14、代數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系。下面就這兩種方 法分別予以介紹。3.2.1方程分析法用方程分析法進(jìn)行相似分析的前提是所討論現(xiàn)象的數(shù)理方程為已知，而且任 何止確的物理方程都是量綱和諧的，即方程中的每一項(xiàng)的量綱都是相同的，這是 通過(guò)方程分析能夠?qū)缦嗨茰?zhǔn)則的基礎(chǔ)。用它來(lái)決定相似準(zhǔn)則有兩種方法，即相 似轉(zhuǎn)換法和積分類(lèi)比法。3.2.1.1相似轉(zhuǎn)換法a相似轉(zhuǎn)換法的基本步驟(1) 寫(xiě)出現(xiàn)象的數(shù)理方程；寫(xiě)出全部的單值條件；(3) 寫(xiě)出相似常數(shù)的表達(dá)式；(4) 將相似常數(shù)帶方程組進(jìn)行相似變換，求出相似指標(biāo)方程式，再轉(zhuǎn)換為相 似準(zhǔn)則；(5) 將相似常數(shù)帶單值條件方程，經(jīng)相似變換得相似指標(biāo)方程，并轉(zhuǎn)換為相 似準(zhǔn)則；(6) 將所有求

15、得的相似準(zhǔn)則進(jìn)行分解、組合，向常用的準(zhǔn)則靠攏。b導(dǎo)數(shù)的相似轉(zhuǎn)換在微分方程的相似轉(zhuǎn)換中，涉及到導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)的相似轉(zhuǎn)換問(wèn)題，即求導(dǎo)符 號(hào)的相似轉(zhuǎn)換。設(shè)現(xiàn)象有兩個(gè)同類(lèi)參量yl和y2,若兩現(xiàn)象相似，有： yl_y£_c站一站一 5根據(jù)比例性質(zhì)，必+必_必一必_ w _廠ro yw 一一 矽一 y(3_21)叭尸0 (釜)=器=cy(3-22) dy _必_必_ “心而7 一站一 y< 一 5(323)現(xiàn)把問(wèn)題擴(kuò)大到兩個(gè)相似的物理量y和方有:dy _ y dtdyz yz dt7t:=7（3-24）將兩式相除，得:dy dt y 作”、 應(yīng):百=歹詁(*25)即器第諾說(shuō)討dt dtz上式

16、說(shuō)明，對(duì)兩和似物理現(xiàn)象，在各物理量作和似比較時(shí)，竽和渝效果是樣的，即可以將相似準(zhǔn)則屮的微分符號(hào)直接去除。對(duì)于二階微分，同樣可以推出： = d(%/dld©/dt-¥/t = £(3-27)同樣可證，在相似分析屮f(x)dx和jf(x)dx的效果是一致的。所以當(dāng)方程屮 有積分存在吋，可直接將其屮的積分符號(hào)去掉用被積式來(lái)代替。例3-1針對(duì)“彈簧一質(zhì)量一阻尼”系統(tǒng)，試用模型研究位移y的變換規(guī)律。 解：(1) 寫(xiě)出數(shù)理方程：根據(jù)機(jī)械振動(dòng)的知識(shí)可知，質(zhì)量m的位移的動(dòng)力學(xué)微分 方程為：m器+ 耳篇+ ky = o (3-28a) m第+ /黑+k'y' = o

17、 (3-28b)式中 m質(zhì)量；y質(zhì)量位置坐標(biāo)；n系統(tǒng)阻尼系數(shù)；k彈簧剛度系數(shù)。(2) 寫(xiě)出單值條件，并令兩現(xiàn)象相似，得單值參量相似常數(shù)為:物理?xiàng)l件相似(3-29)邊界條件相似：(3-30)初始條件(t二0, y=yo)相似：(3-31)進(jìn)行相似變換，將相似常數(shù)帶入方程，得到：(3-32)為了保證微分方程的一致性，上述方程中的各項(xiàng)系數(shù)必須彼此相等，即:(3-33)由此可得兩個(gè)獨(dú)立的相似指標(biāo)方程：(3-34)(4)將相似常數(shù)帶人初始條件求相似指標(biāo): 當(dāng)t=0,對(duì)應(yīng)有:經(jīng)過(guò)相似變換有：(3-35)將兩指標(biāo)方程組合，可得與初始條件相關(guān)的指標(biāo)方程：(3-36)將相似常數(shù)帶人相似指標(biāo)方程式，即可得到相似準(zhǔn)

18、則：(3-37)此處為獨(dú)立的相似準(zhǔn)則。本例中還有一個(gè)獨(dú)立的相似準(zhǔn)則，顯然是上，這樣獨(dú)立的4個(gè)相似準(zhǔn)則就可構(gòu)成一個(gè)兀關(guān)系式：(3-38)3.2.1.2積分類(lèi)比法方程分析法中較另外一種常用的、比較簡(jiǎn)便的方法是積分類(lèi)比法，其具體步 驟為：(1)寫(xiě)出物理現(xiàn)象的基本方程(可為微分方程或積分方程的形式)；(2) 用方程的任一項(xiàng)去除方程的其余各項(xiàng)：(3) 將由得到的各項(xiàng)中涉及的導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的量的比值替代、積分用被積式 來(lái)代替。如此得到的公式各項(xiàng)即是相似準(zhǔn)則；相似現(xiàn)象中它們應(yīng)保持不變。(4) 以單值條件補(bǔ)充基木方程的不足，建立新的方程或等式，求出其余的補(bǔ) 充相似準(zhǔn)則。例3-2如彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的基本微分方程為:d2

19、ydt5-用第三項(xiàng)去除其余各項(xiàng)，有:第三頊二m磐砂第二項(xiàng)d,第三頊二叼詈/砂以手替換魯，芳替換乎，去除各項(xiàng)中的微分符號(hào)。得到來(lái)口微分方程的相似 準(zhǔn)則:d(3-39)m 魚(yú)影 i'yjkt =idem 叩警 / kyjz-: idem d本例中確定系統(tǒng)特解的單值條件為： y卜叫。料：。剛。 (3 8,據(jù)此，同樣可得另外兩個(gè)相似準(zhǔn)則：上二 idem vot： idem (3-41)yo y深入研究可以發(fā)現(xiàn)，用此方法建立相似準(zhǔn)則，和由相似第一定理推導(dǎo)相似準(zhǔn) 則在木質(zhì)上是一致的。對(duì)于較為復(fù)雜的物理現(xiàn)象，其微分方程(組)是通過(guò)某些物理量在三個(gè)坐標(biāo) 軸上的分量來(lái)描述的，如果方程和方程之間，或方程的

20、項(xiàng)和項(xiàng)之間出現(xiàn)地位、性 質(zhì)一一對(duì)應(yīng)的方程和項(xiàng)，則在作相似分析時(shí)，可僅保留其一，并且用總量替換其 分量z后用積分類(lèi)比法求解。方程分析法在使用上是方便的，但其前提是有足夠正確的方程和單值條件, 這對(duì)許多問(wèn)題是非常困難的。3.2.2量綱分析法3.2.2.1基本概念當(dāng)描述某一現(xiàn)象的方程(組)暫時(shí)無(wú)法寫(xiě)出時(shí)，可以采用量綱分析法或因次 分析法來(lái)確定相似準(zhǔn)則。所謂量綱就是度量物理量的類(lèi)型，同一類(lèi)型的量具有相同的量綱。我們常用 卜列符號(hào)來(lái)表示各種不同的量綱，如長(zhǎng)度的量綱為：l：,力的量綱為f,時(shí)間的 量綱為t,質(zhì)量的量綱為m等等。在實(shí)際現(xiàn)象中，物理量之間的關(guān)系是遵循一定的自然規(guī)律的。在數(shù)學(xué)上，可 用方程式來(lái)表

21、達(dá)，因此，各量綱z間亦有一定的關(guān)系：如選定一組彼此獨(dú)立量綱 作為基本單位，則其他量綱的單位可由基本單位導(dǎo)出：如選定貢量、時(shí)間和長(zhǎng)度 的量綱為基本單位，則根據(jù)牛頓第二定律，力的量綱單位為ml/t2二由基木單位導(dǎo)出的單位稱(chēng)為導(dǎo)出單位，基木單位不是固定不變的，任何一組 彼此獨(dú)立的并可導(dǎo)出其他單位的單位均可作為基木單位二如對(duì)力學(xué)問(wèn)題，在國(guó)際 si單位制中，把長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間的量綱作為基本單位；而在工程單位制中，則 把長(zhǎng)度、力和時(shí)間的量綱作為基本單位。當(dāng)研兗對(duì)象為靜力問(wèn)題時(shí)，因與時(shí)間無(wú) 關(guān)，故只有兩個(gè)基木單位。但在熱力學(xué)問(wèn)題中，還需增加溫度的量綱為基本單位。 在工程技術(shù)中，常用特征值的量綱如表所示。表3

22、j常用特征值的量綱量綱表示了各物理量的類(lèi)型，因此表示各物理量之間關(guān)系的方程式，其各項(xiàng) 量綱必須是相同的，否則便會(huì)出現(xiàn)如長(zhǎng)度和時(shí)間相加等錯(cuò)謀結(jié)論。這就是作 為量綱分析理論基礎(chǔ)的量綱齊次方程的數(shù)學(xué)理論。根據(jù)這一理論，一個(gè)能完善地、 正確地反映物理過(guò)程的數(shù)學(xué)方程，必定是量綱齊次的。3.2.z.2量綱分析法的作用量綱分析法是以量綱方程為核心，以方程的齊次性為依據(jù)而進(jìn)行的，量綱方 程的真正作用表現(xiàn)在物理方程尚未掌握時(shí)，對(duì)物理現(xiàn)象的分析上。例3-3 -個(gè)自由落體在時(shí)間t內(nèi)落下的距離為s,試寫(xiě)出其一般方程，并以 其為例來(lái)說(shuō)明量綱分析法的四個(gè)作用。(1) 作用4量綱方程能根據(jù)正確選擇的參量建立起帶未知系數(shù)的、

23、供相似分 析用的物理方程。這里最重要的是確定因變量。的影響因素，選時(shí)間£和重力加速度g作為影 響因素,即：，:f(g, f),則物理方程的形式可寫(xiě)：s=co gc 一 £cz( 3-42)式中co 無(wú)量綱待定常數(shù)。將各個(gè)參量的量綱帶入上式得到量綱方程：l=： lt 一二！匚屯根據(jù)量綱齊次原則，上述方程兩端應(yīng)該具有相同的量綱，故：ci =10=c? -2clci =1c2=2則a由落體運(yùn)動(dòng)物理的方程為:5： co gz (3-45)(2) 作用2：可剔除被多余考慮的物理量。若同時(shí)考慮物體重量訓(xùn)與s有關(guān)， 一般的方程改寫(xiě)為：(3-46)(3-47)所引起的。s=co £

24、;qg"3將各個(gè)參量的量綱帶入上式得到量綱方程：l：u lqt屯lt2q根據(jù)量綱齊次原則，上述方程兩端應(yīng)該具有相同的量綱，故：cl +c3 =10=c2 -cl -2c3由于三個(gè)未知量，兩個(gè)方程，無(wú)法求解出貝體的系數(shù)cl、c2、c3將其表示 為:cl =1-c3 c2 =c1 +c3剛a由落體的一般方程為：(3-48)卑跚33/l/lo褲滁姚 弧卻卻刪蝴翟o ?l%q n刪艙玩胸眠叫啡一一聯(lián)嬲一一 o昏膨做一一靴晡-iti-蝴刪妻齊瀚扣別緘哇”、垂拜川酬雕嘲撇粹根斷9刁s設(shè)這聶3相似理論及相似設(shè)計(jì)方法52(3-53)整理得：(3-54)在這個(gè)方程中，由兩個(gè)未知量c二、c,代替了原方程

25、中的四個(gè)未知量ca、cl、c2、c3o 因此,為了確定兩個(gè)待定系數(shù)c。、cj可由兩次實(shí)驗(yàn)確定，根據(jù)試驗(yàn)得到：(3-55)因此，(3-56)3.2.23兀定理的應(yīng)用量綱分析中重要的理論為啊定理。假如一現(xiàn)象中有n個(gè)物理量(戈戈”，戈。)，其關(guān)系方程可以表示為：f(戈，戈：，戈。)二0(3-57)此方程可用級(jí)數(shù)形式表示：yno x7i,諺：磚 n=0(3-58)式中，iv。為無(wú)量綱系數(shù)。因?yàn)榉匠淌奖仨毷橇烤V的齊次方程，因此以其中 任一項(xiàng)ivs戈：“戈；虬一x:sn (s項(xiàng))去除其余各項(xiàng)得無(wú)量綱方程式：1+工等戈：。n-%1)戈 iaa 一 ii & )- asn)=o (3-59)令aij：

26、 aij 一 ii, (j=l, 2,n), t二等,則上式可寫(xiě)成: l+lto 芫 jn 戈筍龍 al 二0(3-60)如杲上式中有m個(gè)互相獨(dú)立的物理量可以作為基本單位，為方便起見(jiàn)設(shè)其為戈戈”，戈。，則戈。+. , z, +:,，戈。為導(dǎo)出單位，可由戈，z:,，z。 導(dǎo)出。這樣，我們可以建立起k二rwn個(gè)無(wú)量綱數(shù)群(將導(dǎo)出單位用基木單位表示)，稱(chēng)為盯項(xiàng)：竹 12bii工，工，：_xb2m (3-61)盯nm戈？ ，t戈；，z戈b m, m以上各式分了和分母的量綱是相同的，因此均為無(wú)量綱項(xiàng)。代入式(3-59), 得：1+工ti_x'4;1x；。石(iv? 11 戈 b2_xb1 “)4

27、 z,m+l (lo 一o) 4m (戈 bn_m,.戈 bn_m.2戈m "，“) 4m=0(3-62)由于戈，z：,，石。為基本單位，彼此無(wú)合并可能，上式又是無(wú)量綱方 程，因此戈戈”，戈。各基木單位的指數(shù)總和應(yīng)當(dāng)為零，女口：蠡7t3.2相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出)xia4+b114, +!l師'： +bn_m.ia=x?=l(3-6所以式(361)可寫(xiě)成：1+sr：竹；一"盯：。. m+：訂：竺。=0(3-6或f(盯 1,盯 2,訂。一o )=0(3-6盯定理可以具體表述如2所有量綱齊次方程均可以化成無(wú)量綱綜合數(shù)群z 和的形j無(wú)量綱數(shù)群'項(xiàng)的個(gè)數(shù)為n ”z,其中n為

28、方程中不同物理量的數(shù)目，m為 彼此獨(dú)立可作基本單位的物理量的數(shù)目二根據(jù)相似第二定理，無(wú)量綱方程的各項(xiàng)為相似判據(jù)，因此，各盯項(xiàng)可作為相 似判據(jù)。個(gè)竹項(xiàng)可建立n-m個(gè)判據(jù)方程二在使用此方法選擇基木物理量時(shí)應(yīng)注意：(1) 基木物理量應(yīng)有量綱，且在同組內(nèi)量綱不得重復(fù)；(2) 所選的一組基本物理量，量綱情況應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單；(3) 不耍把待測(cè)量列為基本物理量。3.2.2.4量綱分析法求相似準(zhǔn)則的基木步驟用量綱分析法求相似準(zhǔn)則的基木步驟如2羅列現(xiàn)象的物理參數(shù)，寫(xiě)出現(xiàn)象的函數(shù)式妒(戈,y, z, m,移，w) =0, 此函數(shù)式只是列求函數(shù)關(guān)系的一種估計(jì)，常寫(xiě)成幕函數(shù)形式；(2) 寫(xiě)成盯關(guān)系項(xiàng)盯二戈“y6z。u4

29、-；(3) 列出戈，y, z, u,。、，訓(xùn)各參數(shù)的基本量綱；(4) 把齊個(gè)物理墨量綱代入開(kāi)關(guān)系項(xiàng)，列出量綱等價(jià)式；(5) 根據(jù)量綱齊次原則，列出物理量指數(shù)間的聯(lián)立方程；(6) 解得n-k個(gè)獨(dú)立的盯項(xiàng)，即相似準(zhǔn)則。例34 物體的運(yùn)動(dòng)符合牛頓第二定理，試求其相似準(zhǔn)則。解：(1) 運(yùn)動(dòng)物體的主要影響參量為f、m、鈔、f,若選擇正確，這參量間存在函 數(shù)關(guān)系：妒(f, m,移，£) =0(3 e(2) 寫(xiě)出盯項(xiàng)表達(dá)式:訂二 fat6m°”8 (3 一g(3) 寫(xiě)出各參數(shù)的基本量綱表達(dá)式：f=mlt-2:t=tm=mv=ijt.l(4) 將各物理量代人盯項(xiàng)式：盯=mlt-2 utlb

30、mo lt 一 “(3(叮 t=m u+"ti6-2a 4l u+4(5) 根據(jù)量綱齊次原則，列出聯(lián)立方程。因?yàn)闇?zhǔn)則項(xiàng)為無(wú)因次量，所以可表示為基本量綱的零次項(xiàng)，所以盯二 "mioltiolo故:a+c=0a+d=02a +b -d =0(3 一(上式有四個(gè)未知量，但僅有三個(gè)方程，設(shè)其中任意一個(gè)未知量為1,令a二i,d= -1> b=l,所以：ft訂一*(3-70)mv若令b=l,或者c=l,均可得一準(zhǔn)則二此處參量為四個(gè)，基本量綱為三個(gè)，故 竹項(xiàng)總數(shù)為nk： 4-3： 1項(xiàng)，則竹：f就為聽(tīng)求的百準(zhǔn)則項(xiàng)。/tu例3-5對(duì)彈簧一質(zhì)量系統(tǒng)，有七個(gè)物理量：七，yo, f, y,

31、 m, r,影。，有 三個(gè)獨(dú)立量綱f,l, to現(xiàn)取七，y。，f為基本物理量，可建立四個(gè)盯項(xiàng)：:l-ll+ 口 11 b 坦盯.2 kbllyel2b.jii=j,bli,ub,o! tib13t。，mfl-lt f卜 8 “t 2-f/23竹 2二b 丐乒萬(wàn)一 flj 瓦:l： e” tib” 一l. 一 e” 鄴 n:fl-, t一£二匕b3ljt.吃， (3-71)曠穰萬(wàn)一面毒良 1： l8nt8” 一 l*b31+b32fnlt" ll+88盯 4 2b 丐弦 t f fl1 面:lb42tib” fb “tib”各竹項(xiàng)均應(yīng)是無(wú)量綱項(xiàng)，因此有：bll=0, bi：

32、=1, b13 =0b 二 1二i, b22=0, b23 =2b3, =1, b32 =0, b33 =1b4, =0, b42=l, b43=-l所以有：v m 型 f3 72、竹，2再,盯:2薩，盯s2號(hào)，可。2,o此即為由量綱分析法導(dǎo)岀的相似判據(jù)二它們和式(339)、式(341)相比形式上 是不同的，其原因可用相似準(zhǔn)則的固有特性來(lái)解釋二可以證明若某一現(xiàn)象有相似準(zhǔn)則百，霄二，tie貝歸(1) 任一相似準(zhǔn)則的指數(shù)幕百。仍為相似準(zhǔn)則；(2) 相似準(zhǔn)則指數(shù)積百"h： 一百？ i (或其局部)仍為相似準(zhǔn)則；(3) 相似準(zhǔn)則間的和差百？ ±百±±開(kāi)：2 (或

33、其局部)仍為相似準(zhǔn)則;(4) 相似準(zhǔn)則與一常數(shù)的和差積商7： ±d, d盯。，xi/ “仍為相似準(zhǔn)則；(5) 相似準(zhǔn)則中某一物理量用其羞值代替仍為相似準(zhǔn)則。女口上i,塵弓為同一 相似準(zhǔn)則。這就是說(shuō)，任意兩個(gè)或多個(gè)相似準(zhǔn)則的代數(shù)轉(zhuǎn)換，如加減乘除，提高或降低 幕次，都不會(huì)改變判據(jù)函數(shù)性質(zhì)。反過(guò)來(lái)，如杲兩關(guān)系式中經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換的盯項(xiàng)仍一 一對(duì)應(yīng)相等，則兩現(xiàn)象相似。其理由很簡(jiǎn)單：(1) 經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換的盯項(xiàng)仍是無(wú)量綱綜合數(shù)群；(2) 對(duì)于木來(lái)就相似的兩個(gè)現(xiàn)象，因變盯項(xiàng)仍同關(guān)系式中原各口變盯項(xiàng)構(gòu)成 函數(shù)關(guān)系。只是要注意，當(dāng)各竹項(xiàng)進(jìn)行代數(shù)轉(zhuǎn)換時(shí)，任盯項(xiàng)幕次的變化都不得使其降 低(或升高)至零；同時(shí)，可項(xiàng)總數(shù)

34、均不得因此種代數(shù)轉(zhuǎn)換増加或減少。由此看來(lái)，上血兩種方法得到的相似判據(jù)形式上的差異，只是各'rr項(xiàng)代數(shù) 轉(zhuǎn)換的結(jié)果二從某種意義上來(lái)說(shuō)，這有利于根據(jù)具體問(wèn)題，通過(guò)基木物理量的選 擇，將rr項(xiàng)發(fā)展成各種形式，使其具有明顯的物理意義：通常，相似準(zhǔn)則轉(zhuǎn)換 應(yīng)服從以下原則：(1) 相似準(zhǔn)則應(yīng)具有明顯的物理意義，并使其物理意義與所研究的現(xiàn)象密切 相關(guān)，例如雷諾準(zhǔn)則r。：超：? 7(2) 通過(guò)代數(shù)轉(zhuǎn)換，去掉相似準(zhǔn)則中無(wú)法測(cè)量或難以測(cè)量的量；將盯關(guān)系式變換成形式最簡(jiǎn)單的一組：(4) 應(yīng)將待測(cè)物理量?jī)H僅出現(xiàn)在因變開(kāi)項(xiàng)內(nèi)；(5) 應(yīng)使相對(duì)次耍的獨(dú)立變量?jī)H僅出現(xiàn)在一個(gè)獨(dú)立的開(kāi)項(xiàng)內(nèi)二量綱分析方法的具體使用是簡(jiǎn)便

35、的，特別是對(duì)方程未知的現(xiàn)象。但它也有其 自身的不足：(1) 量綱分析法的重要一環(huán)是正確地選擇系統(tǒng)的參數(shù)，這就要求選取反映現(xiàn) 象本質(zhì)的重要物理量。但實(shí)際上可能選人一些次要的，或者對(duì)現(xiàn)象來(lái)說(shuō)關(guān)系不大 的物理量；(2) 很難區(qū)別量綱相同、但卻具有不同物理意義的物理量(如壓力、應(yīng)力和 彈性模量等)，從而無(wú)法顯示現(xiàn)象的內(nèi)部結(jié)構(gòu)或辨別主次；(3) 很難控制量綱為零的物理量(如摩擦系數(shù)等)，盡管它們貝右身的物理 意義；(4) 很難發(fā)現(xiàn)在關(guān)系方程中常常遇到的帶有量綱的物理常數(shù)；(5) 無(wú)法確定所求得的相似準(zhǔn)則中哪個(gè)是決定性的，哪個(gè)是從屬的。對(duì)于量綱分析法存在的這些缺點(diǎn)，在實(shí)際使用時(shí)應(yīng)予以注意，妥善處理；但 由

36、于量綱分析法具有許多優(yōu)點(diǎn)，它在各個(gè)工程領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。3.3模型試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮囼?yàn)是相似理論在工程技術(shù)屮的主要應(yīng)用領(lǐng)域之一。許多工程問(wèn)題，由 于其復(fù)雜性，致使難于列出微分方程，即使能夠列出，也可能無(wú)法解出。因而, 單純依靠數(shù)學(xué)方法述不能完全解決問(wèn)題，而直接對(duì)實(shí)物進(jìn)行試驗(yàn)研究由于諸多條 件限制，又很閑難。因此在模型上進(jìn)行?；芯?，仍是口前工程技術(shù)領(lǐng)域屮廣泛 采用的一種試驗(yàn)研究方法。就一般意義上講，?；菍?shí)物(原型)的形態(tài)、工作規(guī)律或信息傳遞規(guī)律在 特定條件下的一種相似再現(xiàn)。模型試驗(yàn)則是指不點(diǎn)接研究自然現(xiàn)象或過(guò)程木身, 而是用和這些現(xiàn)象或過(guò)程和似的模型來(lái)進(jìn)行研究的一種方法。它是用方程分析或 量綱分析

37、方法導(dǎo)出相似準(zhǔn)則，在根據(jù)相似原理建立起來(lái)的模型上，通過(guò)試驗(yàn)求出 相似準(zhǔn)則之間的函數(shù)關(guān)系，再把此函數(shù)關(guān)系推廣到設(shè)備實(shí)物上去，從而得到設(shè)備 上的需求規(guī)律的一種試驗(yàn)方法。一般的模型試驗(yàn)大致包含模型設(shè)計(jì)、模型試驗(yàn)、結(jié)果分析處理和推廣等環(huán)節(jié), 模型設(shè)計(jì)和試驗(yàn)之前，應(yīng)先導(dǎo)出相似準(zhǔn)則，并確定已定準(zhǔn)則和待定準(zhǔn)則，在其指 導(dǎo)下工作3.3.1模型設(shè)計(jì)33.1.1模型的分類(lèi)模型可以分為定量研究用模型和定性研究用模型兩大類(lèi)。a定量研究用模型定量研究用模型有物理模型和數(shù)學(xué)模型兩種：(1) 物理模型一一保持工作規(guī)律相似的模型。此時(shí)模型和原型的區(qū)別只是兒 何尺寸的大小不同，二者屮現(xiàn)象的物理木質(zhì)不變。這種模型試驗(yàn)稱(chēng)為物理模擬

38、試 驗(yàn)。(2) 數(shù)學(xué)模型一一保持信息傳遞規(guī)律和似的模型。此時(shí)模型和原型的兒何形 狀不必要相似，進(jìn)行的現(xiàn)象的過(guò)程木質(zhì)也不相同，但描述過(guò)程的微分方程是相同 的。即用同一類(lèi)方程描述另一種現(xiàn)象來(lái)模擬原型。這種試驗(yàn)稱(chēng)為數(shù)學(xué)模擬試驗(yàn): 例如用模擬機(jī)進(jìn)行的機(jī)械振動(dòng)等模擬試驗(yàn)。b定性分析用簡(jiǎn)易模型對(duì)于實(shí)際屮只需抓住某些主要物理量的試驗(yàn)，可以采用簡(jiǎn)易模型進(jìn)行局部模 擬或近似模擬。這時(shí)沒(méi)有必要使模型和原型完全和似，可對(duì)z進(jìn)行某些簡(jiǎn)化，只 要這些改變不致影響問(wèn)題關(guān)注的參數(shù)，或影響程度是可以接受的：33.1.2模型設(shè)計(jì)模型設(shè)計(jì)就是按各物理量的和似倍數(shù)進(jìn)行模型的結(jié)構(gòu)和物理參數(shù)條件計(jì)算。 這一過(guò)程屮應(yīng)注意的問(wèn)題有：(1)

39、 幾何相應(yīng)倍數(shù)q的選取cl一般不能選得過(guò)大或過(guò)小。q過(guò)大則模型加工 和試驗(yàn)精度要求過(guò)高，試驗(yàn)結(jié)果誤差較大。cl過(guò)小則試驗(yàn)成本增高。(2) 其他物理?xiàng)l件的選取模型的己知各物理參量(邊界條件、材料特性等) 除保持和原型的單值條件相似外，齊相關(guān)物理參數(shù)間還應(yīng)滿(mǎn)足已定相似準(zhǔn)則，以 保證模型和原型的相似。模型材料的選取：1) 模型材料一般應(yīng)在彈性范圍內(nèi)工作，并使e較小，這樣應(yīng)力水平較高，易 于測(cè)量；2) 所選材料加工成型性能良好，便于制作；3) 性能穩(wěn)定，價(jià)格低廉。3.3.2模型試驗(yàn)和推廣3.3.2.1模型試驗(yàn)根據(jù)相似理論，由原型工作要求計(jì)算出模型的轉(zhuǎn)速、載荷、工作溫度等工作 條件。模型的工作條件常用各

40、種方法模擬，有時(shí)需作適當(dāng)簡(jiǎn)化：試驗(yàn)時(shí)，測(cè)定模 型在相應(yīng)工作條件下，與相似準(zhǔn)則有關(guān)的應(yīng)力、應(yīng)變等物理參數(shù)：33.2.2結(jié)果的整理和推廣根據(jù)相似準(zhǔn)則，由試驗(yàn)結(jié)杲可以求得原型上的待定參數(shù)。這些結(jié)杲可以推廣 到和模型相似的各個(gè)原型上去。為便于推廣，可以將試驗(yàn)結(jié)果整理成便于應(yīng)用的相似準(zhǔn)則間的關(guān)系式準(zhǔn)則方程兀2,，兀m) = 0(3-73)對(duì)于所有相似現(xiàn)象，相似準(zhǔn)則(各7r項(xiàng))都保持為相同值，所以它們的準(zhǔn) 則方程式(373)也應(yīng)是相同的。比如，上式可推廣到相似系統(tǒng)的齊個(gè)現(xiàn)象上去， 當(dāng)然其前提條件是式(373)中已定準(zhǔn)則在數(shù)值上各門(mén)相等。3.3.3彈性結(jié)構(gòu)的相似模型試驗(yàn)3.3.3.1彈性結(jié)構(gòu)的相似準(zhǔn)則對(duì)于一

41、個(gè)齊向同性彈性結(jié)構(gòu)的靜力問(wèn)題，微小變形時(shí)，可建立15個(gè)基本方 程和3個(gè)邊界條件；對(duì)于動(dòng)力問(wèn)題還有6個(gè)初始條件。進(jìn)行模型試驗(yàn)時(shí)，可先由它們建立準(zhǔn)則方程。幾何相似系數(shù):g =尹(下標(biāo)p和皿分別表示原型和模型參數(shù))； 應(yīng)力相似系數(shù)心二空：應(yīng)變相似系數(shù)c位移相似系數(shù)c 寸寸二冬 泊松比相似系數(shù)£上;彈性模量相似系數(shù):分布面力相似系數(shù):s沽a由平衡方程求相似準(zhǔn)則人分布體力相似系數(shù):c/二a由平衡方程求相似準(zhǔn)則根據(jù)箸+警+等+ £ = o等三個(gè)平衡方程，得相似指標(biāo)和相似準(zhǔn)則：c1 =話(huà)=1,心=晉=idem (3-74) 如果不計(jì)體積力，由平衡方程無(wú)法得到相似準(zhǔn)則。b由幾何方程求相似準(zhǔn)

42、則幾何方程為5 =豈等六個(gè)方程，可得一個(gè)相似指標(biāo)和一個(gè)相似準(zhǔn)則：(3-75)c2 = 1 ,k2 = ¥ = idemc由物理方程(廣義胡克定律)求相似準(zhǔn)則物理方程色=j(rm -/x(crr +s)等也是六個(gè)，可得兩個(gè)相似指標(biāo)和兩個(gè)相似準(zhǔn)則：小 cgc£c(3-76)k3 = = idem 今位=idem<7fjuad由邊界條件求相似準(zhǔn)則廠 _ 1辰=久=idem 無(wú)面力(面力為零)時(shí)，由應(yīng)力邊界條件無(wú)法獲得相似準(zhǔn)則。位移邊界條件為等三式，由它們所得相似準(zhǔn)則為:務(wù)=嚴(yán)=1,心=£ = idem邊界條件有應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件，由它們可以得到不同的相似準(zhǔn)

43、則。應(yīng)力邊 界條件為久=<7,2+7+ t丿等三式，由它們得相似準(zhǔn)則為：(3-77)(3-78)c4同樣，當(dāng)給定位移為零時(shí)，由位移邊界條件也無(wú)法獲得相似準(zhǔn)則。33.3.2模型設(shè)計(jì)和試驗(yàn)結(jié)果推廣a模型設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單檢驗(yàn)可以看出，上面得到的六個(gè)相似準(zhǔn)則是相互獨(dú)立的，對(duì)于相似的彈 性結(jié)構(gòu)，各物理量應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足上面求出的六個(gè)相似準(zhǔn)則二在相似模型試驗(yàn)時(shí)，原 型待求物理量為應(yīng)力、應(yīng)變和位移等三組，需用三個(gè)相似準(zhǔn)則由模型參數(shù)換算？ 多出的三個(gè)相似準(zhǔn)則就應(yīng)在模型設(shè)計(jì)時(shí)滿(mǎn)足。(1) 同時(shí)滿(mǎn)足準(zhǔn)則三和準(zhǔn)則四，必須使c=l,即模型和原型的泊桑比相同， 否則會(huì)帶來(lái)謀差。但誤差大小在不同問(wèn)題中有所不同，理論上很難做出一般

44、性的 解答。一般情況是，一維和一般二維問(wèn)題與泊桑比無(wú)關(guān)，二維多連通體問(wèn)題及三 維問(wèn)題中，應(yīng)力大小和應(yīng)力分布均與泊桑比有關(guān)，這時(shí)應(yīng)注意模型和原型的材料泊桑比一致性，特別是材料不同時(shí)。（2）為保證模型和原型的完全相似，模型的各部物理參數(shù)間也應(yīng)滿(mǎn)足一定的 比例關(guān)系。如當(dāng)面力（應(yīng)力邊界條件）和體積力同時(shí)存在時(shí)，因要同時(shí)滿(mǎn)足準(zhǔn)則 一和準(zhǔn)則五，應(yīng)有：cq = qcj3-79） 當(dāng)給定不為零位移邊界條件和體積力同時(shí)存在時(shí)，則應(yīng)有：條=（3-80）當(dāng)面力和當(dāng)給定不為零位移邊界條件同時(shí)存在時(shí)，應(yīng)有：s = （3-81） 當(dāng)體力、面力和當(dāng)給定不為零位移條件同時(shí)存在時(shí)，則上面三式（有兩式獨(dú) 立）應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足。b試驗(yàn)結(jié)

45、果的推廣將式（374） 式（378）整理后，可得彈性結(jié)構(gòu)在相似的條件卜模型和原型齊物 理量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。利用它們可將試驗(yàn)結(jié)果向相似結(jié)構(gòu)上推廣。如以面力表示2p =% =嚴(yán)嚴(yán)怖;的=嚴(yán)嚴(yán)嚴(yán)綣（382）qmh ep qrnep lm以體力表不：（3-83） 以邊界已知位移表示，有：（3-84） 為方便起見(jiàn)，現(xiàn)將幾種常用載荷作用下的模型和原型的應(yīng)力、應(yīng)變和位移的 換算公式列于表32 （表中公式僅適用于線性結(jié)構(gòu)）。表32各種載荷作用卜的線彈性結(jié)構(gòu)模型試驗(yàn)中的參數(shù)換算公式箴荷類(lèi)型應(yīng)力換算應(yīng)變換算位移換算集中栽荷p2 (&)(#)="（2）（刼逹卜僥）傳）（絆彎矩m吋僥）（就6廠僥）（&#

46、165;）'（警卜單位長(zhǎng)度上的 均布載荷q'y(*)(紡二借）傳）僚卜%=（蕓）（辭卓位面積上的 均布載荷g毎（吿）（秋-車(chē)位體積載荷 y（ ml）"円任）僚卜5劃任j（群離心力 %度廠轉(zhuǎn)速町吹恥j（m“知（好曲（紺（就伶a上面的換算公式是在假設(shè)模型和原型幾何完全相似的條件卜求得的。但對(duì)一 些結(jié)構(gòu)，如薄壁結(jié)構(gòu)，如果各方向均按同一比例縮小尺寸，其壁厚尺寸將趨近于 零，模型難以加工出來(lái)：對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，可以不耍求幾何完全相似，而是根據(jù)構(gòu) 件的受力狀態(tài)進(jìn)行變態(tài)處理，這樣的模型稱(chēng)為畸變模型?；兡Ｐ偷某霭l(fā)點(diǎn)就是 僅要求模型和原型的相關(guān)力學(xué)參數(shù)相似，如對(duì)拉壓?jiǎn)栴}，要求截面積相似，

47、對(duì)彎 曲問(wèn)題要求各部分慣性短相似等等。具體可參見(jiàn)有關(guān)文獻(xiàn)：應(yīng)注意的是，畸變模 型僅適用于二維問(wèn)題。例3-6如圖3-3為兩根幾何相似的梁，在梁的中間作用一個(gè)靜力集中載荷p, 設(shè)梁在彈性范圍內(nèi)工作，且忽略失效、重力等其他影響因素，也不考慮殘余應(yīng)力 和溫度應(yīng)力的影響，求模型的相似條件。bp圖3-3簡(jiǎn)支梁受力圖iiw j 3eu3euv式中解:由材料力學(xué)可知：梁在集中力作用處的應(yīng)力、截面彎矩以及撓度分別由下列公式m彎矩；。應(yīng)力；/撓度；e彈性模量；w一_彎截面模量；i一性矩。由于兩根梁幾何相似，所以：¥=人=¥=5 竺二& ¥=確l. am b.i. 由于此問(wèn)題的

48、方程已知，可采用方程分析法來(lái)求相似條件，根據(jù)上述三個(gè)方程，可以寫(xiě) 出三個(gè)相似指標(biāo)：c，c.c：cf以上三個(gè)方程包含了 c八5心、c八“、$這六個(gè)相似常數(shù),而現(xiàn)在只有三個(gè)方程，這意味 著有三個(gè)相似常數(shù)可以任意選擇。已確定了幾何相似常數(shù)，其余兩個(gè)相似常數(shù)的選擇需要 根據(jù)試驗(yàn)的目的、試驗(yàn)的條件來(lái)確定。(1) 若要使模型上各點(diǎn)反映的撓度、應(yīng)力與原型一致，即j二1燈=1,則有：cp = c； cm = ct c£ = cf即模型上需要施加的力p二與、模型材料的彈性模量也要縮小為氐=邑,而對(duì)于內(nèi)力 cl之一的彎矩,則要求j二c：,只要上述兩個(gè)條件滿(mǎn)足,該式也就自然成立。(2) 若模型材料與原型一

49、致，而又要求模型的應(yīng)力也一致，即保持 ce = ltca = 1,則有：23cp = cf cm = cfcf = cl這吋所測(cè)的撓度rti原型的撓度減少為爲(wèi)=譬,這就耍求測(cè)量撓度的儀器有足夠的精度，同吋也耍求模型的幾何相似常數(shù)不宜過(guò)人(以免撓度過(guò)小測(cè)不準(zhǔn)確)。3.4相似性設(shè)計(jì)341系列設(shè)計(jì)的概念和似理論在產(chǎn)品系列化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用乂稱(chēng)為相似性設(shè)計(jì)。同一種產(chǎn)品為了滿(mǎn)足不同場(chǎng)合和不同使用者的要求，其規(guī)格往往不同。同一 產(chǎn)品不同的規(guī)格，表現(xiàn)在尺寸參數(shù)不同等各個(gè)方面，但這些變化不是隨心所欲的， 而是要遵循一定的規(guī)律。一般把冥有和同功能、和同結(jié)構(gòu)方案、和同或和似加工 工藝，但各產(chǎn)品相應(yīng)的尺寸參數(shù)及性能指標(biāo)

50、具有一定的級(jí)差(公比)(按一定的 規(guī)律變化)而形成的 啄列不同規(guī)格的產(chǎn)詁稱(chēng)為系列化產(chǎn)詁。目前，系列化產(chǎn)品在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸和家庭生活等各個(gè)領(lǐng)域中得到廣 泛應(yīng)用，產(chǎn)胡的系列化設(shè)計(jì)也成為廣泛應(yīng)用的設(shè)計(jì)方法之一。系列化設(shè)計(jì)主要有 如下好處：(1) 系列產(chǎn)品的不同規(guī)格僅僅是基于一種規(guī)格變化而形成的，這就大大節(jié)省 了產(chǎn)品的開(kāi)發(fā)周期和成木，提高了產(chǎn)詁的性能可靠性。(2) 系列產(chǎn)品在滿(mǎn)足用戶(hù)需求的前提下，遵循適當(dāng)?shù)膮?shù)變化規(guī)律可以提高 不同規(guī)格產(chǎn)品的生產(chǎn)批量，從而使產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定、成木卜降，這對(duì)生產(chǎn)企業(yè)和用 戶(hù)都是有利的。(3) 對(duì)生產(chǎn)和銷(xiāo)售企業(yè)來(lái)說(shuō)，系列產(chǎn)品便于庫(kù)存管理；対用戶(hù)而言，系列產(chǎn) 品的使用規(guī)定

51、和方法和同，方便了使用。產(chǎn)品系列設(shè)計(jì)吋，首先是選定某一小檔的產(chǎn)品為基型，對(duì)它進(jìn)行最住方案的 設(shè)計(jì)確定其材料、參數(shù)和尺寸，然后再按系列設(shè)計(jì)原理和尺寸。前者稱(chēng)為基型 產(chǎn)品，后者稱(chēng)為擴(kuò)展型產(chǎn)品。3.4.2系列產(chǎn)品的構(gòu)成相似理論求出系列小其他產(chǎn)品的參數(shù)系列化產(chǎn)品設(shè)計(jì)的首要工作是研究系 列產(chǎn)品的構(gòu)成規(guī)律，其主要內(nèi)容是確定產(chǎn)品系列中每個(gè)規(guī)格的尺、即尺寸分級(jí) 和相似比，又稱(chēng)級(jí)間比。然后還要研究產(chǎn)品的加工設(shè)備、刀具的分級(jí)管理、系列 產(chǎn)品的庫(kù)存管理等問(wèn)題，這些本書(shū)不予涉及。3.4.2.1級(jí)間比的確定系列產(chǎn)品的參數(shù)遞增方式常用的有兩種，一種按自然數(shù)排列，其數(shù)值遞增規(guī) 律稱(chēng)為算術(shù)系列。另一種是按幾何級(jí)數(shù)排列，稱(chēng)為幾

52、何級(jí)數(shù)系列，又稱(chēng)幾何系列。對(duì)算術(shù)系列，各級(jí)參數(shù)的增長(zhǎng)的百分比和級(jí)間比如表亠3所示。結(jié)果表明, 各級(jí)的級(jí)間比是不同的，隨級(jí)數(shù)的增加在減小。表3-3算術(shù)系列參數(shù)增長(zhǎng)的百分比和級(jí)間比算術(shù)級(jí)12345678910各級(jí)參數(shù)增長(zhǎng)/%10050332520161412.511”.級(jí)間比2.001.501.331.251.201. 161.141.1251.11對(duì)于幾何級(jí)數(shù)系列，設(shè)第一級(jí)數(shù)值為，則其各項(xiàng)應(yīng)分別為：該系列的特點(diǎn)是：級(jí)間比/為一常數(shù)；(2)系列的分級(jí)數(shù)為nx該系列共有刃+1項(xiàng)。如杲把級(jí)間比的刃次方定為10,則級(jí)間比為：(3-85)級(jí)間比由式(385)確定的系列稱(chēng)為十進(jìn)制幾何級(jí)數(shù)系列。經(jīng)驗(yàn)表明十進(jìn)制

53、幾 何分級(jí)是比較實(shí)用的?，F(xiàn)將按算術(shù)分級(jí)和按幾何分級(jí)得到的兩種直徑系列的球示于圖3-4：從中可 以看出，按算術(shù)分級(jí)給出的球體直徑系列分布很不均勻，有的區(qū)域出現(xiàn)了空白， 而有的區(qū)域分級(jí)密集，這對(duì)于產(chǎn)品的設(shè)計(jì)當(dāng)然是不利的。而幾何分級(jí)分布均勻。如果把十進(jìn)制幾何系列的第一項(xiàng)定為1，當(dāng)卅取不同值時(shí)，系列相應(yīng)參數(shù)見(jiàn) 表3-4,這里，分級(jí)數(shù)取較小值時(shí)稱(chēng)為粗分級(jí)，如n=5o分級(jí)數(shù)取較大值時(shí)，如 凡：20,稱(chēng)為細(xì)分級(jí)。當(dāng)分級(jí)數(shù)成倍變化時(shí)，細(xì)分級(jí)包含粗分級(jí)。分級(jí)數(shù)的選擇 應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際需要。如人民幣的面值1，2, 5, 10,是分級(jí)數(shù)為3時(shí)十 進(jìn)制幾何級(jí)數(shù)系列的數(shù)值近似，分級(jí)很粗。它是在考慮了貨幣的具體要求面

54、額 種類(lèi)少，便于流通、換算和兌換等各種問(wèn)題后確定的。表3-4不同分級(jí)斂的幾何級(jí)數(shù)系列簽效-分級(jí)數(shù)n級(jí)間比項(xiàng)數(shù)各項(xiàng)數(shù)值51.661丄625.463,10101.25111,1.25,1.6,2.2.5,3.15,4,5,6.3.8,1020m2211.!2,1.25t1.4f1.6f1.8t2t2.24, j03.4.2.2標(biāo)準(zhǔn)數(shù)表3-4不同分級(jí)數(shù)的幾何級(jí)數(shù)系列參數(shù)如前所述，十進(jìn)制幾何相似系列在設(shè)計(jì)以及其他方面均得到廣泛應(yīng)用。為便 于在工程中的應(yīng)用，將常用到的n為5、10、20和40時(shí)的(值進(jìn)行圓整，并將0。 為1時(shí)各系列的各項(xiàng)計(jì)算出來(lái)，對(duì)計(jì)算結(jié)果也進(jìn)行圓整，但將誤差控制在±1% z內(nèi)

55、。這些被圓整后的數(shù)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)數(shù)用nz表示)。相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)系列 則稱(chēng)為r5、rio、r20和r40基本系列。在工程技術(shù)中運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)有諸多優(yōu)點(diǎn)：(1) 零件酌尺寸，特別是聯(lián)接尺寸和配套尺寸，容易實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化和國(guó)際化。 這就大大方便了國(guó)際間的技術(shù)交流和設(shè)備的使用管理。在設(shè)備制造等方面，可使 加工設(shè)備、刀具、量具的種類(lèi)減少，加工精度提高。另外也便于原材料的生產(chǎn)組 織，方便選用。(2) 應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)有利于粗分級(jí)和細(xì)分級(jí)系列產(chǎn)品的相互轉(zhuǎn)化。粗分級(jí)系列中 的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)包含于細(xì)分級(jí)系列標(biāo)準(zhǔn)數(shù)中。當(dāng)產(chǎn)品系列分級(jí)確定之后，產(chǎn)品中零件仍 可以根據(jù)情況進(jìn)行分級(jí)調(diào)整，使其種類(lèi)減少，增大批量，降低成本。(3) 采用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)系列有利于在對(duì)數(shù)坐標(biāo)上畫(huà)出標(biāo)準(zhǔn)數(shù)曲線，進(jìn)而方便了系列 產(chǎn)品的參數(shù)推導(dǎo)。在幾何相似的系列產(chǎn)品中，如果基型產(chǎn)品的長(zhǎng)度、面積和體積 分別為厶0、力。和k0o那么擴(kuò)展型產(chǎn)品的長(zhǎng)度、血積和體積應(yīng)為：(3-86)式中，2為級(jí)間數(shù)，0為長(zhǎng)度尺寸級(jí)間比。對(duì)上述各式取對(duì)數(shù)，有： 11